高考数学 函数解析式（曲线方程）变换与图象变换的关系

1 函数解析式 曲线方程 变换与图象变换的关系函数解析式 曲线方程 变换与图象变换的关系 一 平移变换 函数图象变换前为紫色 变换后为红色 1 向左平移 函数向左平移个单位 解析式变 xfy a 为 axfy 例 函数向左平移 2 个单位 34 2 xxy 解析式为 1583 2 4 2 22 xxxxy 曲线向左平移个单位 方程变为0 yxFa0 yaxF 例 曲线向左平移 2 个单位 方程为34 2 xxy 1583 2 4 2 22 xxxxy 2 向右平移 函数向右平移个单位 解析式变为 xfy a axfy 例 函数向右平移 2 个单位 解34 2 xxy 析式为 13 2 4 2 22 xxxy 曲线向左平移个单位 方程变为0 yxFa0 yaxF 例 曲线向右平移 2 个单位 方程为34 2 xxy 13 2 4 2 22 xxxy 3 向上平移 函数向上平移个单位 解析式变为 xfy a axfy 例 函数向上平移 2 个单位 解34 2 xxy 析式为 2 542 34 22 xxxxy 曲线向左平移个单位 方程变为0 yxFa0 yaxF 例 曲线向上平移 2 个单位 方程为34 2 xxy 即 342 2 xxy54 2 xxy 4 向下平移 函数向下平移个单位 解析式变为 xfy a axfy 例 函数向下平移 2 个单位 解34 2 xxy 析式为 142 34 22 xxxxy 曲线向左平移个单位 方程变为0 yxFa0 yaxF 例 曲线向下平移 2 个单位 方程为34 2 xxy 即 342 2 xxy14 2 xxy 二 对称变换 函 数 对 称 A 函数的图象关于点对称 两个函数与的图象关于点对称 则函数的 xfy xgy ba xgy 解析式应为 2 2 xafbxg 特殊的 函数与的图象关于点对称 则函数 xfy xgy 0 0 的解析式应为 xgy xfxg 函数的图象本身关于点对称 则函数的解析式应 xfy ba xfy 满足 2 2 xafbxf 特殊的 函数的图象本身关于点对称 则函数为奇 xfy 0 0 xfy a b a b x a 3 函数 且解析式应满足 xfxf B 函数的图象关于直线对称 两个函数与的图象关于直线对称 则函数的解 xfy xgy ax xgy 析式应为 特殊的时候关于轴对称 2 xafxg y 函数的图象本身关于直线对称 则函数的解析式 xfy ax xfy 应满足 或 常见的特例是偶函 2 xafxf xafxaf 数 两个函数与的图象关于直线对称 则函数 xfy xgy by 的解析式应为 特殊的时候关于轴对称 xgy 2 xfbxg x 函数的图象本身不可能关于直线对称 xfy by 两个函数与的图象关于直线对称 则函数 xfy xgy bxy 的解析式应为 xgy byfbx 函数的图象本身关于直线对称 则 xfy bxy 函数的解析式应满足 xfy byfbx C 绝对值对函数图象的对称变换 函数的图象 axfy 函数的图象向左平移个单位 即 将直线以左 xfy a axfy 0 ax 的图象删除 作直线右侧图象关于直线对称的图象 两部分合在一起0 ax0 ax 为函数的图象 axfy x a y b y x b x ax a 4 函数的图象 xfy 函数的图象在轴以下的部分以轴为轴 翻折到轴上方 两部分合在一 xfy xxx 起为函数的图象 xfy 解 析 几 何 图 形 对 称 一 关于点对称的问题 中心对称 1 点关于点对称 点关于点对称 则点的对称点为 特殊地 yxA baMA A 2 2 ybxa 点关于原点的对称点为 yxA 0 0 yxA 2 直线关于点对称 解法一 由关于点对称的几何性质可知 关于线外一点对称的两条直线相互平行 而且对称中心到两条直线的距离相等 解法二 在对称直线上任取一点 则点关于点的对称点 yxP P baM 在原直线上 故 2 2 ybxaP 0 CByAx 故所求直线方程为 0 2 2 CybBxaA 0 22 CBbAaByAx 3 曲线关于点对称0 yxF 在对称曲线上任取一点 则点关于点的对称点在原曲线 yxP P baM 上 故所求曲线方程为0 yxF0 2 2 ybxaF 特殊的 如果曲线为圆 则可由原圆心求出关于点的对称圆心 00 yxP baM 而且根据两圆的半径相等就能求出对称圆的方程 2 2 00 ybxaP 如果曲线是圆锥曲线 则可由对称中心 顶点 渐近线及准线等求出关于点 的对称性质 进而根据圆锥曲线的定义求出对称的曲线方程 baM 二 关于直线对称的问题 轴对称问题 1 点关于直线对称 A 对称轴直线与坐标轴平行或重合 斜率为 0 或不存在 点关于直线对称的点为 yxPby 2 RbybxP 点关于直线对称的点为 yxPax 2 RayxaP B 对称轴直线的斜率为 1 的直线 点关于直线对称的点为 00 yxP0 Cyx 00 CxCyP 5 C 对称轴直线的斜率存在且不为 0 设点关于直线对称的点为 则由 00 yxP0 CByAx baP 可解出点的坐标 0 22 00 0 0 C yb B xa A A B xa yb P 2 直线关于直线对称 A 对称轴直线与坐标轴平行或重合 斜率为 0 或不存在 直线关于直线的对称直线为0 CByAxby 0 2 CybBAx 直线关于直线的对称直线为0 CByAxax 0 2 CByxaA B 对称轴直线的斜率为 1 直线关于直线的对称直线为0 CByAx0 Dyx 0 CDxBDyA 直线关于直线的对称直线为0 CByAx0 Dyx 0 CDxBDyA C 对称轴直线的斜率与已知直线的斜率相同 直线关于直线的对称直线可设为0 CByAx0 DByAx 根据平行线间的距离可知 0CEEByAx 2222 BA DE BA DC 进而求出的值并解出方程 DEDC E D 对称轴直线的斜率与已知直线的斜率不相同 首先 直线与对称轴直线的交点可0 111 CyBxA0 222 CyBxA 11 baM 求出 同时在直线上可任取一确定点 进而可求现点0 111 CyBxA feN 关于直线对称的点的坐标 由 feN0 222 CyBxA 11 feN 11 baM 这两点便可求对称直线方程 也可利用到角相等解决此类问题 11 feN 3 曲线关于直线对称0 yxF A 对称轴直线与坐标轴平行或重合 斜率为 0 或不存在 曲线关于对称的曲线方程为0 yxFby 0 2 ybxF 曲线关于对称的曲线方程为0 yxFax 0 2 yxaF 6 B 对称轴直线的斜率为 1 曲线关于对称的曲线方程为0 yxF0 Cyx0 CxCyF 曲线关于对称的曲线方程为0 yxF0 Cyx0 CxCyF C 对称轴为普通直线 在求解曲线关于对称的曲线方程时 可在0 yxF0 CByAx0 yxF 曲线上任取一点 求出点关于直线对称的0 yxF yxP yxP0 CByAx 点 将