高中数学：归纳法教案及说课稿新课标人教A版选修2

数学归纳法数学归纳法 人教高二数学 选修人教高二数学 选修 2 22 2 第 第 2 2 章第章第 3 3 节节 人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学 选修2 2 第二章第三节 培青中学培青中学 刘存刚刘存刚 教学目标教学目标 1 使学生了解归纳法 理解数学归纳的原理与实质 2 掌握数学归纳法证题的两个步骤 会用 数学归纳法 证明简单的与自然 数有关的命题 3 培养学生观察 分析 论证的能力 进一步发展学生的抽象思维能力和创 新能力 让学生经历知识的构建过程 体会类比的数学思想 4 努力创设课堂愉悦情境 使学生处于积极思考 大胆质疑氛围 提高学生 学习的兴趣和课堂效率 5 通过对例题的探究 体会研究数学问题的一种方法 先猜想后证明 激发 学生的学习热情 使学生初步形成做数学的意识和科学精神 教学重点教学重点 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 教学难点教学难点 数学归纳法中递推思想的理解 教学方法教学方法 类比启发探究式教学方法 教学手段教学手段 多媒体辅助课堂教学 教学程序教学程序 第一阶段 输入阶段第一阶段 输入阶段 创造学习情境 提供学习内容创造学习情境 提供学习内容 一 一 创设情境 启动思维创设情境 启动思维 情境一 情境一 财主儿子学写字的笑话 小明弟兄三个 大哥叫大毛 的脑筋急 转弯等 教师总结 教师总结 财主的儿子很傻很天真 但他懂一样数学的思想方法 是什么 以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法 归纳法 情境二情境二 回顾等差数列 n a通项公式推导过程 11 21 31 43 1 2 3 1 n aa aad aad aad aand 教师总结教师总结 等差数列通项公式是对所有正整数都成立的 所以逐一验证是不 可能的 所以我们需要另辟蹊径 寻求一种方法 通过有限个步骤的推理证明 n 取所有正整数都成立 这就是我们今天所要学习的 数学归纳法 设计意图 首先设计情境一 分析情境 谈笑间进入正题 再通过情境二的交流 激发学生的兴趣 调动学生学习的积极性 点出两种归纳法的不同特点 通过梳 理我们熟悉的一些问题 很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔 从而自然 引出课题 数学归纳法 第二阶段 新旧知识相互作用阶段 新旧知识作用 搭建新知结构 二 搜索生活实例 激发学习兴趣 在第一阶段的基础上 由生活实例出发 与学生一起解析归纳原理 揭 示递推过程 孔子说 知之者不如好之者 好之者不如乐之者 兴趣这种个 性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验 实例 播放多米诺骨牌录像 怎样会造成最后一个骨牌不能倒下 关键 1 第一张骨牌被推倒 2 假如某一张骨牌倒下 则它的后一张骨牌必定倒下 于是 我 们可以下结论 多米诺骨牌会全部倒下 三 类比数学问题 激起思维浪花 类比多米诺骨牌过程 证明等差数列通项公式dnaan 1 1 1 当n 1 时等式成立 2 假设当n k时等式成立 即dkaak 1 1 则daa kk 1 dka 1 1 1 即n k 1 时等式也成立 于是 我们可以下结论 等差 数列的通项公式dnaan 1 1 对任何n N都成立 布鲁纳的发现学习理论认为 有指导的发现学习 强调知识发生发展过 程 这里通过类比多米诺骨牌过程 让学生发现数学归纳法的雏形 是一种再 创造的发现性学习 四 引导学生概括 形成科学方法 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下 1 归纳奠基 证明当n取第一个值 0 n时结论正确 2 归纳递推 假设当n k k N k 0 n 时结论正确 证明当 n k 1 时结论也正确 完成这两个步骤后 就可以断定命题对从 0 n开始的所有正整数n都正确 这种证明方法叫做数学归纳法 第三阶段 操作阶段 巩固认知结构 