1.4生活中的优化问题举例 优秀公开课ppt课件.ppt

1 4生活中的优化问题举例 新源县第二中学高二数学组授课人 李中辉高二 6 班 知识回顾 一 如何判断函数的单调性 f x 为增函数 f x 为减函数 二 如何求函数的极值与最值 知识背景 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 通过前面的学习 我们知道 导数是求函数最大 小 值的有力工具 本节我们运用导数 解决一些生活中的优化问题 课题引人 小游戏游戏规则 把一根电线从中间任意一点剪断就得到两根较短的电线 把这两根电线折成两个小正方形 如果两个小正方形面积之和最小的一位同学获胜 思考 从哪里剪开可以使面积和最小 并且动手试试看 例1 海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上 下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 2 128 y x 1 因此 x 16是函数S x 的极小值 也是最小值点 所以 当版心高为16dm 宽为8dm时 能使四周空白面积最小 2 128 y x 1 练习1 一条长为l的铁丝截成两段 分别弯成两个正方形 要使两个正方形的面积和最小 两段铁丝的长度分别是多少 则两个正方形面积和为 由问题的实际意义可知 背景知识 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8 r2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm 瓶子的半径多大时 能使每瓶饮料的利润大 瓶子的半径多大时 每瓶的利润最小 实例探究二 利润最大问题 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润为 令 因此 当r 2时 f r 0 它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 当r 2时 f r 0 它表示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 1 半径为2时 利润最小 这时f 2 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本 此时利润是负值 2 半径为6时 利润最大 实例探究二 利润最大问题 换一个角度 如果我们不用导数工具 直接从函数的图象 图1 4 2 上观察 你有什么发现 y 0 2 3 r 图1 4 2 从图象上容易看出 1 当r 3时 f 3 0 即瓶子半径是3cm时 饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等 2 当r 3时 利润才为正值 解决优化问题的方法之一 通过搜集大量的统计数据 建立与其相应的数学模型 再通过研究相应函数的性质 提出优化方案 使问题得到解决 在这个过程中 导数往往是一个有利的工具 其基本思路如以下流程图所示 方法小结 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 建立数学模型 解决数学模型 作答 思考1 表面积 设半径为R 则高为h 表面积写成R的函数 问题就转化求函数的最值问题 作业 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底铁皮箱 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 x h 解设箱底边长为x 则箱高为 箱子容积为 由 解得x1 0 舍 x2 40 x h 解设箱底边长为x 箱子容积为 由 解得x1 0 舍 x2 40 当x 0 40 时 V x 0 当x 40 60 时 V x 0 函数V x 在x 40处取得极大值 这个极大值就是函数V x 的最大值 答当箱箱底边长为40cm时 箱子容积最大 最大值为16000cm3 练习3 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时 如何确定它的高与底半径 使得所用材料最省 R h 解设圆柱的高为h 底面半径为R 则表面积为S R 2 Rh 2 R2 又V R2h 定值 即h 2R 可以判断S R 只有一个极值点 且是最小值点 答罐高与底的直径相等时 所用材料最省 问题3 如何使一个圆形磁盘储存更多信息 知识背景 计算机把信息存储在磁盘上 磁盘是带有磁性介质的圆盘 并由操作系统将其格式化成磁道和扇区 磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道 扇区是指被圆心角分割成的扇形区域 磁道上的定长的弧可作为基本存储单元 根据其磁化与否可分别记录数据0或1 这个基本单元通常称为比特 bit 磁盘的构造如图1 4 3所示 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间 由于磁道之间的宽度必须大于m 且最外面的磁道不存储任何信息 所以磁道数最多可达 R r m 由于每条磁道上的比特数相同 为了获得最大的存储量 最内一条磁道必须装满 即每条磁道