求函数的值域的方法大全

1 求函数求函数值值域方法大全域方法大全 一 最 一 最值值与与值值域的高考地位域的高考地位 传统传统高考数学中的高考数学中的应应用用题题中凡涉及到利中凡涉及到利润润最大 或最小 最最大 或最小 最 少的人力 物力等 均可少的人力 物力等 均可归结归结于最于最值值与与值值域的求解 当今高考数域的求解 当今高考数 学中的求字母参数的取学中的求字母参数的取值值范范围问题围问题很大一部分很大一部分归结归结于最于最值值与与值值 域的求解域的求解 通通过过求函数的最求函数的最值值与与值值域可大大的加深域可大大的加深对对一些数学思想的一些数学思想的 领领会 提高运用数学思想解会 提高运用数学思想解题题的能力 的能力 二 最 二 最值值与与值值域的关系域的关系 1 有的函数知道 有的函数知道值值域就可以求最域就可以求最值值 如 函数如 函数的的值值域是域是 可知 可知 2 xy 0 yy0 min y 2 有的函数知道最 有的函数知道最值值就可以求就可以求值值域域 3 有的函数有 有的函数有值值域但无最域但无最值值 如 函数如 函数的的值值域是域是 但 但 x y 1 0 yy无 min y无 max y 4 有的函数有最大 有的函数有最大值值但无最小但无最小值值 如 函数如 函数 但 但 2 xy 0 max y无 min y 5 有的函数有最小 有的函数有最小值值但无最大但无最大值值 如 函数如 函数 但 但 2 1 2 x y 2 min y无 max y 6 值值域有可能是一个数 也可能是几个数构成的集合 但大多是域有可能是一个数 也可能是几个数构成的集合 但大多是 一个不等式构成的集合一个不等式构成的集合 如 常数函数如 常数函数的的值值域是域是2 xf 2 7 求最 求最值值与与值值域的方法大同小异域的方法大同小异 2 8 在由 在由值值域确定函数的最域确定函数的最值时值时 需注意等号成立的条件下才能 需注意等号成立的条件下才能 取到 取到 如 已知如 已知值值域域 只有 只有 而 而 13 yy3 min y无 max y 9 最 最值值存在定理 存在定理 连续连续函数在函数在闭闭区区间间上一定存在最大上一定存在最大值值和最小和最小值值 三 基本初等函数的定 三 基本初等函数的定义义域与域与值值域域 函数名函数名函数解析式函数解析式定定义义域域值值域域 一次函数一次函数 0 kbkxy RR 二次函数二次函数 0 2 acbxaxy R 时时 0 a 4 4 2 a bac yy 时时 0 a 4 4 2 a bac yy 反比例数反比例数 0 k x k y 0 xx 0 yy 指数函数指数函数 10 aay x R 0 yy 对对数函数数函数 10 log axy a 0 xx R 正弦函数正弦函数 xysin R 1 1 余弦函数余弦函数 xycos R 1 1 正切函数正切函数 xytan 2 Zkkxx R 四 函数的最 四 函数的最值值与与值值域的求解技巧域的求解技巧 即是求函数即是求函数值值的集合或是找到的的集合或是找到的 y 的不等式出来 以后者的不等式出来 以后者为为重 重 如 已知函数如 已知函数 则则此函数的此函数的值值域是 域是 12 xxf 5 3 2 1 0 x A B C D 5 3 2 1 9 3 1 1 5 3 1 1 9 91 xx 3 法 一 法 一 观观察法察法 及及时时反反馈馈 1 函数 函数的的值值域是 域是 12 x xf A B C R D 1 1 1 法 二 反函数法法 二 反函数法 理 理论论依据 巧妙根据原函数与它的反函数的定依据 巧妙根据原函数与它的反函数的定义义域 域 值值域的域的 互互调调性 如下表所示 性 如下表所示 定定义义域域值值域域 原函数原函数 xfy AC 反函数反函数 1 xfy CA 由上表知 求原函数的由上表知 求原函数的值值域就是相当于求它的反函数的定域就是相当于求它的反函数的定义义域域 求反函数的步 求反函数的步骤骤 三步曲三步曲 求求 x y 互互换换 通通过过求原函数的求原函数的值值域得出反函数的域得出反函数的 yx 定定义义域域 及及时时反反馈馈 1 求函数 求函数的的值值域域 1 42 