高考数学复习点拨 几何体中向量的应用

用心 爱心 专心1 A B C D n a b 图 1 A B C DO S x y z 图 2 几何体中向量的应用几何体中向量的应用 一 求异面直线间的距离 如图 1 若是异面直线 的公垂线段 分别为 上的任意两点 令向量CDabABab 则 na nb n CD ABACCDDB AB nAC nCD nDB n AB nCD n AB nCDn AB n CD n 两异面直线 间的距离为 其中与 均垂直 分别为两异 ab AB n d n n abAB 面直线上的任意两点 例 1 如图 2 正四棱锥的高 底边长 SABCD 2SO 2AB 求异面直线和之间的距离 BDSC 分析 建立如图所示的直角坐标系 则 22 0 22 A 22 0 22 B 22 0 22 C 22 0 22 D 0 0 2 S 2 2 0 DB 22 2 22 CS 令向量 且 则 1 nx y nDB nCS 0 0 n DB n CS 1 2 2 0 0 22 1 2 0 22 x y x y 0 2 20 xy xy 2 2 x y 2 2 1 n 异面直线和之间的距离为 BDSC 用心 爱心 专心2 A A1 D C B B1 C1 图 5 OC n d n 22 0 2 2 1 22 2 2 1 222 1 10 2 5 5 2 2 1 例 2 如图 3 在正方体中 为的中点 1111 ABCDABC D E 11 AB 求异面直线和间的距离 1 D E 1 BC 分析 设正方体棱长为 以为原点 建立如图所示2 1 D 的空间直角坐标系 则 设 1 2 1 0 D E 1 2 0 2 C B 和公垂线段上的向量为 则 1 D E 1 BC 1 n 即 1 1 0 0 n D E n C B 20 220 又 所以异面直线 2 1 1 2 1 n 11 0 2 0 DC 1142 6 36 DCn n 和间的距离为 1 D E 1 BC 2 6 3 二 求点到平面的距离 例 3 如图 4 已知为平面的一条斜线段 为平面的法向量 AB n 求证 到平面的距离 A AC AB n n 分析 cos AB n AB n ABn cos ACABAB n AB n AB ABn AB n n 例 4 如图 5 已知是各条棱长均等于的正三棱柱 是侧棱的中点 111 ABCABC aD 1 CC 求点到平面的距离 1 C 1 AB D 分析 为正方形 又平面平面 11 ABB A 11 ABAB 1 AB D 11 ABB A 面 是平面的一个法向量 1 AB 1 AB D 1 AB 1 AB D A B C n 图 4 x A B C D A1B1 C1 D1 y z E 图 3 用心 爱心 专心3 A E A1 D C B B1 C1 D1 F x y z 图 6 A C B P E F 图 7 设点到平面的距离为 则C 1 AB Dd 1 1 AC AB d AB 1 2 ACA AAB a 1 2 AC A AAC AB a 0 0cos60 2 42 aa a a 例 5 如图 6 在棱长为 的正方体中 分别是 的中点 1 1111 ABCDABC D EF 11 ABCD 求点到截面的距离 B 1 AEC F 分析 以为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 D 则 11 1 0 0 0 0 1 1 22 AFE 1 0 1 2 AE 1 1 0 2 AF 设面的法向量为 1 AEC F 1 n 则有 0 0n AEn AF 1 0 2 2 11 10 2 又 所以点到截面的距离为 1 2 1 n 0 1 0 AB B 1 AEC F AB n ABn 26 316 三 求直线到平面的距离 例 6 如图 7 已知边长为的正三角形中 4 2ABC 分别为和的中点 面 且EFBCACPA ABC 设平面过且与平行 2PA PFAE 求与平面间的距离 AE 分析 设 的单位向量分别为 选取AP AE EC 1 e 2 e 3 e 作为空间向量的一组基底 1 e 2 e 3 e 易知 121323 0e ee eee 123 2 2 6 2 2 APe AEe ECe PFPAAF 1 2 PAAC 1 2 PAAEEC 123 262eee 用心 爱心 专心4 设是平面的一个法向量 则 123 nxeyee nAE nPF 即 0 0 n AE n PF 2 2 222 123 2 60 2620 y e x ey ee 0 2 2 y x 直线与平面间的距离 13 2 2 nee AE d Ap n n 113 2 2 13 2 2 2 2 3 3 2 2 eee ee 四 求两平行平面间的距离 例 7 如图 8 在棱长为 的正方体1 中 1111 ABCDABC D 求平面与平面间的距离 1 ABC 11 AC D 分析 建立如图所示的直角坐标系 设平面的一个法向量 则 11 AC D 1 nx y 即 1 1 0 0 n DA n DC 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 x