拉普拉斯变换

1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 基本要求基本要求 拉普拉斯变换的定义 收敛域的概念 熟练掌握拉普拉斯变换的性质 卷积定理的意义及 它们的运用 能根据时域电路模型画出 S 域等效电路模型 并求其冲激响应 零输入响应 零 状态响应和全响应 能根据系统函数的零 极点分布情况分析 判断系统的时域与频域特性 理解全通网络 最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 会判定系统的稳 定性 知识要点知识要点 1 拉普拉斯变换的定义及定义域 1 定义 单边拉普拉斯变换 正变换 0 st f tF sf tdt e 逆变换 1 2 j st j F sf tF sds j e 双边拉普拉斯变换 正变换 st B sf tdt eF 逆变换 1 2 j st B j f tsds j eF 2 定义域 若时 则在的全部范围内收敛 积分 0 lim 0 t t f t e t f t e 0 存在 即的拉普拉斯变换存在 就是的单边拉普拉斯变换的 0 st f tdt e f t 0 f t 收敛域 与函数的性质有关 0 f t 2 拉普拉斯变换的性质 1 线性性 若 为常数时 则 11 f tF S 22 f tF S 1 2 1 1221122 f tf tF sF s 2 原函数微分 若则 f tF s 0 df t sF sf dt 1 1 0 0 n n nn rr n r d f t s F ssf dt 式中是 r 阶导数在时刻的取值 0 r f r r d f t dt 0 2 3 原函数积分 若 则式中 f tF s 1 0 t fF s f t dt ss 0 1 0 ff t dt 4 延时性 若 则 f tF s 0 00 st f tt u tteF s 5 s 域平移 若 则 f tF s at f t eF sa 6 尺度变换 若 则 a0 f tF s 1 s f atF aa 7 初值定理lim 0 lim tos f tfsF s 8 终值定理lim lim ts f tsF s 9 卷积定理 若 则有 11 f tF s 22 f tF s 1212 f tf tF s F s 1212 1 2 f t f tF sF s j 12 1 2 j j F p F sp dp j 3 拉普拉斯逆变换 1 部分分式展开法 首先应用海维赛展开定理将展开成部分分式 然后将各部分分式逐项进行逆变换 最 F s 后叠加起来即得到原函数 f t 2 留数法 留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数在围线中所有极点的留数运 st F s e 算 即 1 11 22 j ststst jc F sF s e dsF s e dsF s e jj A 极点 的留数 若为一阶级点 则在极点处的留数 i p i sp 2 1 i n st iiisp i rsp F s eX 若为 k 阶级点 则 i p 1 1 1 1 i k kst iisp k d rspF s e kds 4 系统函数 网络函数 H s 1 定义 系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数 即 3 冲激响应与系统函数构成变换对 即系统的频率响 zs Rs H s E s h t H s H sh t 应特性式中 是幅频响应特性 是相频 jw sjw H jwH sH jw e H jw w 响应特性 2 零极点分布图 式中 是系数 为的 12 12 m n K szszszN s H s D sspspsp 1 z 2 z m z H s 零点 为的极点 在 s 平面上 用 表示零点 表示极 1 p 2 p n p H sA 点 将的全部零点和极点画在 s 平面上得到的图称为系统的零极点分布图 对于实系统 H s 函数而言 其零极点要么位于实轴上 要么关于实轴成镜像对称分布 3 全通函数 如果一个系统函数的极点位于左半平面 零点位于右半平面 而且零点与极点对于轴互为jw 镜像 那么这种系统函数称为全通函数 此系统则为全通系统或全通网络 全通网络函数的幅 频特性是常数 4 最小相移函数 如果系统函数的全部极点和零点均位于 s 平面的左半平面或轴 则称这种函数为最小相移jw 函数 具有这种网络函数的系统为最小相移网络 5 系统函数的求解方法 H s 由冲激响应求得 即 h t H sh t 对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换 然后由获得 zs Rs H s E s 根据 s 域电路模型 求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比 即为 H s 5 系统的稳定性 若系统对任意的有界输入 其零状态响应也是有界的 则此系统为稳定系统 1 稳定系统的时域判决条件 充要条件 h t dtM 若系统是因果的 则 式可改写为 0 h t dtM 2 对于因果系统 其稳定性的 s 域判决条件 若系统函数的全部极点落于 s 左半平面 则该系统稳定 H s 若系统函数有极点落于 s 右半平面 或在虚轴上具有二阶以上的极点 则该系统不稳 H s 4 定 若系统函数没有极点落于 s 右半平面 但在虚轴上有一阶极点 则该系统临界稳定 H s 内容摘要内容摘要 拉氏变换的定义和收敛域 典型信号的拉氏变换 二 单边拉氏变换逆变换的求法 部分分式展开法 围线积分法 三 拉氏变换的基本性质 四 用拉普拉斯变换法分析电路 五 系统函数 一 拉普拉斯 例例 1 求下列函数的拉氏变换 1 ttutf 分析 拉氏变换有单边和双边拉氏变换 为了区别起见 本书以表示单边拉氏变换 