《导数及其应用》单元测试

导数及其应用导数及其应用 单元测试单元测试 一 选择题 一 选择题 本大题共本大题共 1010 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 5050 分分 1 设函数 设函数 f x 在在 0 x处可导 则处可导 则 x xfxxf x lim 00 0 等于等于 C A 0 xf B 0 xf C 0 xf D 0 xf 2 若函数 若函数 f x 的导数为的导数为 f x sinx 则函数图像在点 则函数图像在点 4 f 4 处的切 处的切 线的倾斜角为 线的倾斜角为 C A 90 B 0 C 锐角 锐角 D 钝角 钝角 3 函数函数 y xy x3 3 3x3x 在在 1 1 2 2 上的最小值为上的最小值为 B B A A 2 2B B 2 2C C 0 0D D 4 4 4 设函数设函数 f x 的导函数为的导函数为 fx 且 且 2 21f xxx f 则 则 0 f 等于等于 B B A A 0 B B 4 C C 2 D D 2 5 已知已知 f x f x x x3 3 axax2 2 a a 6 x6 x 1 1 有极大值和极小值 则有极大值和极小值 则 a a 的取值范围为的取值范围为 D D A A 1 a 21 a 2 B B 3 a 63 a 6 C C a a2a 2 D D a a6a 6 6 6 设函数设函数 f x f x kxkx3 3 3 k3 k 1 x1 x2 2 2 k 1 1 在区间 在区间 0 0 4 4 上是减函数 则 上是减函数 则k的取值范的取值范 围是围是 D D A A 1 3 k B B 1 0 3 k C C 1 0 3 k D D 1 3 k 7 7 设函数 设函数 f x f x 在定义域内可导 在定义域内可导 y f x y f x 的图象如下图所示 则导函数的图象如下图所示 则导函数 y fy f x x 可能为可能为 D D 8 8 对于对于 R R 上可导的任意函数上可导的任意函数 f f x x 且 且 1 0f 若满足 若满足 x x 1 1 fx 0 0 则必有 则必有 C C A A f f 0 0 f f 2 2 2f2f 1 1 B B f f 0 0 f f 2 2 2f2f 1 1 C C f f 0 0 f f 2 2 2f 2f 1 1 D D f f 0 0 f f 2 2 2f2f 1 1 9 9 已知二次函数已知二次函数 2 f xaxbxc 的导数为的导数为 fx 0 0 f 对于任意实数 对于任意实数x 有有 0f x 则 则 1 0 f f 的最小值为的最小值为 C 3 5 2 2 3 2 1010 f x 是定义在区间是定义在区间 c c 上的奇函数 其图象如图所示 令上的奇函数 其图象如图所示 令 g x af x b 则下则下 列关于函数列关于函数 g x 的叙述正确的是 的叙述正确的是 B A 若 若 a 0 则函数则函数 g x 的图象关于原点对称 的图象关于原点对称 B 若 若 a 1 2 b 0 则方程则方程 g x 0 有大于有大于 2 的实根的实根 x y O A x y O B x y O C x y O D x y O C 若 若 a 0 b 2 则方程则方程 g x 0 有两个实根有两个实根 D 若 若 a 1 b 2 则方程则方程 g x 0 有三个实根有三个实根 二 填空题二 填空题 共共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分分 共共 2525 分分 11 求求的导数的导数 31 sinf x x 2 2 311 sincosy xxx 12 曲线曲线 S S y 3x xy 3x x3 3的过点的过点 A A 2 2 2 2 的切线的方程是 的切线的方程是 y 9x 16y 9x 16 或或 y 2y 2 13 13 设设 P 为曲线为曲线 C 2 23yxx 上的点 且曲线上的点 且曲线 C 在点在点 P 处切线倾斜角的取值范处切线倾斜角的取值范 围为围为0 4 则点 则点 P 横坐标的取值范围为横坐标的取值范围为 1 1 2 1414 设函数 设函数 f x是是R上以上以 5 为周期的可导偶函数 则曲线为周期的可导偶函数 则曲线 yf x 在在5x 处的切线的斜率为处的切线的斜率为 0 15 15 已知直线已知直线 x 2y 4 0 与抛物线与抛物线 y2 4x 相交于相交于 A B 两点 两点 O 是坐标原点 是坐标原点 P 是抛物线的弧是抛物线的弧上求一点上求一点 P 当 当 PAB 面积最大时 面积最大时 P 点坐标为点坐标为 P 4 4 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 共小题 共 75 分 分 1616 本题满分 本题满分 1212 分 分 对于三次函数对于三次函数 32 0 f xaxbxcxd a 定义 定义 设设 fx 是函数是函数 yf x 的导函数的导函数 