哈尔滨市香坊区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（ 共 36 页） 2015年黑龙江省哈尔滨市香坊区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3分，满分 30分） 1 （ 2015 秋 香坊区期末）抛物线 y= 的图象与 y 轴的交点坐标是（ ） A（ 2， 0） B（ 2， 0） C（ 0， 2） D（ 0， 2） 2 （ 2015黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （ 2015松北区一模）反比例函数 y= 的图象，当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ） A m 3 B m3 C m 3 D m3 4 （ 2015永嘉县二模）将二次函数 y=图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A y=（ x 1） 2+2 B y=（ x+1） 2+2 C y=（ x 1） 2 2 D y=（ x+1） 2 2 5 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，将一长为 6 米的梯子 靠在墙面上，梯子与地面所成的角 5，此时梯子的顶端与地面的距离 长为（ ）米 A 6B C 6D 第 2 页（ 共 36 页） 6 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，利用标杆 量建筑物的高度，标杆 得 m，4m，则棱高 （ ） A 12m D 14m 7 （ 2015 秋 香坊区期末）如图， O 的直径，弦 E，若 ， B=60，则长（ ） A B 2 C 2 D 4 8 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ， C， 点 D，以点 C 为旋转中心，将 时针旋转，得到 若 5，则 大小为（ ） A 140 B 145 C 150 D 155 9 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ， E 是 一点，且 下列式子中错误的是（ ） 第 3 页（ 共 36 页） A B C D 10 （ 2015 秋 香坊区期末）甲、乙两车分别从相距 480 A、 B 两地相向而行，乙车比甲车先出发 1 小时，并以各自的速度匀速行驶，途径 C 地，甲车到达 C 地停留 1 小时，因有事按原路原速返回 A 地，乙车从 B 地直达 A 地，两车同时到达 A 地甲、乙两 车距各自出发地的路程 y（千米）与甲车出发所用的时间 x（小时）的关系如图，下列说法： 乙车的速度是 60 千米 /时； 甲车从 C 返回 A 的速度为 120 千米 /时； t=3； 当两车相距 120 千米 /时，乙车行驶的时间是 4 小时， 其中正确的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题（共 10 小题，每小题 3分，满分 30分） 11 （ 2015郴州）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围 是 12 （ 2015 秋 香坊区期末）一个扇形面积是 36径是 12这个扇形的弧长是 第 4 页（ 共 36 页） 13 （ 2015 秋 香坊区期末）如图， A、 B 两点在双曲线 y= 上，经过 A、 B 两点分别向坐标轴作垂线段，已知 S 阴影 =1，则 2= 14 （ 2015 秋 香坊区期末）二次函数 y=23x+k 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 15 （ 2015福建）如图，正五边形 接于 O，则 度 16 （ 2015 秋 香坊区期末）在 ， M 是 长线上一点， E 是 中点，连接 延长，交 F，交 长线于点 N，若 ， ，则 17 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ， C=90， O 是 一点， O 与 切于点 E，交 点 F，连接 度数是 第 5 页（ 共 36 页） 18 （ 2015 秋 香坊区期末）在 ， B= ， ， ，则线段 长为 19 （ 2015 秋 香坊区期末）如 图，直线 y=2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数 y= （ x 0）的图象交于点 B，过点 B 作 x 轴于点 C，连接 ，则此反比函数解析式为 20 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ， D 是 一点，且 D=3 ，则 三、解答题（共 7小题，满分 60分） 第 6 页（ 共 36 页） 21（ 7 分）（ 2015 秋 香坊区期末）先化简，再求值： ，其中a=6 b= 22（ 7 分）（ 2015 秋 香坊区期末）如图，在每个小正方形的边长均为 1 的方格纸中，有线段 A、 B 均在小正方形的顶点上 （ 1）在方格纸中将线段 A 点旋转，得到线段 C 落在校正方形的 顶点上，连接 面积为 10； （ 2）在方格纸中画，以 在直线为对称轴，作 轴对称图形 接 接写出 正弦值 23（ 8 分）（ 