x x xf 2 求函数 求函数的的值值域域 45 3 x x xf 法 三 分离法 三 分离变变量法量法 常用于求形如常用于求形如的函数的的函数的值值域域 0 ac dcx bax xf 求解技巧 求解技巧 分子分子对对分母分母说说 我要 我要变变成你成你 即把 即把化成化成 常常 xf 量量 的形式来 的形式来 dcx 常量 4 及及时时反反馈馈 1 求函数 求函数的的值值域域 1 42 x x xf 2 求函数 求函数的的值值域域 45 3 x x xf 通通过过以上两以上两题题的的值值域的求解 你域的求解 你发现发现了什么 了什么 形如 形如的函数的的函数的值值域是域是 0 ac dcx bax xf c a yy 3 已知函数 已知函数的的值值域是域是 则则 a 的的值值是是 12 3 2 x xa xf 2 1 yy 法 四 基本不等式法法 四 基本不等式法 若若 a 0 b 0 则则 abba2 2 2 ba ab 及及时时反反馈馈 1 若 若 a b 是正数且是正数且 则则 ab a b 的取的取值值范范围围分分别别是是 abba 3 2 已知 已知实实数数 m n 满满足足 mn 0 则则的的值值 mn nm 22 A 有最小 有最小值值但没有最大但没有最大值值 B 有最大 有最大值值但没有最小但没有最小值值 C 既有最大 既有最大值值也有最大也有最大值值 D 没有最大 没有最大值值也没有最小也没有最小值值 型 可直接用不等式性型 可直接用不等式性质质 2 b y kx 及及时时反反馈馈 求求的的值值域 答 域 答 2 3 2 y x 3 0 2 型 先化型 先化简简 再用均 再用均值值不等式 不等式 2 bx y xmxn 及及时时反反馈馈 2 求函数 求函数的的值值域 答 域 答 2 3 x y x 1 0 2 型 可用判型 可用判别别式法或均式法或均值值不等式法 不等式法 2 xm xn y mxn 5 及及时时反反馈馈 求求的的值值域 答 域 答 2 1 1 xx y x 3 1 在使用均在使用均值值不等式求函数的最不等式求函数的最值值与与值值域域时时注意 注意 一正二定三一正二定三 相等 和定相等 和定积积最大 最大 积积定和最小定和最小 这这 17 字方字方针针 法 五 配方法法 五 配方法 常用于二次型函数常用于二次型函数的最的最值值与与值值域的求解 域的求解 0 2 acxbfxafy 配方步配方步骤骤 1 把二次 把二次项项系数化系数化为为 1 2 在一次 在一次项项之后加上又同之后加上又同时时减去一次减去一次项项的一半的平方 的一半的平方 3 把前三 把前三项项凑成完全平方式 凑成完全平方式 一 不 一 不带带限制条件的二次型函数的最限制条件的二次型函数的最值值与与值值域的求解域的求解 技巧技巧 1 通 通过过配方后得到配方后得到 a bac a b xay 4 4 2 2 2 当当时时 值值域是域是0 a a bac y 4 4 2 min 4 4 2 a bac 当当时时 值值域是域是0 a a bac y 4 4 2 max a bac 4 4 2 技巧技巧 2 求出 求出对对称称轴轴 然后把 然后把对对称称轴带轴带入原函数即得入原函数即得 及及时时反反馈馈 1 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 1 2 xxy 2 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 要求配方后作出函域 要求配方后作出函12 3 1 2 xxy 数的数的图图像 像 3 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 82 2 xxy 6 4 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 提示 分离 提示 分离变变量后用配量后用配 1 2 2 xx xx y 方法 当然方法 当然还还可以用判可以用判别别式法式法处处理本理本题题 答案 答案 1 3 1 二 二 带带有限制条件二次型函数的最有限制条件二次型函数的最值值与与值值域的求解有两域的求解有两类类 