高中数学 圆的方程题型总结 新人教A版必修2

用心 爱心 专心1 圆的方程题型总结圆的方程题型总结 一 基础知识一 基础知识 1 1 圆的方程 圆的方程 圆的标准方程为 圆心 半径 圆的一般方程为 圆心 半径 二元二次方程 22 0AxCyDxEyF 表示圆的条件为 1 2 2 2 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 直线0AxByC 圆 222 xaybr 圆心到直线的距离为 d 则 1 d 2 当 时 直线与圆相离 当 时 直线与圆相切 当 时 直线与圆相交 3 弦长公式 3 3 两圆的位置关系两圆的位置关系 圆 1 C 22 2 111 xaybr 圆 2 C 22 2 222 xaybr 则有 两圆相离 外切 相交 内切 内含 二 题型总结 二 题型总结 一 圆的方程 一 圆的方程 1 22 310 xyxy 的圆心坐标 半径 2 点 1 2 aa 在圆x 2 y 2 2y 4 0 的内部 则a的取值范围是 用心 爱心 专心2 A 1 a 1B 0 a 1 C 1 a 5 1 D 5 1 a 1 3 若方程 2222 0 40 xyDxEyFDEF 所表示的曲线关于直线 yx 对称 必有 A EF B DF C DE D D E F两两不相等 4 圆0322 222 aaayaxyx的圆心在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 5 若直线34120 xy 与两坐标轴交点为 A B 则以线段AB为直径的圆的方程是 A 22 430 xyxy B 22 430 xyxy C 22 4340 xyxy D 22 4380 xyxy 6 过圆 22 4xy 外一点 4 2P作圆的两条切线 切点为 A B 则ABP 的外接圆 方程是 A 42xy 22 4 B 2xy 22 4 C 42xy 22 5 D 21xy 22 5 7 过点 1 1A 1 1B 且圆心在直线20 xy 上的圆的方程 A 22 314xy B 22 314xy C 22 111xy D 22 111xy 8 圆 22 2690 xyxy 关于直线250 xy 对称的圆的方程是 A 22 7 1 1xy B 22 7 2 1xy C 22 6 2 1xy D 22 6 2 1xy 9 已知 ABC的三个项点坐标分别是A 4 1 B 6 3 C 3 0 求 ABC 外接圆的方程 用心 爱心 专心3 10 求经过点 A 2 1 和直线1 yx相切 且圆心在直线xy2 上的圆的方 程 2 2 求轨迹方程求轨迹方程 11 圆 22 4120 xyy 上的动点Q 定点 8 0A 线段AQ的中点轨迹方程 12 方程 041 22 yxyx所表示的图形是 A 一条直线及一个圆 B 两个点 C 一条射线及一个圆 D 两条射线及一个圆 13 已知动点M到点A 2 0 的距离是它到点B 8 0 的距离的一半 求 1 动点M的轨迹方程 2 若N为线段AM的中点 试求点N的轨迹 用心 爱心 专心4 3 3 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 14 圆 2 2 11xy 的圆心到直线 3 3 yx 的距离是 A 1 2 B 3 2 C 1 D 3 15 过点 2 1的直线中 被 22 240 xyxy 截得弦长最长的直线方程为 A 350 xy B 370 xy C 330 xy D 310 xy 16 已知直线l过点 02 当直线l与圆xyx2 22 有两个交点时 其斜率k的 取值范围是 A 2222 B 22 C 4 2 4 2 D 8 1 8 1 17 圆04 22 xyx在点 3 1 P处的切线方程为 A 023 yx B 043 yx C 043 yx D 023 yx 18 过点 P 2 1 作圆 C x2 y2 ax 2ay 2a 1 0 的切线有两条 则a取值范围是 A a 3 B a 3 C 3 a 5 2 D 3 a 5 2 或a 2 19 直线032 yx与圆9 3 2 22 yx交于 E F 两点 则EOF O 为原点 的面积为 A 3 2 B 3 4 C 6 5 5 D 3 5 5 用心 爱心 专心5 20 过点M 0 4 被圆4 1 22 yx截得弦长为32的直线方程为 21 已知圆C 2521 22 yx及直线 47112 mymxml Rm 1 证明 不论m取什么实数 直线l与圆C恒相交 2 求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程 22 已知圆x2 y2 x 6y m 0 和直线x 2y 3 0 交于P Q两点 且以PQ为直径的 圆恰过坐标原点 求实数m的值 用心 爱心 专心6 4 4 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 23 圆 22 20 xyx 与圆 22 40 xyy 的位置关系为 24 已知两圆01422 10 22 2 22 1 yxyxCyxC 求经过两圆交点的公共弦所在 的直线方程 25 两圆x2 y2 4x 6y 0 和x2 y2 6x 0 的连心线方程为 A x y 3 0 B 2x y 5 0 C 3x y 9 0 D 4x 3y 7 0 26 两圆 22 1 2220Cxyxy 22 2 4210Cxyxy 的公切线有且 仅有 A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条 27 已知圆 1 C的方程为0 yxf 且 00 yxP在圆 1 C外 圆 2 C的方程为 yxf 00 yxf 则 1 C与圆 2 C一定 A 相离 B 相切 C 同心圆 D 相交 28 求圆心在直线0 xy 上 且过两圆 22 210240 xyxy 22 xy 2280 xy 交点的圆的方程 用心 爱心 专心7 5 5 综合问题综合问题 29 点A在圆 22 2xyy 上 点B在直线1yx 上 则AB的最小 A21 B 2 1 2 C 2 D 2 2 30 