2015 秋 香坊区期末）如图， O 的弦，且 接 延长交 F，连接 延长交 E 两点，求证： F 24（ 8 分）（ 2015 秋 香坊区期末）在 ， C，以点 B 为旋转中心，将 时针旋转得到 点 A 的对应点是点 D，点 C 的对应点是点 E） （ 1）如图 1，若 接 证：四边形 菱形； （ 2）如图 2，当点 D 落在 时，若 C= ， ，连接 长 第 7 页（ 共 36 页） 25（ 10 分）（ 2015 秋 香坊区期末）如图（ 1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状抛物线两端点与水面的距离都是 1m，拱桥的跨度 为 10洞与水面的最大距离是 5m桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（ 2）求： （ 1）抛物线的解析式； （ 2）两盏景观灯 26（ 10 分）（ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ，以 直径的 O，交 点 D，且 D，交直线 点 E，连接 （ 1）如图 1，求证： （ 2）如图 2，过 D 作 F，求证： （ 3）如图 3，在（ 2）的条件下，在 内部作 别交 E 于点 N、 G，交 O 于点 M，若 ，求 长 第 8 页（ 共 36 页） 27（ 10 分）（ 2015 秋 香坊区期末）已知抛物线 y= k 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，且 （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）若点 P 为抛物线上第一象限内一点，连接 线段 点 B 逆时针旋转 90，得到 接 A 作直线 垂线，垂足为 E，过 B 作直线 垂线，垂足为 F，作线段 垂直平分线交 x 轴于点 H，过点 H 作 y 轴，交抛物线于点 D，求点 D 的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，延长 长线于点 M，连接 点 N，当 H 时，求 正切值 第 9 页（ 共 36 页） 2015年黑龙江省哈尔滨市香坊 区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3分，满分 30分） 1 （ 2015 秋 香坊区期末）抛物线 y= 的图象与 y 轴的交点坐标是（ ） A（ 2， 0） B（ 2， 0） C（ 0， 2） D（ 0， 2） 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 根据 y 轴上点的坐标特征，计算自变量为 0 时的函数值即可 【解答】 解：当 x=0 时， y=2， 所以抛物线 y= 的图象与 y 轴的交点坐标是（ 0， 2） 故选 D 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特 征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，即已知横坐标可求对应的纵坐标本题的关键是确定 y 轴上点的坐标特征 2 （ 2015黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图 形的概念求解 【解答】 解： A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 故选： A 【点评】 本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合 第 10 页（ 共 36 页） 3 （ 2015松北区一模）反比例函数 y= 的图象，当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ） A m 3 B m3 C m 3 D m3 【考点】 反比例函数的性质 【分析】 根据反比例函数的性质可得 m 3 0，再解不等式即可 【解答】 解： 当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大， m 3 0， 解得 m 3， 故选： A 【点评】 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数 （ k0），（ 1） k 0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；（ 2） k 0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 4 （ 2015永嘉县二模）将二次函数 y=图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A y=（ x 1） 2+2 B y=（ x+1） 2+2 C y=（ x 1） 2 2 D y=（ x+1） 2 2 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案 【解答】 解：将二次函数 y=图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图 象的函数表达式是 y=（ x 1） 2+2， 故选： A 【点评】 