高二数学异面直线所成角及距离人教版知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学高二数学异面直线所成角及距离异面直线所成角及距离人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 异面直线所成角及距离 二 重点 难点 1 异面直线所成角定义 异面直线 过空间一点 O 作 直线 所成的锐角 或直角 abaa bb a b 叫做异面直线和所成的角 ab 2 异面直线所成角的计算 1 平移其中一条或两条使其相交 2 连接端点 使角在一个三角形中 3 计算三条边长 用余弦定理计算余弦值 4 若余弦值为负 则取其相反数 3 公垂线 与两条异面直线均垂直 相交的直线叫两条异面直线的公垂线 两条异面直线的公垂 线有且只有一条 4 两条直线垂直 1 相交垂直 2 异面垂直 5 lb la ba 6 两条异面直线的公垂线段的长度 叫两条异面直线的距离 典型例题典型例题 异面直线所成的角与距离 例 1 正方体棱长为 对角线长为 1111 DCBAABCD aCA1a3 异面直线与所成的角 1 BA 1 CC 异面直线与的距离 BC 1 AA 异面直线与所成的角 BA1CB1 异面直线与所成的角 BA1 1 AC M N 为 中点 MN 与 AC 所成角 11C D 11B C H 为 BC 中点 与所成角 HC1BD1 用心 爱心 专心 解 解 与所成锐角即为两条异面直线所成的角 11 CC BB 1 BA 1 BB 45 11BB A AB 为两条异面直线的公垂线 距离为a 为等边三角形 成角为DACB 11 BDA1 60 延长 DC 至 E 使 CE CD ECCDBA 111 中 中 DE AD 1 AEC aAC3 1 aEC2 1 AEFRt a2a AE 由余弦定理a5 90 1E AC MN BD 所成角为 90 F 为 AD 中点 中 FDHC 11 FBD1 aBD3 1 aFD 2 5 1 aBF 2 5 aa aaa BDFD BFBDFD BFD 2 5 32 4 5 4 5 3 2 cos 222 11 22 1 2 1 1 5 15 15 3 所成角为 5 15 arccos 1 BFD 5 15 arccos 例 2 四面体 ABCD 棱长均为 正四面体 a 求异面直线 AD BC 的距离 求 AC BD 所成的角 E F 为 BC AD 中点 求 AE CF 所成角 用心 爱心 专心 解 解 E F 为 BC AD 中点 连 AE DE BF CF 中 F 为等腰底边中点 EF ADADE aDEAE 2 3 AED 同上 EF BC E F 为 AD BC 公垂线 aAFAEEF 2 2 22 H 为 CD 中点 EH BD EH FH AC 为两条异面直线 AC BD 所成角 2 a 2 a FH EHF 0cos EHF 90EHF K 为 DE 中点 连 FK FK AE CF 与 FK 所夹锐角为异面直线 AE CF 所成角 aCF 2 3 aAEFK 4 3 2 1 aEKCECK 4 7 22 3 2 4 3 2 3 2 16 7 16 3 4 3 cos 2 222 a aaa CFK 3 2 arccos CFK 例 3 正方体中 E F 为 AB 中点 求 所成的角 1 ACBB1EA1FC1 证 证 H 在上 M 为中点 11B A 111 4 1 BAHB 11B A HFBMEA 1 用心 爱心 专心 HF 与所成角等于异面直线 所成的角 FC1EA1FC1 设棱长为 aaHCaHFaFC 4 17 4 5 2 5 11 中 所成角为FHC1 5 2 cos 1 FHCEA1FC1 5 2 arccos 例 4 P 为所在平面外一点 E 为 PA 中点 且 ABC ACBE 求异面直线 BE PC 的距离 ACPC aPA bPC ba 解 解 F 为 PC 中点连 EF EF 为 PC BE 公垂线 PCEF ACPC ACEF BEEF ACBE ACEF BE PC 距离为 2 22 ba 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 1 与 均垂直 则 的关系为 21 l lab 1 l 2 lab A 平行 B 相交 C 异面 D 以上均可能 2 已知异面直线 成角 P 为空间一点 则过 P 且与 所成角均为的ab 60ab 60 直线有 A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 无数条 3 空间直线满足 1 与异面 2 与成角 3 与距离为 10cm 则ba aa 45a 这样的有 b A 1 条 B 2 条 C 4 条 D 无数条 4 为异面直线 为 的公垂线 与 的关系为 abcabcd dab A 均不相交B 与其中一条相交 C 至少与一条相交D 至多与其中一条相交 用心 爱心 专心 5 空间四边形 ABCD 棱长为 对