以 sF tf 表示双边拉氏变换 若文字中未作说明 则指单边拉氏变换 单边拉氏变换只研究 sFB tf 的时间函数 因此 它和傅里叶变换之间有一些差异 例如在时移定理 微分定理和初值定理等0 t 方面 本例只讨论时移定理 请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用 解答 s ss tututLttuLsF e 11 1111 2 例例 2 系统函数的定义 由零极点的决定系统的时域特性 由零极点的分析系统的稳定性 由零极点的分析系统的频响特性 5 求三角脉冲函数如图 4 2 a 所示的象函数 f t 分析 和傅里叶变换类似 求拉氏变换的时 往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质 这 比按拉氏变换的定义式积分简单 为比较起见 本例用多种方法求解 解答 方法一 按定义式求解 方法二 利用线性叠加和时移性质求解 方法三 利用微分性质求解 方法四 利用卷积性质求解 方法一 按定义式求解 方法二 利用线性叠加和时移性质求解 由于 于是 方法三 利用微分性质求解 其其他他 0 2t1 2 1t0 t t tf t tf 1 12 o 2 2 2 22 22 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 e1 1 e 1 e 2 e 2 e 21 e 1 e 1 dede2de 1 e 1 de2de de s ssssss stststst stst st s sssssss tttt ss t tttt ttfsF 22112 tuttutttutf 0 e 1 0 2 st sFttfL s ttuL 2 2 2 2 e1 1 ee21 1 s ss s s sF 6 分析 信号的波形仅由直线组成 信号导数的象函数容易求得 或者信号经过几次微分后出现原 信号 这时利用微分性质比较简单 将微分两次 所得波形如图 4 2 b 所示 tf 显然 根据微分性质 由图 4 2 b 可以看出 于是 方法四 利用卷积性质求解 可看作是图可看作是图 4 2 c 所示的矩形脉冲 所示的矩形脉冲自身的卷积自身的卷积 tf tf1 于是 根据卷积性质于是 根据卷积性质 而而 所以所以 例例 3 应用微分性质求图 4 3 a 中 的象函数下面说明应用微分性质应注意的问题 o tf dt d 1 12t 1 o tf dt d 2 2 12t 1 1 2 2 2 2 e1212 d d s t t t L t tf L 00 d d 2 2 2 sffsFs t tf L 0 0 f 00 f 2 2 e1 s sFs 2 2 e1 1 s s sF tftftf 11 o 1 1t tf1 sFsFsF 11 s s sF e1 1 1 2 2 e1 1 s s sF 图图4 4 2 2 c c tftftf 321 1 tf tftftf 321 o t tutf3 1 3 o t tutf 2 2 3 2 o t tutf 3 1 7 图 4 3 b 是的导数 的波形 2 tf tf3 图 4 3 a 解答 说明 1 对于单边拉氏变换 故二者的象函数相同 即 21 tutftf 由于 图 4 4 b o t ttf 3 1 3 o t ttf 2 1 o t ttf 3 1 s sFsF 3 21 因因而而 但但虽虽然然tftfsFsF 2121 2 tfLtfL 21 故 由于对于00 11 ftf 30 1 ssFtfL 故 由于对于20 22 ftf 12 2 ssFtfL 一一阶阶导导数数相相同同 但但和和虽虽然然00203 3232 fftftf 因此 2d0d 0 2 0 2 xx fxx tf tt xx fxx tf tt d0d 0 3 0 3 8 因而 这是应用微分性质应特别注意的问题 由图 4 3 b 知 例例 4 某线性时不变系统 在非零状条件不变的情况下 三种不同的激励信号作用于系统 为图中所示的矩形脉冲时 求此时系统的输出 阶跃响应 则 s f s t F s sF 3 0 11 22 s f s t F s sF 1 0 11 33 30 1 ssFtfL s sF 3 1 则 12 2 ssFtfL s sF 3 2 则 xx tf t d 0 3 s f s t F s sF 1 0 11 33 则 时时 系系统统的的输输出出为为当当输输入入tuttyt tx t e 11 时时 系系统统的的输输出出为为当当输输入入tutyttutx t e3 22 tx3当输入 3 ty o 123t tx3 1 thtytytyty zizszi1 tgtythtytytyty zi 1 zi 1 zszi1 t tththtyty e2 1 21 1 2 1 1 s sH s sH tutth t e tutytytytyth t e2 zs1zi2 tutytytg t e zi2 3e1ee2 31 31 zi3 tututu tgtgtyty ttt 9 例例 5 电路如图电路如图 4 5 a 所示 所示 1 求系统的冲激响应 求系统的冲激响应 2 求系统的起始状态 求系统的起始状态 使系统的零输使系统的零输 入响应等于冲激响应 入响应等于冲激响应 3 求系统的起始状态 求系统的起始状态 解答 1 求系统的冲激响应 系统冲激响应与系统函数是一对拉氏变换的关系 对求逆变换可求得 th sH sH th 这种方法比在时域求解微分方程简便 利用利用 s 域模型图域模型图 4 5 b 可直写出图 可直写出图 4 5 a 电路的系统函数 电路的系统函数 冲激响应冲激响应 2 求系统的起始状态 为求得系统的零输入响应 应写出系统的微分方程或给出带有初值的为求得系统的零输入响应 应写出系统的微分方程或给出带有初值的 s 域模型 下面我们用域模型 