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键 5 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，将一长为 6 米的梯子 靠在墙面上，梯子与地面所成的角 5，此时梯子的顶端与地面的距离 长为（ ）米 第 11 页（ 共 36 页） A 6B C 6D 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 在 ，根据 5， 米，解直角三角形求出 长度即可 【解答】 解：在 ， 0， 5， 米， D 故选 C 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用的知识，解答本题的关键是根据已知条件构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解，难度适中 6 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，利用标杆 量建筑物的高度，标杆 得 m，4m，则棱高 （ ） A 12m D 14m 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 先根据题意得出 根据相似三角形的对应边成比例即可求出 值 【解答】 解： = ， 第 12 页（ 共 36 页） ， 4， 6， = ， 2 故选 C 【点评】 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键 7 （ 2015 秋 香坊区期末）如图， O 的直径，弦 E，若 ， B=60，则长（ ） A B 2 C 2 D 4 【考点】 垂径定理；勾股定理 【分析】 根据弦 ， ， B=60可知 E= BE=x，则 E=BEx， x，在 ，根据勾股定理求出 x 的值，进而 可得出结论 【解答】 解： O 的直径，弦 E， ， B=60， E= BE=x，则 E=BE x， x， 在 ， x， x， ， （ 2 x） 2+（ x） 2=22，解得 x=1， ， 故选 B 【点评】 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意得出 间的关系，利用勾股定理求解是解答此题的关键 第 13 页（ 共 36 页） 8 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ， C， 点 D，以点 C 为旋转中心，将 时针旋转，得到 若 5，则 大小为（ ） A 140 B 145 C 150 D 155 【考点】 旋转的性质 【分析】 直角 利用三角形内角和定理求得 度数，然后根据等边对等角求得 在 利用三角形内角和定理求得 度数，则 可求得 【解答】 解： 直角 ， 0 0 35=55， 又 C， 5， 80 55 55=70， 又 70+70=140 故选 A 【点评】 本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质：等边对等角，正确求得 度数是关键 9 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ， E 是 一点，且 下列式子中错误的是（ ） A B C D 【考点】 平行线分线段成比例 第 14 页（ 共 36 页） 【分析】 由 据平行线分线段成比例定理，可得证得 ， = = ， ，又由四边形 平行四边形，易得 ，则可求得答案 【解答】 解： A、 ，故正确； B、 = ， = ， = ，故正确； C、 ， ， 四边形 平行四边形， C， D， ，故正确； D、 ， 故错误 故选 D 【点评】 此题考查了平行线分线段成比例定理注意掌握线段的对应关系 10 （ 2015 秋 香坊区期末）甲、乙两车分别从相距 480 A、 B 两地相向而行，乙车比甲车先出发 1 小时，并以各自的速度匀速行驶，途径 C 地，甲车到达 C 地停留 1 小时，因有事按原路原速返回 A 地，乙车从 B 地直达 A 地，两车同时到达 A 地甲、乙两车距各自出发地的路程 y（千米）与甲车出发所用的时间 x（小时）的关系如图，下列说法： 乙车的速度是 60 千米 /时； 甲车从 C 返回 A 的速度为 120 千米 /时； t=3； 当两车相距 120 千米 /时，乙车行驶的时间是 4 小时， 其中正确的有（ ） 第 15 页（ 共 36 页） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 一次函数的应用 【专题】 行程问题 【分析】 根据函数图象和已知条件，可以判断 是否正确，从而可以解答本题 【解答】 解：由图象可得，乙车的速度为： 601=60 千米 /时，故 正确； 甲车从开始最后回到 A 地用的时间为：（ 480 60） 60=7（小时） 则甲从 C 返回 A 地的速度为： 360 =120 千米 /时，故 正确； 由图可得： t= =3（小时），故 正确； 由图象可知，两车相距 120 千米时有三种情况，相遇前一种，相遇后两种，故 错误； 故 正确 故选 C 【点评】 本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件 二、填空题（共 10 小题，每小题 3分，满分 30分） 11 （ 2015郴州）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x2 