yfx 的导数 若的导数 若 0fx 有实数解有实数解 0 x 则 则 称点称点 00 xf x为函数为函数 yf x 的的 拐点拐点 现已知 现已知 32 322f xxxx 请解请解 答下列问题答下列问题 1 求函数 求函数 f x的的 拐点拐点 A A 的坐标的坐标 2 求证 求证 f x的图象关于的图象关于 拐点拐点 A A 对称对称 并写出对于任意的三次函数都成立的有关并写出对于任意的三次函数都成立的有关 拐点拐点 的一个结论 此结论不要求证明 的一个结论 此结论不要求证明 1616 解析解析 1 2 362fxxx 66fxx 令令 660fxx 得得 1x 3 1 13222f 拐点拐点 1 2 A 2 设 设 00 P xy是是 yf x 图象上任意一点 则图象上任意一点 则 32 0000 322yxxx 因为 因为 00 P xy关于关于 1 2 A 的对称点为的对称点为 00 2 4 Pxy 把 把 P 代入代入 yf x 得得 左边左边 0 4y 32 000 322xxx 右边右边 32 000 2 3 2 2 2 2xxx 32 000 322xxx 右边右边 右边右边 00 2 4 Pxy 在在 yf x 图象上图象上 yf x 关于关于 A A 对称对称 猜想 所有的三次函数图象都关于它的拐点对称 猜想 所有的三次函数图象都关于它的拐点对称 17 17 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知函数已知函数 xf是是 0 上的可导函数 若上的可导函数 若 xfxf x 在在 0 x时恒成立时恒成立 1 求证 函数 求证 函数 x xf xg 在在 0 上是增函数 上是增函数 2 求证 当 求证 当0 0 21 xx时 有时 有 1212 f xxf xf x 17 17 1 由 由 x xf xg 得得 2 xfxf x g x x 因为因为 xfxf x 所以所以 0g x 在在0 x时恒成立 所以函数时恒成立 所以函数 x xf xg 在在 0 上是增函数上是增函数 2 由 由 1 知函数 知函数 x xf xg 在在 0 上是增函数 所以当上是增函数 所以当0 0 21 xx时 时 有有 2 2 21 21 1 1 21 21 x xf xx xxf x xf xx xxf 成立 成立 从而从而 21 21 2 221 21 1 1 xxf xx x xfxxf xx x xf 两式相加得两式相加得 2121 xfxfxxf 18 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知函数已知函数 lnf xxx 求 求 f x的最小值 的最小值 若对所有 若对所有1x 都有都有 1f xax 求实数 求实数a的取值范围的取值范围 18 解析 解析 f x的定义域为的定义域为0 1 分分 f x的导数的导数 1 lnfxx 3 分分 令令 0fx 解得 解得 1 e x 令 令 0fx 解得 解得 1 0 e x 从而从而 f x在在 1 0 e 单调递减 在单调递减 在 1 e 单调递增单调递增 5 分分 所以 当所以 当 1 e x 时 时 f x取得最小值取得最小值 1 e 6 分分 解法一 令 解法一 令 1 g xf xax 则 则 1lng xfxaax 8 分分 若若1a 当 当1x 时 时 1ln10g xaxa 故故 g x在在 1 上为增函数 上为增函数 所以 所以 1x 时 时 1 10g xga 即 即 1f xax 10 分分 若若1a 方程 方程 0g x 的根为的根为 1 0 eax 此时 若此时 若 0 1 xx 则 则 0g x 故 故 g x在该区间为减函数在该区间为减函数 所以所以 0 1 xx 时 时 1 10g xga 即即 1f xax 与题设 与题设 1f xax 相矛盾相矛盾 13 分分 综上 满足条件的综上 满足条件的a的取值范围是的取值范围是 1 14 分分 解法二 依题意 得解法二 依题意 得 1f xax 在在 1 上恒成立 上恒成立 即不等式即不等式 1 lnax x 对于对于 1 x 恒成立恒成立 8 分分 令令 1 lng xx x 则则 2 1111 1g x xxxx 10 分分 当当1x 时 因为时 因为 11 10g x xx 故故 g x是是 1 上的增函数 上的增函数 所以所以 g x的最小值是的最小值是 1 1g 13 分分 所以所以a的取值范围是的取值范围是 1 14 分分 1919 本题满分 本题满分 1212 分 请您设计一个帐篷 它下分 请您设计一个帐篷 它下 部的形状是高为部的形状是高为 1m1m 的正六棱柱 上部的形状是侧的正六棱柱 上部的形状是侧 棱长为棱长为 3m3m 的正六棱锥 如右图所示 的正六棱锥 如右图所示 试问当帐 试问当帐 篷的顶点篷的顶点O到底面中心到底面中心 1 o的距离为多少时 帐篷的距离为多少时 帐篷 的体积最大 的体积最大 注 注 1 3 VShVSh 柱体底锥体底 1919 