安徽省皖北协作区2013届高三数学联考试题 理（扫描版）新人教A版

1 安徽省皖北协作区安徽省皖北协作区 20132013 届高三数学联考试题届高三数学联考试题 理 扫描版 理 扫描版 2 3 4 2013 年安徽省皖北协作区高三年级联考 数学 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 题号12345678910 答案ABDBCCCBDC 5 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 任意 2x 都有 2 310 xx 成立 12 672 13 2013 2014 14 2 15 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 解 2 2 sin cos2cos1sin2cos2f xkxxxkxx 2 分 8 x 时 xf 取得最大值 2 sin2cos21 88 kk 得 1k 5 分 注 其它方法请合情给分 由 得 4 2sin 22cos2sin xxxxf 2 42 2sin 2 2 AA f A是 ABC 的内角 4 A 7 分 由正弦定理 B b A a sinsin 得 Bsin 6 4 sin 2 即 2 3 sin B 3 B 或 3 2 B 得 12 5 C 或 12 C 10 分 当 12 5 C 时 2 33 4 26 62 2 1 sin 2 1 CabS ABC 当 12 C 时 2 33 4 26 62 2 1 sin 2 1 CabS ABC 12 分 也可求由余弦定理 4 cos62 6 2 222 cc 求c 再用 AbcS ABC sin 2 1 求 面积 17 本小题满分 12 分 解 由频率分布直方图可知 网球爱好者 人数为 0 00250 0100 20 10025 25520b 602040a 6 1004020535c 3 分 22 2 100 40 520 35 50 5 556 60 40 75 259 n adbc ab cd ac bd 5 分 因为3 841 5 5566 635 所以有 95 以上的把握认为 网球爱好者 与性别有关 6 分 1 3 4 XB 所以 X 的分布列为 X023 P 27 64 27 64 9 64 1 64 或 3 3 13 0 1 2 3 44 kkk P XkCk 13 3 44 EX 12 分 18 本小题满分 12 分 解 解法 1 连结AC与BD交于点F 连结NF F为BD的中点 NFPD且 1 2 NFPD 又 ECPD且 1 2 ECPD NFEC且NFEC 四边形 NFCE 为平行四边形 NEFC DBAC PD 平面ABCD AC 面ABCD AC PD 又PD BDD AC 面PBD NE 面PDB 5 分 延长PE与DC的延长线交于点G 连结GB 则GB为平面PBE与ABCD的交 线 2PDEC CD CGCB D B G 在以C为圆心 以BC为半径 的圆上 7 DB BG PD 平面ABCD BG 面ABCD PD BG 且PD DBD BG 面PDB PB 面PDB BG PB PBD 为平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角 PBD 45 在Rt PDB A 中PD DB 2 12 分 解法 2 如图以点D为坐标原点 以DA DC DP所在的直线分别为x轴 y 轴 z轴 建立空间直角坐标系如图所示 设PDa 则 1 1 0 0 1 0 0 0 BCPa 0 1 2 a E 1 1 2 2 2 a N 11 0 22 EN 1 1 PBa 1 1 0 DB 11 1100 22 EN PBa 11 11 0 00 22 EN DB ENPB ENDB PB DB 面PDB 且PB DBB NE 面PDB 5 分 由 知 1 1 aPB 2 1 0 a PE 设 x y z n 是面PBE的法向 量 则 0 0 PB PE n n 即 0 2 0 z a y azyx 令 2 z 则 ay ax 2 a a n z y x N E D C B A P 8 PD 平面ABCD 0 0 aPD 是ABCD的一个法向量 9 分 故 22 2 cos45 4 PDa PD aaa n n 得 2 a PD的长为 2 利用射影公式原 设影 S S cos 可酌情给分 12 分 19 本小题满分 12 分 解 由题意该函数的定义域为 0 x x 由 1 fxax x 因为曲线 f x 存在 平行于x轴的切线 故此时斜率为0 问题转化为 0 x 范围内导函数 1 fxax x 存在 零点 解法 1 图像法 再将之转化为 g xax 与 1 h x x 存在交点 当 0a 不符合题意 当 0a 时 如图 1 数形结合可得显然没有交点 当 0a 如图 2 此时正好有一个交点 故有 0a 解法 2 分离变量法 上述也可等价于方程 1 0ax x 在 0 内有解 可得 2 1 0 a x 5 分 2 2ln 2 a F xxaxx 2 22 axax F xaxa xx 9 函数 F x 在区间 1 e e 上是单调递减的 2 2 0 axax F x x 在区间 1 e e 上恒成立 即 2 20axax 在区间 1 e e 上恒成立 令 2 2h xaxax 当 0a 时 20h x 此时 函数 F x 在区间 1 e e 上是单调递减 当 0a 时 函数 2 2h xaxax 开口向上 对称轴为 11 2 xe e 只需 2 2 2 20h eaeaea ee 2 2 0a ee 当 0a 时 函数 2 2h xaxax 开口向下 对称轴为 11 2 xe e 只需 2 8080aaa 综上可知 2 2 8a ee 12 分 20 本小题满分 13 分 解 先判断出 6 0 在椭圆上 进而断定点 1 3 和 4 6 在抛物线上 故 3 1 在椭圆上 所以椭圆 1 C 方程为 22 1 62 xy 抛物线 2 C 方程为 2 9yx 5 分 设 1122 C x yD xy 10 22 3 3 36 yxm xy 消去 y 得 22 2260 xmxm 由 0 得 33m 22 7 分 而 2 1212 6 2 m xxxxm 故 2 2 12121212 3316 3336 m yyxmxmxxm xxm 欲使左焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部 则 0FC FD FC FD 1122121212 2 2 2 40 xyxyx xxxy y 整理得 3 0m m 即 30mm 或 12 分 由 可得m的取值范围是 2 3 3 0 2 3 13 分 21 本小题满分 14 分 解 解法 1 26 10 42 1 n Sn 1 24 1 2 n n n 2 21n 4 分 解法 2 当 1n 时 1 1S 当 2n 时 数列 n a 是以6为首项 4为公差的等差数列 1 6 1042 n Sn 642 1 1 2 n n 2 21n 综上可知 2 21 N n Snn 4 分 由 知 2 21f nn 2 1 21 nnn bf bb 11 1 cos 20 b 2 2 2 2cos1cos 2020 b 2 3 24 2cos1cos 2020 b 猜想 13 22 coscos 205 nn n b 7 分 证明 1n 时 1 cos 20 b 成立 假设 1 nk k 时 1 2 cos 20 k k b 成立 则 1nk 时 1 1 1 2 1 222 2cos1coscos 202020 kkk k b 成立 综上可知对一切的 Nn 都有 3 2 cos 5 n n b 成立 10 分 若存在正整数 k 使得 4 5 6 n kn bbn 成立 则 33 22 coscos 55 n kn 33 22 2 55 n kn m 或 33 22 2 N 55 n kn mm 3