黑龙江省虎林市九年级数学上册 24.1 圆教案（1） 新人教版

用心 爱心 专心1 2424 1 1 圆圆 第一课时 教学内容 1 圆的有关概念 2 垂径定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧及其 它们的应用 教学目标 了解圆的有关概念 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问 题 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程 讲授圆的有关概念 利用操作几 何的方法 理解圆是轴对称图形 过圆心的直线都是它的对称轴 通过复合图形的折叠方 法得出猜想垂径定理 并辅以逻辑证明加予理解 重难点 关键 1 重点 垂径定理及其运用 2 难点与关键 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 教学过程 一 复习引入 学生活动 请同学口答下面两个问题 提问一 两个同学 1 举出生活中的圆三 四个 2 你能讲出形成圆的方法有多少种 老师点评 口答 1 如车轮 杯口 时针等 2 圆规 固定一个定点 固定一 个长度 绕定点拉紧运动就形成一个圆 二 探索新知 从以上圆的形成过程 我们可以得出 在一个平面内 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周 另一个端点所形成的图形 叫做圆 固定的端点 O 叫做圆心 线段 OA 叫做半径 以点 O 为圆心的圆 记作 O 读作 圆 O 学生四人一组讨论下面的两个问题 问题 1 图上各点到定点 圆心 O 的距离有什么规律 用心 爱心 专心2 问题 2 到定点的距离等于定长的点又有什么特点 老师提问几名学生并点评总结 1 图上各点到定点 圆心 O 的距离都等于定长 半径 r 2 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此 我们可以得到圆的新定义 圆心为 O 半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点组成的图形 同时 我们又把 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如图线段 AC AB 经过圆心的弦叫做直径 如图 24 1 线段 AB 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 以 A C 为端点的弧记作 A AC 读作 圆弧 A AC 或 弧 AC 大于半圆的弧 如图所示AABC叫做优弧 小于半圆的弧 如 图所示 A AC或ABC叫做劣弧 B AC O 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都叫做半圆 学生活动 请同学们回答下面两个问题 1 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 2 你是用什么方法解决上述问题的 与同伴进行交流 老师点评 1 圆是轴对称图形 它的对称轴是直径 我能找到无数多条直径 3 我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此 我们可以得到 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 学生活动 请同学按下面要求完成下题 如图 AB 是 O 的一条弦 作直径 CD 使 CD AB 垂足为 M 用心 爱心 专心3 BA C D O M 1 如图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些等量关系 说一说你理由 老师点评 1 是轴对称图形 其对称轴是 CD 2 AM BM AA ACBC A A ADBD 即直径 CD 平分弦 AB 并且平分AAB及 A ADB 这样 我们就得到下面的定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下 已知 直径 CD 弦 AB 且 CD AB 垂足为 M 求证 AM BM AA ACBC A A ADBD 分析 要证 AM BM 只要证 AM BM 构成的两个三角形全等 因此 只要连结 OA OB 或 AC BC 即可 证明 如图 连结 OA OB 则 OA OB 在 Rt OAM 和 Rt OBM 中 OAOB OMOM Rt OAM Rt OBM AM BM 点 A 和点 B 关于 CD 对称 O 关于直径 CD 对称 当圆沿着直线 CD 对折时 点 A 与点 B 重合 A AC与ABC重合 AAD与ABD重合 AA ACBC A A ADBD 进一步 我们还可以得到结论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 BA C O M 用心 爱心 专心4 C E D O F BA C E D O N M 本题的证明作为课后练习 例 1 如图 一条公路的转弯处是一段圆弦 即图中ACD 点 O 是ACD的圆心 其中 CD 600m E 为ACD上一点 且 OE CD 垂足为 F EF 90m 求这段弯路的半径 分析 例 1 是垂径定理的应用 解题过程中使用了列方程的方法 这种用代数方法解 决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解 如图 连接 OC 设弯路的半径为 R 则 OF R 90 m OE CD CF 1 2 CD 1 2 600 300 m 根据勾股定理 得 OC2 CF2 OF2 即 R2 3002 R 90 2 解得 R 545 这段弯路的半径为 545m 三 巩固练习 教材 P86 练习 P88 练习 四 应用拓展 例 2 有一石拱桥的桥拱是圆弧形 如图 24 5 所示 正常水位下水面宽 AB 60m 水 面到拱顶距离 CD 18m 当洪水泛滥时 水面宽 MN 32m 时是否需要采取紧急措施 请说明 理由 分析 要求当洪水到来时 水面宽 MN 32m 是否需要采取紧急措施 只要求出 DE 的 长 因此只要求半径 R 然后运用几何代数解求 R 解 不需要采取紧急措施 设 OA R 在 Rt AOC 中 AC 30 CD 18 R2 302 R 18 2 R2 900 R2 36R 324 解得 R 34 m 连接 OM 设 DE x 在 Rt MOE 中 ME 16 342 162 34 x 2 162 342 68x x2 342 x2 68x 256 0 解得 x1 4 x2 64 不合设 DE 4 用心 爱心 专心5 不需采取紧急措施 五 归纳小结 学生归纳 老师点评 本节课应掌握 1 圆的有关概念 2 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 3 垂径定理及其推论以及它们的应用 六 布置作业 1 教材 P94 复习巩固 1 2 3 2 车轮为什么是圆的呢 3 垂径定理推论的证明 4 选用课时作业设计 第一课时作业设计 一 选择题 1 如图 1 如果 AB 为 O 的直径 弦 CD AB 垂足为 E 那么下列结论中 错误的是 A CE DE B A A BCBD C BAC BAD D AC AD B A C E D O BA O M BA C D P O 1 2 3 2 如图 2 O 的直径为 10 圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3 则弦 AB 的长是 A 4 B 6 C 7 D 8 3 如图 3 在 O 中 P 是弦 AB 的中点 CD 是过点 P 的直径 则下列结论中不正确的是 A AB CD B AOB 4 ACD C A A ADBD D PO PD 二 填空题 用心 爱心 专心6 1 如图 4 AB 为 O 直径 E 是ABC中点 OE 交 BC 于点 D BD 3 AB 10 则 AC B A C E D O B A C E D O F 4 5 2 P 为 O 内一点 OP 3cm O 半径为 5cm 则经过 P 点的最短弦长为 最长 弦长为 3 如图 5 OE OF 分别为 O 的弦 AB CD 的弦心距 如果 OE OF 那么 只需写 一个正确的结论 三 综合提高题 1 如图 24 11 AB 为 O 的直径 CD 为弦 过 C D 分别作 CN CD DM CD 分别交 AB 于 N M 请问图中的 AN 与 BM 是否相等 说明理由 B A C D O N M 2 如图 O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E AE 2 EB 6 DEB 30 求弦 CD 长 B A C E D O 用心 爱心 专心7 3 开放题 AB 是 O 的直径 AC AD 是 O 的两弦 已知 AB 16 AC 8 AD 8 求 DAC 的度数 用心 爱心 专心8 B A C E D O F 答案 一 1 D 2 D 3 D 二 1 8 2 8 10 3 AB CD 三 1 AN BM 理由 过点 O 作 OE CD 于点 E 则 CE DE 且 CN OE DM ON OM OA ON OB OM AN BM 2 过 O 作 OF CD 于 F 如右图所示 AE