若点P在直线23100 xy 上 直线 PA PB分别切圆 22 4xy 于 A B两点 则 四边形PAOB面积的最小值为 A 24 B 16 C 8 D 4 31 直线bxy 与曲线 2 1yx 有且只有一个交点 则b的取值范围是 A 2 b B 11 b且2 b C 11 b D 以上答案都不对 32 如果实数 x y满足 22 410 xyx 求 1 y x 的最大值 2 yx 的最小值 3 22 xy 的最值 用心 爱心 专心8 33 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮 船正西 70 km 处 受影响的范围是半径长 30 km 的圆形区域 已知港口位于台风正北 40 km 处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 用心 爱心 专心9 圆的方程题型总结圆的方程题型总结 参考答案 1 3 1 2 2 14 2 2 D 3 C 4 D 5 A 6 D 7 C 8 A 9 解 解法一 设所求圆的方程是 222 xaybr 因为 A 4 1 B 6 3 C 3 0 都在圆上 所以它们的坐标都满足方程 于是 222 222 222 4 1 6 3 3 0 abr abr abr 可解得 2 1 3 25 a b r 所以 ABC 的外接圆的方程是 22 1 3 25xy 解法二 因为 ABC 外接圆的圆心既在 AB 的垂直平分线上 也在 BC 的垂直平分线上 所以先求 AB BC 的垂直平分线方程 求得的交点坐标就是圆 心坐标 3 1 2 64 AB k 0 3 1 363 BC k 线段 AB 的中点为 5 1 线段 BC 的中点为 33 22 AB 的垂直平分线方程为 1 1 5 2 yx BC 的垂直平分线方程 33 3 22 yx 解由 联立的方程组可得 1 3 x y ABC 外接圆的圆心为 1 3 E x y OC B A 用心 爱心 专心10 半径 22 41 13 5rAE 故 ABC 外接圆的方程是 22 1 3 25xy 10 解 因为圆心在直线xy2 上 所以可设圆心坐标为 a 2a 据题意得 2 12 12 2 22 aa aa 222 1 2 1 21 2 aaa a 1 圆心为 1 2 半径为2 所求的圆的方程为 2 2 1 22 yx 11 41xy 22 4 12 D 13 解 1 设动点 M x y 为轨迹上任意一点 则点 M 的轨迹就是集合 P 1 2 MMAMB 由两点距离公式 点 M 适合的条件可表示为 2222 1 2 8 2 xyxy 平方后再整理 得 22 16xy 可以验证 这就是动点 M 的轨迹方程 2 设动点 N 的坐标为 x y M的坐标是 x1 y1 由于 A 2 0 且 为线段 AM 的中点 所以 1 2 2 x x 1 0 2 y y 所以有 1 22xx 1 2yy 由 1 题知 M 是圆 22 16xy 上的点 所以M坐标 x1 y1 满足 22 11 16xy 将 代入 整理 得 22 1 4xy 所以 N 的轨迹是以 1 0 为圆心 以 2 为半径的圆 如图中的虚圆为所求 14 A 15 A 16 B 17 D 18 D 19 C 20 x 0 或 15x 8y 32 0 21 解 1 直线方程 47112 mymxml 可以改写为 0472 yxyxm 所 以直线必经过直线04072 yxyx和的交点 由方程组 04 072 yx yx 解得 用心 爱心 专心11 1 3 y x 即两直线的交点为A 1 3 又因为点 1 3A与圆心 2 1C的距离55 d 所以 该点在C内 故不论m取什么实数 直线l与圆C恒相交 2 连接AC 过A作AC的垂线 此时的直线与圆C相交于B D BD为直线被圆所截得 的最短弦长 此时 545252 5 5 BDBCAC所以 即最短弦长为54 又直线AC的斜率 2 1 AC k 所以直线BD的斜率为 2 此时直线方程为 0 52 321 yxxy即 22 解 由 012205 032 06 2 22 myy yx myxyx 5 12 4 21 21 m yy yy 又OP OQ x1x2 y1y2 0 而x1x2 9 6 y1 y2 4y1y2 5 274 m 0 5 12 5 274 mm 解得m 3 23 相交 24 02 yx 25 C 26 B 27 C 28 解法一 利用圆心到两交点的距离相等求圆心 将两圆的方程联立得方程组 22 22 210240 2280 xyxy xyxy 解这个方程组求得两圆的交点坐标A 4 0 B 0 2 因所求圆心在直线0 xy 上 故设所求圆心坐标为 xx 则它到上面的两上交 点 4 0 和 0 2 的距离相等 故有 2222 4 0 2 xxxx 即412x 3x 3yx 从而圆心坐标是 3 3 又 22 43 310r 故所求圆的方程为 22 3 3 10 xy 解法二 利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程 同解法一求得两交点坐标A 4 0 B 0 2 弦 AB 的中垂线为230 xy 它与直线0 xy 交点 3 3 就是圆心 又半径10r 用心 爱心 专心12 故所求圆的方程为 22 3 3 10 xy 解法三 用待定系数法求圆的方程 同解法一求得两交点坐标为A 4 0 B 0 2 设所求圆的方程为 222 xaybr 因两点在此圆上 且圆心在 0 xy 上 所以得方程组 222 222 4 3 0 abr abr ab 解之得 3 3 10 a b r 故所求圆的方程为 22 3 3 10 xy 解法四 用 圆系 方法求圆的方程 过后想想为什么 设所求圆的方程为 2222 21024 228 0 xyxyxyxy 1 即 22 2 1 2 5 8 3 0 111 xyxy 可知圆心坐标为 15 11 因圆心在直线0 xy 上 所以1 5 0 11 解得2 将2 代入所设方程并化简 求圆的方程 22 6680 xyxy 29 A 30 C 31 B 32 1 3 2 62 3 22 min 4 3xy 22