高三数学第二章 极限复习（理）人教版知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学第二章高三数学第二章 极限复习极限复习 理 人教版 理 人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 第二章 极限复习 二 教学重 难点 最值连续函数在闭区间上的连续 求函数极限 函数极限的四则运算函数极限 数列极限的四则运算数列极限 极限 证明不等式 证明数列问题 证明几何问题 证明整除性问题 证明恒等式 教学归纳法 典型例题典型例题 例 1 已知 的极限存在且满足 求 n a n b8 52 lim nn n ba2 lim nn n ba 23 lim nn n ba 解 解 设 52 23 nnnnnn baybaxba nn byxayx 5 2 解得 25 32 yx yx 7 5 x 7 11 y 7 62 2 7 11 8 7 5 23 lim nn n ba 例 2 设是一个三次函数 求的值 xf6 1 lim 1 x xf x 2 3 2 lim 2 x xf x 3 lim 3 x xf x 解 解 由题意知 2 1 axxxmxf 由 得 6 1 lim 1 x xf x 6 1 3 ma 由 得 2 3 2 lim 2 x xf x 2 3 2 3 am 联立得 3 a 2 1 m 3 2 1 2 1 xxxxf 2 2 1 2 1 lim 3 lim 33 xx x xf xx 例 3 设分别求 的值 11 22 xxxxxf limxf x limxf x 存在吗 limxf x 解 解 用心 爱心 专心 11 22 xxxxxf 11 11 22 22 xxxx xxxx 11 2 22 xxxx x 11 2 lim lim 22 xxxx x xf xx 11 2 lim 22 2 xxxx x x 1 11 2 11 1 11 1 2 lim 22 xxxx x 11 2 lim lim 22 2 xxxx x xf xx 22 11 1 11 1 2 lim xxxx x 1 11 2 不存在 lim limxfxf xx limxf x 例 4 设 讨论的连续区间 1 3 1 xx xx xf 1 12 1 3 xx xx xg xgf 解 解 当时 1 x1 3 x 3 xxgf 当时 1 x112 x22 12 3 xxxgf 解析式为且 1 22 1 3 xx xx xgf1 lim 1 xgf x 4 lim 1 xgf x 不存在 连续区间为 lim 1 xgf x 1 1 例 5 用数学归纳法证明能够被 9 整除 17 13 n n Nn 解 解 1 当时 被 9 整除1 n27174 2 假设时 能被 9 整除 则当时 1 kkn17 13 k k1 kn 17 43 717 1 1 3 1 kk kk17277187 13 kkk kk 32 79 17 13 kk kk 以上两项均能被 9 整除 故当时命题也成立1 kn 由 1 和 2 知 对任意命题成立 Nn 例 6 已知数列中 1 求的值 2 n a 2 1 1 a nn anS 2 Nn 432 aaa 推测的通项公式 并用数学归纳法证明所得结论 n a 解 解 1 2 1 1 a 2212 4aaaS 6 1 2 a 33213 9aaaaS 6 1 2 1 8 3 a 12 1 3 a 用心 爱心 专心 443214 16aaaaaS 12 9 15 4 a 20 1 4 a 2 由 21 1 2 1 1 a 32 1 6 1 2 a 43 1 12 1 3 a 54 1 20 1 4 a 猜想 下面用数学归纳法证明 1 1 nn an 当时 结论成立1 n 假设时 结论成立 1 kkn 即且有 1 1 kk ak kk akaa 2 1 当时 1 kn 1 2 121 1 kkk akaaaa 1 2 1 2 1 kkk akaak kk a k k a 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 kkk k 1 2 2 kkkk k 2 1 1 kk 时 结论成立1 kn 由 知 结论对都成立 Nn 例 7 求 1 1 1 1 lim 242 n aaaa n 10 a 解 方法一 解 方法一 1 1 1 1 242 n aaaa 122 1 1 n aaa a a n 1 1 1 2 10 a 1 1 1 1 lim 242 n aaaa n aa a n n 1 