充实认知过程 五 蕴含猜想证明 培养研究意识 本例要求学生先猜想后证明 既能巩固归纳法和数学归纳法 也能教给 学生做数学的方法 培养学生独立研究数学问题的意识和能力 例 1 在数列 n a 中 1 a 1 n n n a a a 1 1 n N 先计算 2 a 3 a 4 a的值 再推测通项 n a的公式 最后证明你的结论 例 2 用数学归纳法证明 6 12 1 22 2 2 1 Nn nnn n 六 基础反馈练习 巩固方法应用 课本例题与等差数列通项公式的证明差不多 套用数学归纳法的证明步 骤不难解答 因此我设计了两个练习题 这样既考虑到学生的能力水平 也不 冲淡本节课的重点 练习第 2 题恰好是等比数列通项公式的证明 与前者是一 个对比与补充 通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情 况 都成立 可知等式对任何 和 根据 时等式也成立即当 那么 时等式成立 即 假设当 等式成立 右边 时 左边 当证明 Nn kn kkk kkk kkk kkkk k kkk kk kkk k Nkkn n 21 1 6 1 1 2 1 1 1 6 32 2 1 6 672 1 6 1 6 12 1 1 6 12 1 1 21 6 12 1 21 2 1 6 112111 1111 2 2 2 2222 222 2 1 用数学归纳法证明 1 3 5 2n 1 2 n 2 首项是 1 a 公比是q的等比数列的通项公式是 1 1 n n qaa 七 师生共同小结 完成概括提升 1 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法 2 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法 它可以分为完全归纳法和不 完全归纳法两种 完全归纳法只局限于有限个元素 而不完全归纳法得出的结 论不一定具有可靠性 数学归纳法属于完全归纳法 3 数学归纳法作为一种证明方法 其基本思想是递推 递归 思想 使用 要点可概括为 两个步骤一结论 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写 明莫忘掉 4 本节课所涉及到的数学思想方法有 递推思想 类比思想 分类思想 归纳思想 辩证唯物主义思想 八 布置课后作业 巩固延伸铺垫 1 课本第 96 页 A 组 1 题 B 组 1 题 2 在数学归纳法证明的第二步中 证明 n k 1 时命题成立 必须要用到 n k 时命题成立这个假设 这里留一个辨析题给学生课后讨论思考 用数学归纳法证明 1222221 132 nn n N 时 其中第二 步采用下面的证法 设 n k 时等式成立 即1222221 132 kk 则当 n k 1 时 12 21 21 222221 1 1 132 k k kk 你认为上面的证明正确吗 为什么 九 板书设计如下 九 板书设计如下 数数 学学 归归 纳纳 法法 三 课堂练习 板书 一 数学归纳法原理 板书 一 内容 二 第一步和第二步 在证题中的作用 二 例 1 板 书 学生甲解答学生乙解答 四 作 业 数学归纳法数学归纳法 教案说明教案说明 1 数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方 法 它的操作步骤简单 明确 教学重点不应该是方法的应用 我认为不能把 教学过程当作方法的灌输 技能的操练 为此 我设想强化数学归纳法产生过 程的教学 把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析 认识当中 把数学归纳 法的产生与不完全归纳法的完善结合起来 这样不仅使学生可以看到数学归纳 法产生的背景 从一开始就注意它的功能 为使用它打下良好的基础 而且可 以强化归纳思想的教学 这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要 补充 也是引导学生发展创新能力的良机 2 在教学方法上 这里运用了在我指导下的师生共同讨论 探索的方 法 目的是加强学生对教学过程的参与 