解 设正六棱锥的高为 解 设正六棱锥的高为 x x m m 则正六棱锥底面边长为则正六棱锥底面边长为 22 3x 单位 单位 m m 2 2 分分 于是底面正六边形的面积为 单位 于是底面正六边形的面积为 单位 m m2 2 222 33 3 6 9 9 42 Sxx AA 4 4 分分 帐篷的体积为 单位 帐篷的体积为 单位 m m3 3 2232 3 3133 9 1 9 3 3927 2322 V xxxxxxxx 13 x 8 8 分分 求导数 得求导数 得 2 3 3 23 2 V xxx 令令 0V x 解得解得 x 3 x 3 不合题意 舍去不合题意 舍去 x 1 x 1 10 10 分分 当当 0 x 10 x 1 时 时 0V x V x V x 为增函数 当为增函数 当 1 x 31 x 3 时 时 0V x V x V x 为减函数 为减函数 所以当所以当 x 1x 1 时时 V x V x 最大 即当最大 即当 OOOO1 1为为 2m2m 时 帐篷的体积最大 时 帐篷的体积最大 12 12 分分 20 20 本题满分 本题满分 1313 分 分 已知函数已知函数f x axf x ax3 3 bx bx2 2 3x3x在在 x 1x 1 处取得极值处取得极值 求函数 求函数 f x f x 的解析式 的解析式 求证 对于区间 求证 对于区间 1 1 1 1 上任意两个自变量的值上任意两个自变量的值 x x1 1 x x2 2 都有 都有 f x f x1 1 f xf x2 2 4 4 若过点 若过点 A A 1 1 m m m m 2 2 可作曲线 可作曲线 y f x y f x 的三条切线 求实数的三条切线 求实数 m m 的取值范围的取值范围 20 20 解 解 I I f x 3axf x 3ax2 2 2bx 2bx 3 3 依题意 依题意 f 1 f f 1 f 1 01 0 即即 0323 0323 ba ba 解得解得 a 1a 1 b 0 b 0 f x x f x x3 3 3x 3x IIII f x x f x x3 3 3x f x 3x3x f x 3x2 2 3 3 x 1 x3 3 x 1 x 1 1 当 当 1 x 11 x 1 时 时 f x 0f x 0 故 故 f x f x 在区间在区间 1 1 1 1 上为减函数 上为减函数 f fmax max x f x f 1 21 2 f fmin min x f 1 x f 1 2 62 6 分分 对于区间对于区间 1 1 1 1 上任意两个自变量的值上任意两个自变量的值 x x1 1 x x2 2 都有都有 f x f x1 1 f xf x2 2 f fmax max x x f fmin min x x f x f x1 1 f xf x2 2 f fmax max x x f fmin min x 2 x 2 2 4 82 4 8 分分 IIIIII f x 3xf x 3x2 2 3 3 x 1 x3 3 x 1 x 1 1 曲线方程为曲线方程为 y xy x3 3 3x3x 点点 A A 1 1 m m 不在曲线上 不在曲线上 设切点为设切点为 M M x x0 0 y y0 0 则点 则点 M M 的坐标满足的坐标满足 3 0 3 00 xxy 因因 1 3 2 00 xxf 故切线的斜率为 故切线的斜率为 1 3 1 3 0 0 3 02 0 x mxx x 整理得整理得0332 2 0 3 0 mxx 过点过点 A A 1 1 m m 可作曲线的三条切线 可作曲线的三条切线 关于关于x x0 0方程方程332 2 0 3 0 mxx 0 0 有三个实根有三个实根 10 10 分分 设设 g g x x0 0 332 2 0 3 0 mxx 则 则 g g x x0 0 6 6 0 2 0 6xx 由由 g g x x0 0 0 0 得 得x x0 0 0 0 或或x x0 0 1 1 g g x x0 0 在 在 0 0 1 1 上单调递增 在 上单调递增 在 0 0 1 1 上单调递减 上单调递减 函数函数 g xg x0 0 332 2 0 3 0 mxx的极值点为的极值点为 x x0 0 0 0 x x0 0 1 12 1 12 分分 关于关于 x x0 0方程方程332 2 0 3 0 mxx 0 0 有三个实根的充要条件是有三个实根的充要条件是 0 1 0 0 g g 解得 解得 3 m 3 m 2 2 故所求的实数故所求的实数 a a 的取值范围是 的取值范围是 3 m 3 m 2 2 21 本题满分 本题满分 1414 分 分 已知已知 x x xgexxaxxf ln 0 ln 其中 其中e是自然常是自然常 数 数 aR 讨论 讨论1 a时时 f x的单调性 极值 的单调性 极值 求证 在 求证 在 的条件下 的条件下 1 2 f xg x 是否存在实数 是否存在实数a 使 使 f x的最小值是的最小值是 3 若存在 求出 若存在 求出a的值 若不存在 说明理的值 若不存在 说明理 由由 om 21