下面我们用 s 域模型求解 图域模型求解 图 4 5 a 电路的电路的 s 域模型如图域模型如图 4 5 b 由图由图 4 5 b 可以写出可以写出 上式中第二项只和系统起始状态有关 因此该项是零输入响应的拉氏变换 依题意的要求 该上式中第二项只和系统起始状态有关 因此该项是零输入响应的拉氏变换 依题意的要求 该 项应和项应和相等 从而得相等 从而得 sH tvC 2H1 te F1 4 5 a 0 L i 00 CL vi 的的激激励励时时的的完完使使系系统统对对tu 全响应仍为tu 12 1 1 1 2 ss sC sLR sC sE sV sH o 0 1 C v s sVo s 1 sE s 0 L i 4 5 b 2 tutsHLth t e 1 1 12 002 12 0 11 1 2 00 1 2 LC 2 C LC o 零零输输入入响响应应零零状状态态响响应应 ss ivs ss sE v ss s s iv s sE sV 1002 LC ivs 10 故系统的起始状态故系统的起始状态 说明 通过本例可以看出 改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求 本质上 通过本例可以看出 改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求 本质上 系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定 对一个稳定系统而言 零输入响应是暂态响应系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定 对一个稳定系统而言 零输入响应是暂态响应 中的一部分 因此 改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应 使暂态响应满足某些特定中的一部分 因此 改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应 使暂态响应满足某些特定 要求 例如 本例要求暂态响应为零 要求 例如 本例要求暂态响应为零 3 求系统的起始状态 求得完全响应根据式当激励信号1tute 从而求得系统的起始状态从而求得系统的起始状态 附录附录 A 拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 1 表 A 1 拉氏变换的基本性质 齐次性 saFtafL 1 线性定理 叠加性 2121 sFsFtftfL 2 微分定理一般形式 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 k k k k n k knn n n dt tfd tf fssFs dt tfd L fsfsFs dt tfd L fssF dt tdf L 10 00 L C i v 2 12 002 12 21 12 002 12 1 2 LC 2 2 LC 2 o ss ivs ss s s ss ivs ss s sV 有有等等于于激激励励信信号号完完全全响响应应由由该该式式容容易易看看出出 要要使使 o tut 02002 LC sivs 00 10 L C i v 11 初始条件为 0 时 sFs dt tfd L n n n 一般形式 n k t n n knn n n tt t dttf ss sF dttfL s dttf s dttf s sF dttfL s dttf s sF dttfL 1 0 1 0 2 2 0 2 2 0 1 个共个共 3 积分定理 初始条件为 0 时 n n n s sF dttfL 个共 4 延迟定理 或称 域平移定理 t 1 sFeTtTtfL Ts 5 衰减定理 或称域平移定理 s asFetfL at 6 终值定理 lim lim 0 ssFtf st 7 初值定理 lim lim 0 ssFtf st 8 卷积定理 21 0 21 0 21 sFsFdtftfLdftfL tt 2 表 A 2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序号 拉氏变换 E s 时间函数 e t Z 变换 E z 1 1 t 1 2Ts e 1 1 0 n T nTtt 1 z z 3 s 1 1 t 1 z z 42 1 s t2 1 z Tz 53 1 s2 2 t 3 2 1 2 1 z zzT 61 1 n s n t n 1 lim 0 aTn nn a ez z an 7 as 1 at e aT ez z 8 2 1 as at te 2 aT aT ez Tze 9 ass a at e 1 1 1 aT aT ezz ze 12 10 bsas ab btat ee bTaT ez z ez z 1122 s t sin 1cos2 sin 2 Tzz Tz 1222 s s t cos 1cos2 cos 2 Tzz Tzz 13 22 as te at sin aTaT aT eTzez Tze 22 cos2 sin 14 22 as as te at cos aTaT aT eTzez Tzez 22 2 cos2 cos 15 aTsln 1 1 Tt a az z 3 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开 然后逐项查表进行反 变换 设是的有理真分式 sFs 01 1 1 01 1 1 asasasa bsbsbsb sA sB sF n n n n m m m m mn 式中系数 都是实常数 是正整数 按代数定理可将 nn aaaa 110 mm bbbb 110 nm 展开为部分分式 分以下两种情况讨论 sF 无重根0 s