高中数学应用题解题技巧

龙文学校 您值得信赖的专业化个性化辅导学校 教师 学生 时间 年 月 日 段 一 授课目的与考点分析 高中应用题专题复习高中应用题专题复习数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一 也是考生失分较多的一种题 型 解答这类问题的要害是深刻理解题意 学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化 这就需要建立恰当的数学 模型 这当中 函数 数列 不等式 排列组合是较为常见的模型 而三角 立几 解几等模型也应在复习时引起 重视 高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型 另外 估测计算型和信息迁移型也时有出现 当然 数学高考应用性问题关注当前国内外的政治 经济 文化 紧扣时代的主旋律 凸显了学科综合的特色 二 授课内容 一 求解应用题的一般步骤 1 审清题意 认真分析题目所给的有关材料 弄清题意 理顺问题中的条件和结论 找到关键量 进而明确其中的数量关系 等量或大小关系 2 建立文字数量关系式 把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系 这是问题解决的一把钥匙 3 转化为数学模型 将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言 建立相应的数学模型 一般要列出函数式 三角式 不等式 数 列 排列组合式 概率以及利用几何图形等进行分析 转化为一个数学问题 4 解决数学问题 利用所学数学知识解决转化后的数学问题 得到相应的数学结论 5 返本还原 把所得到的关于应用问题的数学结论 还原为实际问题本身所具有的意义 二 应用题的常见题型及对策 1 与函数 方程 组 不等式 组 有关的题型 常涉及物价 路程 产值 环保 土地等实际问题 也常常涉及角度 长度 面积 造价 利润等最优化问题 解决这类问题一般要利用数量关系 列出有关解析式 然后运用函数 方程 不等式等有关知识和方法加以解 决 尤其对函数最值 均值定理用得较多 2 与数列有关的问题 常涉及到产量 产值 繁殖 利息 物价 增长率 植树造林 土地沙化等有关的实际问题 解决这类问题常构造等差数列 等比数列 无穷递增等比数列 利用其公式解决或通过递推归纳得到结论 再 利用数列知识求解 3 与空间图形有关的问题 常与空间观测 面积 体积 地球的经纬度等问题有关 解决此类问题常利用立体几何 三角方面的有关知识 4 与直线 圆锥曲线有关的题型 常涉及定位 人造地球卫星 光的折射 反光灯 桥梁 线性规划等实际问题 龙文学校个性化辅导教 案提纲 龙文学校 您值得信赖的专业化个性化辅导学校 常通过建立直角坐标系 运用解析几何知识来解决 5 与正 余弦定理及三角变换有关的题型 常涉及实地测量 计算山高 河宽 最大视角等 6 与排列 组合有关的问题 运用排列 组合等知识解决 7 与概率 统计有关的应用问题 一 代数的应用题 1 求函数表达式 例 1 建筑一个容积为 48 米 3 深为 3 米的长方体蓄水池 池壁每平方米的造价为 a 元 池底每平方米的造价为 2a 元 把总造价 y 表示为底的一边长 x 米的函数 并指出函数的定义域 解 容积 底面积 高 48 底面积 3 48 底面另一边长 m x 16 池壁造价 池壁面积 a 2 3x 3m a 6 x a 6 x a x 16 x 16 池底造价 底面积 2a 16 2a 32a y 6 x a 32a x 0 x 16 2 面积问题 思考题 在上面的例 1 中 如何设计水池的长宽 使总造价最低 例 2 有根木料长为 6 米 要做一个如图的窗框 已知上框架与下框架的高的比为 1 2 问怎样利用木料 才能使 光线通过的窗框面积最大 中间木档的面积可忽略不计 解 如图设 x 则竖木料总长 3x 4x 7x 三根横木料总长 6 7x 窗框的高为 3x 宽为 3 76x 即窗框的面积 y 3x 7x2 6x 0 x 3 76x 7 6 配方 y 0 x 1020 炮弹爆炸点的轨迹是以 A B 为焦点的双曲线 以 AB 为 x 轴 AB 中点为原点建立直角坐标系 如图 A 700 0 B 700 0 c 700 且 2a 1020 a 510 b2 229900 炮弹爆炸的轨迹方程是 x 0 1 229900260100 22 yx 例 19 如图 某灾区的灾民分布在一个矩形地区 现要将救灾物资从 P 处紧急运往灾区 P 往灾区有两条道路 PA PB 且 PA 110 公里 PB 150 公里 AB 50 公里 为了使救灾物资尽快送到灾民手里 需要在灾区划分一条 界线 使从 PA 和 PB 两条路线到灾民所在地都比较近 求出该界线的方程 2R 2Rcos 2Rsin 龙文学校 您值得信赖的专业化个性化辅导学校 M P A B 解 要使沿 PA PB 两条线路到救灾地点都比较近 有三种情况 1 沿 PA 线路 2 沿 PB 线路 3 沿 PA PB 线路都相同 故分界线以第 3 种情况划分 即 PA MA PB MB 110 MA 150 MB MA MB 40 即知分界线是以 A B 为焦点的双曲线 AB 50 2c 50 c 25 2a 40 a 20 b2 225 若以 AB 为 x 轴 AB 的中点为原点建立直角坐标系 则分界线方程是 在矩形内的一段 1 225400 22 yx 注意 确定分界线的原则是 从 P 沿 PA PB 到分界