1 是求具体函数 即不含字母参数的 在 是求具体函数 即不含字母参数的 在闭闭区区间间上的最上的最值值 m n 与与值值域 域 技巧技巧 1 通 通过过配方后画出配方后画出图图形 由数形形 由数形结结合即可求解合即可求解 带带有限制条件的二次函数有限制条件的二次函数图图像的画法像的画法须须注意以下几注意以下几 点 点 对对称称轴轴 开口 开口 顶顶点 点 与坐与坐标轴标轴的交点的交点 注意 先画全注意 先画全图图 后根据定 后根据定义义域加以取舍 域加以取舍 技巧技巧 2 可不画 可不画图图求出求出对对称称轴轴 看 看对对称称轴轴与区与区间间的位置关系的位置关系 若若对对称称轴轴包含在区包含在区间间内 内 则则把端点及把端点及对对称称轴处轴处的函数的函数值值 全求出来加以比全求出来加以比较较 最大者 最大者为为最大最大值值 最小者 最小者为为最小最小值值 若若对对称称轴轴在区在区间间外 外 则则只需把端点只需把端点处处的函数的函数值值求出来即求出来即 可最大者可最大者为为最大最大值值 最小者 最小者为为最小最小值值 及及时时反反馈馈 1 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 0 1 2 xxxy 2 求函数 求函数的的值值域 答 域 答 4 8 2 25 1 2 yxxx 3 求函数 求函数在如下区在如下区间间中的的最中的的最值值与与值值域 域 32 2 xxy 2 4 2 1 5 3 4 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 提示 先 提示 先转转化化为带为带有有xxy2cossin 7 限制条件的二次型函数的最限制条件的二次型函数的最值值与与值值域的求解 域的求解 5 若 若 则则函数函数 9 27 1 x 3 log 27 log 33 x x xf A 有最小 有最小值值 最大 最大值值 3 B 有最小 有最小值值 最大 最大值值 12 9 32 4 C 有最小 有最小值值 无最大 无最大值值 D 无最小 无最小值值 有最大 有最大值值 12 9 32 2 是求区 是求区间间定 定 动动 对对称称轴动轴动 定 的最 定 的最值问题值问题 即含字母参数的 即含字母参数的 此 此时时要分要分 轴轴在区在区间间左 左 轴轴在区在区间间右 右 轴轴在区在区间间内内 三种情况三种情况 加以加以讨论讨论 及及时时反反馈馈 1 当 当时时 函数 函数在在时时取得最大取得最大 2 0 x3 1 4 2 xaaxxf2 x 值值 则则 的取的取值值范范围围是是 答 答 a 2 1 a 2 分 分别别根据下列条件 求根据下列条件 求实实数数 a 的的值值 函数 函数在区在区间间上有最大上有最大值值 2 aaxxxf 12 2 1 0 答案 答案 a 1 或或 2 函数 函数在区在区间间上有最大上有最大值值 4 12 2 axaxxf 2 3 答案 答案 a 3 或或 8 3 函数 函数在区在区间间上有最大上有最大值值 3 1 12 2 xaaxxf 2 2 3 答案 答案 a 或或 2 1 3 2 3 求函数 求函数在区在区间间上的最大上的最大值值 aaxxxf 12 2 1 0 小小结结 求二次函数的最 求二次函数的最值值与与值值域域问题问题 勿忘数形 勿忘数形结结合 注合 注 意意 两看两看 一看开口方向 二看 一看开口方向 二看对对称称轴轴与所与所给给区区间间的相的相对对位置关位置关 系 系 法 六 法 六 换换元法元法 8 通通过换过换元把一个元把一个较较复复杂杂的函数的函数变为简单变为简单易求易求值值域的函数 域的函数 其函数特征一般是函数解析式含有根式或三角函数公式模型其函数特征一般是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 代数代数换换元法元法 及及时时反反馈馈 1 1 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 1 xxy 解 解 11 1 1 xxxxy 令令 运用 运用换换元法元法时时 要特 