【 考点】 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件 【专题】 计算题 【分析】 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为 0 【解答】 解：要使分式有意义，即： x 20， 解得： x2 故答案为： x2 【点评】 本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0 第 16 页（ 共 36 页） 12 （ 2015 秋 香坊区期末）一个扇形面积是 36径是 12这个扇形的弧长是 6 【考点】 扇形面积的计算；弧长的计算 【分析】 直接根据扇形的面积公式 计算即可 【解答】 解：设弧长为 l， 扇形的面积为 36径为 12 4l=36， l=6 故答案为： 6 【点评】 本题考查了扇形的面积公式： S= lR（ l 为扇形的弧长， R 为半径），熟记扇形的面积公式是解题的关键 13 （ 2015 秋 香坊区期末）如图， A、 B 两点在双曲线 y= 上，经过 A、 B 两点分别向坐标轴 作垂线段，已知 S 阴影 =1，则 2= 10 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 根据反比例系数 k 的几何意义得到 阴影 = 阴影 =6，由 S 阴影 =1 得 2=5，然后计算2 【解答】 解：根据题意得 阴影 = 阴影 =6， 而 S 阴影 =1， 所以 2=5， 所以 2=10 故答案为 10 第 17 页（ 共 36 页） 【点评】 本题考查了反比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= 图象中任取一点，过这一个点向x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 |k|在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变 14 （ 2015 秋 香坊区期末）二次函数 y=23x+x 轴有交点，则 k 的取值范围是 k 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【专题】 计算题 【分析】 利用 =4定 抛物线与 x 轴的交点个数得到 =（ 3） 2 42k0，然后解不等式即可 【解答】 解： 二次函数 y=23x+k 的图象与 x 轴有交点， =（ 3） 2 42k0， k 故答案为 k 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点：对于二次函数 y=bx+c（ a， b， c 是常数， a0）， =4定抛物线与 x 轴的交点个数： =40 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =4时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =40 时，抛物线与 x 轴没有交点 15 （ 2015福建）如图，正五边形 接于 O，则 36 度 【考点】 圆周角定理；正多边形和圆 【分析】 圆内接正五边形 顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解 【解答】 解： 五边形 正五边形， = = = = =72， 72=36 第 18 页（ 共 36 页） 故答案为 36 【点评】 本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键 16 （ 2015 秋 香坊区期末）在 ， M 是 长线上一点， E 是 中点，连接 延长，交 F，交 长线于点 N，若 ， ，则 7 【考点】 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【专题】 计算题 【分析】 先根据平行四边形的性质得到 D，则由 得到 = ，根据比例性质得= ，接着证明 后利用相似比可计算出 【解答】 解： 四边形 平行四边形， D， 而 ， = ， = ，即 = ， E 是 中点， ， ， = ，即 = ， 故答案为 7 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作第 19 页（ 共 36 页） 平行线构造相似三角形在利用相似三角形的性质时，注意通过相似比计算相应线段的长或对应角线段解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形 17 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ， C=90， O 是 一点， O 与 切于点 E，交 点 F，连接 度数是 30 【考点】 切线的判定 【分析】 连接 据圆周角定理和切线的性质得出 0，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出 F=得 0，得出 0，然后根据平行线的性质即可求得 0 【解答】 解：连接 O 与 切于点 E， 直径， 0， F= F， F= 0， 0 60=30， 0， 故答案为 30 第 20 页（ 共 36 页） 