为了使这种参与有一定的智能度 我 应做好发动 组织 引导和点拨 学生的思维参与往往是从问题开始 本节课 按照思维次序编排了一系列问题 让学生投入到思维活动中来 把本节课的研 究内容置于问题之中 在逐渐展开中 引导学生用已学的知识 方法予以解决 并获得知识体系的更新与拓展 3 运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题 两个步骤缺一不可 理 解数学归纳法中的递推思想 尤其要注意其中第二步 证明n k 1 命题成立 时必须要用到n k时命题成立这个条件 这些内容都将放在下一课时完成 这 种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质 也为证明过程中第 二步的设计指明了思维方向 数学归纳法数学归纳法 说课稿说课稿 一 说教材一 说教材 数学归纳法是继直接证明与间接证明之后的又一重要内容 是直接证明的 又一重要方法 应用十分广泛 一般说来 与正整数有关的恒等式 不等式 数的整除性 数列的通项及前 n 项和等问题 都可以考虑用数学归纳法推证 在 数学必修 5 中学过的等差数列和等比数列的通项公式以及本章第一节的 归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式都是通过归纳推理得到的 这 些结论都具有猜测的性质 其正确性还有待用数学归纳法加以证明 数学归 纳法 这一内容安排在这里起到了承前启后及深化数学知识的作用 本节课讲 的主要内容是数学归纳法原理 用 1 课时 重点是分析数学归纳法的实质 难 点是对归纳法中的递推思想的正确理解和把握 目的是进一步培养学生的抽象 思维能力和运用所学知识解决问题的能力 二 说学情二 说学情 在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理 而且在 数学必修 5 中 也通过归纳的方法得到了等差数列和等比数列的通项公式 再加上学生的实际 生活经验 事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力 虽然学生的知识水 平参差不齐 归纳推理的能力存在较大差异 但他们对归纳推理的方法都有程 度不同的把握 少数学生归纳推理能力还比较强 但从总体上看 学生的抽象 思维特别是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱 需要不断加强 三 说教学目标三 说教学目标 知识目标知识目标 使学生了解归纳法 理解数学归纳的原理与实质 掌握数学归纳法 证题的两个步骤 会用 数学归纳法 证明简单的与自然数有关的命题 能力目标能力目标 培养学生观察 分析 论证的能力 进一步发展学生的抽象思维能 力和创新能力 让学生经历知识的构建过程 体会类比的数学思想 情感目标情感目标 通过对例题的探究 体会研究数学问题的一种方法 先猜想后证明 激发学生的学习热情 使学生初步形成做数学的意识和科学精神 四 说教法四 说教法 本节课我将借助多媒体展示的 多米诺骨牌 游戏 激发学生的学习兴趣 为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识 为突破和分解教学难 点提供生动有趣的参照物 根据本节课的教学内容和学生的实际 我将采用引导发现法和讲练结合的 方法 紧密联系学生已经学过的数列知识和 多米诺骨牌 游戏 创设问题情 境 运用类比推理引导学生积极思考 大胆探索 将 多米诺骨牌 游戏中所 蕴含的数学归纳法逐步提炼出来 从而将书本的知识内化为自己的知识 为巩 固教学效果 我通过板书示范 学生进行适当练习来规范学生的作业行为 巩 固所学知识 达到学以致用的目的 提高学生灵活运用知识的能力 五 说学法五 说学法 问题是数学的心脏 课前我将预设一些问题让学生带着问题预习新课 课堂上老师结合 多米诺骨牌 游戏的展示 围绕 递推 这一中心 提出一 连串的问题 引导学生积极思考 通过类比 从游戏中找到知识的生长点 进 而抽象出数学归纳法 这样便突破了教学上的难点 同时安排一定的时间让学 生进行课堂练习 