要特别别要注意新元要注意新元 的范的范围围 tx 1t 易知易知 0 whyt 所以所以 所以 所以 欲求原函数的 欲求原函数的值值域 只需求域 只需求 2 1tx 0 1 2 ttty 的最的最值值与与值值域即可 解法同上面的域即可 解法同上面的 及及时时反反馈馈 0 1 2 ttty 2 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 答案 答案 xxy21 2 1 2 的的值值域域为为 答 答 2 2sin3cos1yxx 17 4 8 3 的的值值域域为为 答 答 令 令 运 运211yxx 3 1xt 0t 用用换换元法元法时时 要特 要特别别要注意新元要注意新元 的范的范围围 t 4 的的值值域域为为 答 答 cossincossin y 1 1 2 2 5 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 14242 22 xxxxy 三角三角换换元法元法 及及时时反反馈馈 1 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 2 1xxy 9 2 已知 已知变变量量满满足足 求 求的最的最值值 yx 1 22 yx yx43 3 已知 已知变变量量满满足足 求 求的最的最值值 yx 4002516 22 yxyx43 4 已知 已知 则则的最小的最小值为值为 0 1 0 abx x b x a xf 1 22 A B C D 2 2 ba 2 ba 22 ba 22 ba 5 的的值值域域为为 答 答 2 49yxx 1 3 24 法 七 法 七 单调单调性法性法 若函数若函数在区在区间间内内单调递单调递增 增 则则 xf ba min afy max bfy 若函数若函数在区在区间间内内单调递单调递减 减 则则 xf ba min bfy max afy 及及时时反反馈馈 1 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 1 xxy 易知此函数的定易知此函数的定义义域域为为 而在此区 而在此区间间内函数内函数递递增 增 1 故当故当时时 1 min x1 1 min fy 2 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 答案 答案 xxy21 2 1 3 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 1 19 yxx x 法 八 判法 八 判别别式法式法 思考 此题同上面的 及时反馈及时反馈 5 有何区别与联系 解 定义域优先考虑 由得 联想到联想到 三角函数中的的范围不就01 2 x11 x cos sin 也是吗 所以令 其中 则1cos sin1 x cos 0whyx sin sin sincos11 222 whyx 所以求函数的最值与值域问题就转化为求函数 2 1xxy 最值与值域 下略 下略 0 cossin y 10 对对分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但这类这类 题题型有型有时时也可以用其它方法也可以用其它方法进进行求解 不必拘泥在判行求解 不必拘泥在判别别式法上 式法上 也可先通也可先通过过部分分式后 再利用均部分分式后 再利用均值值不等式 如不等式 如型 型 2 2 xm xn y xmxn 通常用判通常用判别别式法式法 及及时时反反馈馈 1 求 求的的值值域 域 2 1 x y x 2 求函数 求函数的最的最值值与与值值域 域 1 22 2 2 xx xx y 解 易知定解 易知定义义域域为为 R 由 由变变形得形得 1 22 2 2 xx xx y 0 2 1 2 2 yxyxy 当二次当二次项项系数系数为为字母参数字母参数时时注意注意对对其分等于其分等于 0 和不等于和不等于 0 两情两情 形加以形加以讨论讨论 当当时时 即 即 y 2 方程 方程变为变为 此 此时时02 y003 xRx 0 当当时时 即 即 因 因为为 