【点评】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键 18 （ 2015 秋 香坊区期末）在 ， B= ， ， ，则线段 长为 4或 2 【考点】 解直角三角形 【分析】 此题分两种情况：如图 1，过 A 作 D，在 ，由已知条件 B= ，设 x， x，根据勾股定理求出 x 的值，从而得出 ， ，在 ，根据勾股定理得出 ，于是得到结果；如图 2，过 A 作 延长 线于 D，同理可得结果 【解答】 解：如图 1，过 A 作 D， 在 ， B= ， 设 x， x， （ 2x） 2+（ 3x） 2=（ ） 2， x=1， ， ， 在 ， =1， D+； 如图 2，过 A 作 延长线于 D， 在 ， B= ， 设 x， x， （ 2x） 2+（ 3x） 2=（ ） 2， 第 21 页（ 共 36 页） x=1， ， ， 在 ， =1， D ； 故答案为： 4 或 2 【点评】 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 19 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，直线 y=2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数 y= （ x 0）的图象交于点 B，过点 C ，连接 ，则此反比函数解析式为 y= 【考 点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 根据直线的解析式求得 A 的坐标，然后根据已知求得 B 的横坐标，把 B 的横坐标代入直线解析式求得 B 的坐标，然后代入 y= （ x 0），根据待定系数法即可求得 【解答】 解： 直线 y=2x+2 与 y 轴交于 A 点， A（ 0， 2）， 第 22 页（ 共 36 页） ， ， =2， ， B 的横坐标为 1， 把 x=1 代入 y=2x+2 得， y=21+2=4， B（ 1， 4）， 代入 y= （ x 0）得， 4= ， k=4， 反比函数解析式为 y= ， 故答案为 y= 【点评】 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得 B 点的坐标是解题的关键 20 （ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ， D 是 一点，且 D=3 ，则 8 【考点】 相似三角形的判定与性质；解直角三角形 【分析】 作 足分别为 E、 F，由 = =3，因为 D=3，可以求出 ， ，再在 用 出 可 【解答】 解：作 足分别为 E、 F 0， = =3， D， 第 23 页（ 共 36 页） F=3， ， 在 ， 0， ， ， ， 故答案为 8 【点评】 本题考查相似三角形的性质、三角函数等知识，解题的关键是由三角形相似得出边的比例关系，求出相应的线段，记住等腰三角形的高是常用辅助线 三、解答题（共 7小题，满分 60分） 21（ 7 分）（ 2015 秋 香坊区期末）先化简，再求值： ，其中a=6 b= 【考点】 分式的化简求值；特殊角的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 先把括号内通分，再把分子分解因式后把除法运算化为乘法运算得到原式 = ，然后根据特殊角的三角函数值计算出 a 和 b 的值，再把 a 和 b 的值代入 中计算即可 【解答】 解：原式 = = = ， a=66 + =3+ ， b= =3， 第 24 页（ 共 36 页） 原式 = = 【点评】 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式也考查了特殊角的三角函数值 22（ 7 分）（ 2015 秋 香坊区期末）如图，在每个小正方形的边长均为 1 的方格纸中，有线段 A、 B 均在小正方形的顶点上 （ 1）在方格纸中将线段 A 点旋转，得到线段 C 落在校正方形的顶点上，连接 面积为 10； （ 2）在方格纸中画，以 在直线为对称轴，作 轴对称图形 接 接写出 正弦值 【考点】 作图 图 【专题】 作图题 【分析】 （ 1）由于 =5，而 面积为 10，则点 B 到 距离为 4，然后再过点 A 的水平格线上取 5 个单位即可得到 C 点，从而得到 （ 2）作点 B 关于直线 对称点 D，则可得到 直线 交于点 E，计算出 E，然后利用正弦的定义可计算出 正弦值 【解答】 解：（ 1）如图， 所作； （ 2）如图， 所求作， = 第 25 页（ 共 36 页） 【点评】 本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等 的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了轴对称变换 23（ 8 分）（ 2015 秋 香坊区期末）如图， O 的弦，且 接 延长交 F，连接 延长交 E 两点，求证： F 【考点】 圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】 过 O 作 H，由垂径定理得出 H，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出 出 F，由等腰三角形的三线合一性质得出 H，即可得出结论 【解答】 证明：过 O 作 H，如图所示： 则 