高中数学竞赛讲义-数列 新人教A版

用心 爱心 专心 1 11 11 数列数列 一 数列的基础知识 1 数列 an 的通项 an与前 n 项的和 Sn的关系 它包括两个方面的问题 一是已知 Sn求 an 二是已知 an求 Sn 2 递推数列 解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系 设法转化为等差数列 与等比数列的有关问题 然后解决 常见类型 类型 为常数 aaa npnqanpa nn 0 1 1 一阶递归 其特例为 1 0 1 pqpaann 2 0 1 pnqpaann 3 0 1 pqanpann 解题方法 利用待定系数法构造类似于 等比数列 的新数列 类型 为常数 babaaa qpqapaa nnn 0 0 21 12 二阶递归 解题方法 利用特征方程 x2 px q 求其根 构造 an A n B n 代入初始值求得BA 类型 an 1 f an 其中函数 f x 为基本初等函数复合而成 解题方法 一般情况下 通过构造新数列可转化为前两种类型 二 等差数列与等比数列 1 定义 2 通项公式与前 n 项和公式 函数的思想 等差数列可以看作是一个一次函数型的函数 等比数列可以看作是一个指 数函数型的函数 可以利用函数的思想 观点和方法分析解决有关数列的问题 三 等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现 数列问题的综合性主要表现在 1 数列中各相关量的关系较为复杂 隐蔽 2 同一问题中出现有若干个相关数列 既有等差或等比数列 也有非等差 非等比的 数列 需相互联系 相互转换 数列问题的灵活性表现在 1 需灵活应用递推公式 通项公式 求和公式 寻求已知与所求的关系 减少中间量 计算 2 需灵活选用辅助数列 处理相关数列的关系 例题讲解例题讲解 1 已知 b c logm x c a logm y a b logm z 0 1 若 a b c 依次成等差数列 且公差不为 0 求证 x y z 成等比数列 2 若 x y z 依次成等比数列 且公比不为 1 求证 a b c 成等差数列 2 数列 an 的 前 n 项 和 Sn a 2n b n N 则 an 为等比数列的充要条件是 用心 爱心 专心 2 3 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S7 56 Sn 420 an 3 34 则 n 4 等差数列中 a3 a7 a10 8 a11 a4 4 求 S13 5 各项均为实数的等比数列 an 的前 n 项之和为 Sn 若 S10 10 S30 70 求 S40 6 设 an 是首项为 1 的正项数列 且 n 1 an 12 nan2 an 1an 0 n 1 2 3 则它的通项公式是 an 7 已知 f x a1x a2x2 a3x3 anxn 且 a1 a2 a3 an组成等差数列 n 为正偶数 又 f 1 n2 f 1 n 1 求数列 an 的通项 an 2 试比较 f 0 5 与 3 的大小 并说明理由 8 在 1 与 2 之间插入个正数 a1 a2 a3 an 使这 n 2 个正数成等比数列 又在 1 与 2 之间插 入个正数 b1 b2 b3 bn 使这 n 2 个正数成等差数列 记 An a1a2a3 an Bn b1 b2 b3 bn 1 求数列 An 和 Bn 的通项 2 当 n 7 时 比较 An与 Bn的大小 并证明你的结论 用心 爱心 专心 3 9 设任意实数 x y 满足 x 1 y 2 中拿走若干个数 然后将剩下的数任意分成两个部分 证明 这两部分之和不可能相等 11 已知 a1 2 an 1n 2a2 求数列 an 的通项公式 12 正整数 k g k 表示 k 的最大奇因子 例如g 3 3 g 20 5 求 g 1 g 2 g 3 g 2n 其中 n N 13 将数字 1 2 3 n 填入标号为 1 2 3 n 的 n 个方格内 每格一个数 字 则标号与数字均不相同的填法有多少种 用心 爱心 专心 4 14 用 1 2 3 三个数字写 n 位数 要求数中不出现紧挨着的两个 1 问能构成多少个 n 位数 15 设数列 an 和 bn 满足 a0 1 b0 0 且 4 7b8ab 3 6b7aan n1 n1n nn1 n 0 1 2 证明 an n 0 1 2 是完全平方数 16 已知 a b 均为正整数 且 a b sin 22 ba 2ab 其中 02 有 b n an 3 a3 2 a2 2n c b 333 18 设 A E 为正八边形的相对顶点 顶点 A 处有一只青蛙 除顶点 E 外青蛙可以从八边形的 任一顶点跳到两相邻顶点中任一个 落到顶点 E 时青蛙就停止跳动 设青蛙从顶点 A 恰好跳 n 次后到 E 的方法数为 an 求 an