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用心 爱心 专心1 对一道数学题的展开对一道数学题的展开 在数学复习教学中 选好一道例题 通过一题多思 一题多解 一题多讲 可以巩固学生知识 训练学生思维 开拓学生视野 例题 已知 且 求 的最小值 1 91 yx 法一 均值不等式法 12 12 2 6 9 91 691 1 的最小值是 时取等号 当且仅当 又 时取等号 即 当且仅当 yx yx yx xyyx xy xy yx xyyx Ryx 此题答案有误 因为 式的等号不能同时成立 所以 式等号不能取 但事实上推导过程无误 只不过扩大了 的范围 此种推导在选择题 时 其选择项若是 6 8 12 16 当可排除 6 8 12 得 16 此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少 法 2 1 的妙用 时取等号时即当且仅当12 4 9 16 9 10 91 1 91 yx y x x y y x x y yx yxyx yx 8 1 1 1 1 1 1 1 cba cbaRcba求证 又如 cba cbaabccba 111 1 求证是不等正数且再如 用心 爱心 专心2 法 3 构造 x y 不等式法 可得得 由 2 2 10 9 9 11 91 yx yx yx 变式 已知 x xy 4y 5 x y R 求 xy 取值范围 法 4 换元后构造均值不等式法 时取等号 即当且仅当 所以 得由 4 1 9 1 16 1 9 110 1 9 9 1 1 9 91 91 x x x x x x xyx x x y yx 法 5 用判别式法 的最小值 的范围从而得到解得 且可由 的二次方程得关于 则令 得由 yxz zzz zz zxzxx x xx x x xzzyx x x x y yx 0 2 4 8 8 04 8 0 8 1 8 1 9 1 1 9 1 91 2 2 2 2 注意实根分布情况讨论 类似地 如 2x y 6 求的范围也可用判别式法 yx 11 法 6 三角代换法 16 cot9 tan10 csc9 sec sin 9 cos 1 2222 22 则 令 yx yx 用心 爱心 专心3 变 0 x0 b 0 则的最小值 x b x a 1 22 法 7 导数法 40 1 1 9 9 此极值必为最值在区间内有一个
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