方程方程02 y2 yRx 0 2 1 2 2 yxyxy 恒有恒有实实根根0 2 4 1 22 yy51 y 又又值值域域为为 51 2 yy 1 22 2 xx xx y 51 yy 2 若函数 若函数的的值值域是域是 则则 a b 的的值为值为 1 2 x bax y 4 1 答 答 a 4 b 3 3 已知函数 已知函数的定的定义义域域为为 R 值值域域为为 0 2 求 求 2 3 2 8 log 1 mxxn y x 常数常数的的值值 答 答 m n5mn 11 判判别别式法的思想意式法的思想意义义 判判别别式法式法 这这种思想方法巧妙的把种思想方法巧妙的把 函数 不等式 方程有机的勾函数 不等式 方程有机的勾结结起来 使得函数 不等式 方程三起来 使得函数 不等式 方程三 者互相者互相转转化的思想体化的思想体现现得淋漓尽致 得淋漓尽致 法 九 法 九 导导数法数法 导导数是高等数学中的一个极其重要的概念 是数是高等数学中的一个极其重要的概念 是处处理很多函理很多函 数数问题问题的有力工具 自从高中数学引入了的有力工具 自从高中数学引入了导导数 函数数 函数问题问题的的处处理理 思想和方法置于更加广思想和方法置于更加广阔阔的天地之中 一般适用于高次多的天地之中 一般适用于高次多项项式函式函 数的最数的最值值与与值值域的求解 域的求解 曾曾记记否 用否 用导导数求函数的最数求函数的最值值与与值值域的步域的步骤骤 及及时时反反馈馈 1 求函数 求函数 的最小的最小值值 答 答 48 32 2440f xxxx 3 3 x 2 2005 高考高考贵贵州卷州卷 用用长为长为 90cm 宽为宽为 48cm 的的长长方形方形铁铁皮皮 做一个无盖的容器做一个无盖的容器 先在四角分先在四角分别别截去一个小正方形截去一个小正方形 然后把四然后把四边边 翻翻转转 90 角角 再再焊焊接而成接而成 如如图图 问该问该容器的高容器的高为为多少多少时时 容器的容容器的容 积积最大最大 最大容最大容积积是多少是多少 解 设容器的高为 x 容器的体积为 V 1 分 则 V 90 2x 48 2x x 0 x 24 4x3 276x2 4320 x 5 分分 V 12 x2 552x 4320 7 分分 由由 V 12 x2 552x 4320 0 得得 x1 10 x2 36 x0 10 x 36 时时 V 36 时时 V 0 12 所当所当 x 10 V 有极大有极大值值 V 10 1960 10 分分 V 0 0 V 24 0 11 分分 当当 x 10 V 有最大有最大值值 V 10 1960 12 分分 3 2008 年高考重年高考重庆庆卷 卷 已知函数已知函数的最大的最大值为值为 M 最最31 xxy 小小值为值为 m 则则的的值为值为 M m A B C D 4 1 2 1 2 2 2 3 答案 答案 C 4 2004 年高考年高考贵贵州州 理理 22 本小 本小题满题满分分 14 分 分 已知函数已知函数 f x ln 1 x x g x xlnx 求函数 求函数 f x 的最大的最大值值 设设 0 a b 证证明明 0 g a g b 2g a 恒成立 恒成立 则则 a 的取的取 值值范范围围是是 法 十一 函数有界性法法 十一 函数有界性法 直接求函数的直接求函数的值值域困域困难时难时 可以利用已学 可以利用已学过过函数的有界性 函数的有界性 来确定所求函数的来确定所求函数的值值域 最常用的就是三角函数的有界性域 最常用的就是三角函数的有界性 及及时时反反馈馈 1 求函数 求函数的的值值域域 2sin1 1sin y 解 由解 由变变形得形得 因 因为为 所以 所以 2sin1 1sin y y y 2 1 sin 1sin1 解此不等式即得 解此不等式即得 答案 答案 1 2 1 1 y y1 2 16 2 的的值值域 答 域 答 3 答案 答案 0 1 2sin1 1cos y 3 2 3 1 3 x x y 法 十二 法 十二 对对勾函数法勾函数法 及及时时反反馈馈 1 已知 已知 则则的最小的最小值值是 是 4 1 0 tt t tf 1 A B C 2 D 2 4 15 8 63 2 2008 年