1 1 1 lim 1 2 方法二 方法二 1 1 1 1 lim 242 n aaaa n a aaaaa n n 1 1 1 1 1 1 lim 242 aa a n n 1 1 1 1 lim 1 2 例 8 设数列满足 n a2 1 a n nn a aa 1 1 3 2 1 n 1 证明 对一切正整数成立 12 nann 2 令判断与的大小 并说明理由 3 2 1 n n a b n nn b 1 n b 证 证 1 当时 成立1 n1122 1 a 假设时 成立kn 12 kak 用心 爱心 专心 当时 1 kn1 1 2 1 322 1 22 22 1 k a k a aa kk kk 时 成立1 kn1 1 2 1 kak 由 知 对一切正整数成立12 nan 2 1 12 1 2 1 12 1 1 1 1 1 1 2 11 nn nn n n nn n ana na b b n n n n n 1 2 1 4 1 2 1 12 1 2 2 n n n nn nn bb 1 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 n n n1 1 1 1 lim A 1B C 0D 2 1 1 2 下列极限为 1 的是 A B 9 9999 0 lim 个n n nn n 9999 0 1 lim C D 123 234 lim 2 2 nn nn n 11 lim 2 n n e nn 3 若展开式的第 3 项为 288 则的值是 9 21 x 111 lim 2n n xxx A 2 B 1 C D 2 1 5 2 4 设在处连续 则的值为 2 2 2 2 4 23 2 xa x xx x xf2 xa A B C D 2 1 4 1 4 1 3 1 5 的值是 n n nnn n CCC 41 lim 2 2 1 2 0 2 A 0 B C D 4 1 2 1 1 6 的值是 x x n 3 2 cos1 sin2 lim A B 3 C D 21 3 4 用心 爱心 专心 7 11 12 4321 lim 22 nn n n A B 3 C D 2 1 3 1 4 1 8 下列各函数中 在处不连续的是 1 x A B 2 cos1 x x xf 13 1 1 1 3 x x x x xf C D 11 11 1 0 x xx xf 2 cot xxf 二 解答题 1 已知等差数列前三项为 前项和为 1 求及的值 aa3 4 n n S2550 k Sak 2 求 111 lim 21 n n SSS 2 设函数 在处是否有极限 0 lg 0 0 0 2 xx x x xf x xf0 x 3 已知数列满足 n a1 0 a 1 0 1 1 PNnaPa nn 1 求证 0 1 n a P Nn 2 求 猜想通项公式 并用数学归纳法证明 321 aaa n a 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一 1 B 2 A 3 A 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 二 1 解 1 由已知 及 所以 所aa 1 4 2 aaa3 3 231 2aaa 423 aa 以 公差 2 a224 12 aad 由 得 所以 d kk akSk 2 1 1 25502 2 1 2 kk k02550 2 kk 解得或 舍去 所以 k50 51 k50 2 ka 2 由 得 d nn naSn 2 1 1 1 nnSn 所以 1 1 32 1 21 1111 21 nnSSS n 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 nnn 所以1 1 1 1 lim 111 lim 21 nSSS n n n 2 解 当时 所以 当时 0 x x xf2 12lim lim 00 x xx xf0 x 所以不存在 所以在处没有极限 xxflg xxf xx lglim lim 00 xf0 x 3 1 证明 因为 所以 又因为 所以1 0 a11 01 PaPa10 P 且 所以 故时不等式成立011 P1 1 P 01 1 1 a P 1 n 假设时 不等式成立 即 则 所以kn 0 1 k a PP ak 1 0 k aP 0 所以 所以时不等式也成立 由1 011 k aP01 1 1 k a P 1 kn 知对一切 成立 Nn 0 1 n a P 2 解 由 1 知 计算得 0 n a1 1 nn Paa