布置适量的作业以进一步巩固所学知识并及时做好知识反馈 使学生亲历观察 分析 合情推理 认同和论证的思维过程 从而达到预设的 教学目标 六 说教学过程六 说教学过程 一 新课引入 一 新课引入 从财主儿子学写字和等差数列的通项公式入手 进一步使学生体会到虽然 通过归纳推理可以帮助人们发现问题和提出问题 但利用归纳推理得到的结论 是不可靠的 其正确与否还必须经过严格的证明 然后直接指出 同样用归纳 推理得到的等差数列的通项公式和自然数的前 n 项平方和公式都具有猜测的性 质 它们都是与自然数有关的数学命题 而自然数有无限多个 我们又无法对 所有的自然数逐一验证 那么如何判断命题的正确性呢 旧知识产生了新问题 以此激起学生强烈的求知欲 从而水到渠成地引入新课 数学归纳法 二 讲新课 二 讲新课 1 1 理论探讨及建构 理论探讨及建构 那么什么是数学归纳法呢 带着这一问题 我将开始展示 多米诺骨牌 游戏 随后提出问题 怎样会造成最后一个骨牌不能倒下 以及全部倒下需 要什么条件 经过学生的思考讨论 可能会有多种答案 此时老师抓住其中较有代表性 的几种答案展开分析 比如有的会说 所有的骨牌都会被推倒 有的会说 如果没有一张骨牌被推倒 那 假若 还有什么意义呢 有的会说 只要 有一张骨牌被推倒 则该张骨牌后所有的骨牌都会被推倒 对于第一种回答 它显然可以被第二种回答否定 第三种回答思维严密 它其实是在原有的条件 下又附加了 事先有一张骨牌被推倒 这一个新的条件 因此 它揭示的是一 个不争的事实 易于得到其他学生的认同 老师此时不失时机地予以充分肯定 并进一步提出第二个问题 那么 要保证所有的骨牌被推倒 应该具备哪些 条件呢 此时学生自然会结合第三种回答和前面的假设 经过思考和讨论得出所有 牌被推倒必须具备两个条件 条件 1 第一张骨牌被推倒 条件 2 若前一张骨牌被推倒 则后一张骨牌被推倒 老师再问 条件 1 和条件 2 各具有什么样的作用呢 学生经过思考讨论不难发现 条件 1 是前提 是基础 条件 2 是递推 两 者结合起来就能保证所有牌被推倒 结合等差数列的通项公式 你能找到它与 多米诺骨牌 游戏之间存在 的相同相似点吗 如果能找到他们在某些方面的相同或相似 那么我们即可以 利用前面学过的类比推理方法来找到等差数列公式成立必需具备的条件了 鉴于学生的实际认知水平 老师适当予以点拨 学生在经过思考和讨论便会发 现 第一 一列骨牌是一列 一列数也是一列 它们都是一个系列 第二 有一张牌 就有数列中一个相应的项 第三 不同的牌 数列中就有不同的项 在此基础上 老师提出第五个问题 既然这两类事物之间存在以上的相同相 似点 而我们又已经找到了成功 多米诺骨牌 必须具备的两个条件 那么能 不能利用类比推理的方法先建立两类事物相关 元素 之间的对应关系 再进 一步得到等差数列通项公式对任意的自然数 n 都成立的条件 问题中指出学生解决问题的方法和努力的方向 有利于增强解决问题的信 心 便于发挥学生的主观能动性 培养学生创造性地运用已学过的知识来解决 新问题的能力 在老师的启发和引导下 学生经过思考 讨论 不难发现等差 数列和 多米诺骨牌 游戏这两类事物的相关 元素 之间可以建立如下的对 应关系 1 张骨牌 数列中相应的一项 1 张骨牌倒下 数列中相应的 1 个命题成立 根据这种对应关系 进一步得到等差数列公式恒成立必须具备的两个条件 1 当 n 1 时 命题成立 2 假设 n k 时命题成立 则当 n k 1 时命题也成立 这就是数学归纳法 老师及时进行板书 这样 通过游戏展示 寻求 多米 诺骨牌 条件 多米诺骨牌 游戏与数列类比 联想类推 理论建构 层层深入 逐步推进 起到了一石二鸟的作用 一是学生通过自己的努力从具 体问题中抽象出了数学归纳法 二是有 多米诺骨牌 游戏这一直观参照物 分解了数学归纳法教学上的难点 在抽象出数学归纳法的过程中 重视了学生 的亲身体验 激励学生积极参与 鼓励学生大胆探索 创造性地抽象出新理论 有利于培养学生的抽象思维和创新能力 接着老师提出几个问题让学生思考 如数学归纳法的使用范围是什么 其本质是什么 两步中哪一步最能说明其本 质等等 并给予学生一定的时间思考讨论 之后老师和学生加以小结 1 数学归纳法主要用来证明