H， D， C= D， C= D= F， H， 第 26 页（ 共 36 页） H F 【点评】 本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握垂径定理，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键 24（ 8 分）（ 2015 秋 香坊区期末）在 ， C，以点 B 为旋转中心，将 时针旋转得到 点 A 的对应点是点 D，点 C 的对应点是点 E） （ 1）如图 1，若 接 证：四边形 菱形； （ 2）如图 2，当点 D 落在 时，若 C= ， ，连接 长 【考点】 旋转的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形 【分析】 （ 1）由旋转的性质可 知： D，从而得到 D，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知四边形 平行四边形，然后由 C 可知四边形 菱形； （ 2）过 A 作 F，过 E 作 H由等腰三角形三线合一的性质可知 F，由= 可求得 ， F=3，从而得到 F+由旋转性质得 C=6， 锐角三角函数的定义可求 得 长，由 C 求得 最后在 由勾股定理可求得 长 【解答】 解：（ 1） 由旋转的性质可知： D， C， D 又 第 27 页（ 共 36 页） 四边形 平行四边形 又 C， 四边形 菱形 （ 2）如图所示：过 A 作 F，过 E 作 H，连接 B=5 F 在 ， = 设 a， a 在 ， =5a=5 a=1 ， F=3a=3 F+ 在 ， ， 由旋转性质得， C=6， ， 在 ， E = ， E = C 在 ， = 【点评】 本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、平行四边形、菱形的判定，锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质，求得 长是解题的关键 第 28 页（ 共 36 页） 25（ 10 分）（ 2015 秋 香坊区期末）如图（ 1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线 形状抛物线两端点与水面的距离都是 1m，拱桥的跨度为 10洞与水面的最大距离是 5m桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（ 2）求： （ 1）抛物线的解析式； （ 2）两盏景观灯 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（ 5， 5），与y 轴交点坐标是（ 0， 1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程； （ 2）第二 题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为 4 代入，求出 x，然后两者相减，就是它们的距离 【解答】 解：（ 1）抛物线的顶点坐标为（ 5， 5），与 y 轴交点坐标是（ 0， 1）， 设抛物线的解析式是 y=a（ x 5） 2+5， 把（ 0， 1）代入 y=a（ x 5） 2+5， 得 a= ， y= （ x 5） 2+5（ 0x10）； （ 2）由已知得两景观灯的纵坐标都是 4， 4= （ x 5） 2+5， （ x 5） 2=1， ， ， 两景观灯间的距离为 =5 米 【点评】 本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键 第 29 页（ 共 36 页） 26（ 10 分）（ 2015 秋 香坊区期末）如图，在 ，以 直径的 O，交 点 D，且 D，交直线 点 E，连接 （ 1）如图 1，求证： （ 2）如图 2，过 D 作 F，求证： （ 3）如图 3，在（ 2）的条件下，在 内部作 别交 E 于点 N、 G，交 O 于点 M，若 ，求 长 【考点】 圆的综合题 【分析】 （ 1）连接 O 的直径，得到 0，推出 直平分 C，得到 分 可得到结论； （ 2）延长 O 于 K，连接 O 的直径，得到 0，于是得到 出 K， D，求得 E，等量代换即可得到结论； （ 3）连接 接 ，得到 ，求得 ，推出 据全等三角形的性质得到 B= ，解直角三角形求得 C+ ，过 G 作 ，则在 ， = ，设 a， a，于是得到 = ，推出 ， ，由 勾股定理得到 D= ，连接 出 据相似三角形的性质得到 ，代入数据即可得到结论 【解答】 （ 1）证明：连接 O 的直径， 0， 又 D， 第 30 页（ 共 36 页） 直平分 C， 分 （ 2）证明：延长 O 于 K，连接 O 的直径， 0， D， D= B， O 的直径， K， D， E， K=K， E， E， （ 3）解：连接 接 ， ， ， ， 第 31 页（ 共 36 页） 在 ， ， B= ， 在 ， =3 ， = ， B=3 ， ， C+ ， 在 ， = ， 过 G 作 H，则在 ， = ， 设 a， a， 在 ， = = ， BH=a， H+DH=a+4a=6， a= ， ， ， 在 ， = = ， 连接 E， M， M， ，即 ， ， 第 32 页（ 共 36 页） M 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正确的