（福建专用）2013年高考数学总复习 第八章第7课时 空间向量及其运算课时闯关（含解析）

1 福建专用 福建专用 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 第八章第第八章第 7 7 课时课时 空间向空间向 量及其运算课时闯关 含解析 量及其运算课时闯关 含解析 一 选择题 1 若向量a 1 2 b 2 1 1 a b夹角的余弦值为 则 等于 1 6 A 1 B 1 C 1 D 2 解析 选 A cos a b a b a b 2 5 6 1 6 解得 1 2 2012 三明调研 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 点E为上底面A1C1的中心 若 x y 则x y的值分别为 AE AA1 AB AD A x 1 y 1 B x 1 y 1 2 C x y D x y 1 1 2 1 2 1 2 解析 选 C 如图 AE AA1 A1E AA1 1 2A1C1 AA1 1 2 AB AD 3 设点C 2a 1 a 1 2 在点P 2 0 0 A 1 3 2 B 8 1 4 确定的平面上 则a等于 A 16 B 4 C 2 D 8 解析 选 A 1 3 2 6 1 4 PA PB 根据共面向量定理 设 x y x y R PC PA PB 则 2a 1 a 1 2 x 1 3 2 y 6 1 4 x 6y 3x y 2x 4y Error 解得x 7 y 4 a 16 4 平行六面体ABCD A1B1C1D1中 x 2y 3z 则x y z等于 AC1 AB BC C1C A B 1 6 7 C D 7 6 11 6 解析 AC1 AB BC CC1 又 不共面 x 1 2y 1 3z 1 AB BC C1C x 1 y z x y z 1 1 2 1 3 1 2 1 3 7 6 2 答案 7 6 5 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a 点E F分别是BC AD的 中点 则 的值为 AE AF A a2 B a2 1 2 C a2 D a2 1 4 3 4 解析 选 C 如图所示 设 a b c 则 a b c a 且a b c AB AC AD 三向量两两夹角为 60 a b c AE 1 2 AF 1 2 a b c AE AF 1 2 1 2 a c b c a2cos60 a2cos60 a2 1 4 1 4 1 4 二 填空题 6 2010 高考广东卷 若向量a 1 1 x b 1 2 1 c 1 1 1 满足条件 c a 2b 2 则x 解析 a 1 1 x b 1 2 1 c 1 1 1 c a 0 0 1 x 2b 2 4 2 c a 2b 2 1 x 2 x 2 答案 2 7 已知G是 ABC的重心 O是平面ABC外的一点 若 则 OG OA OB OC 解析 如图 正方体中 3 3 OA OB OC OD OG 答案 3 8 原创题 如图 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AA1 2 BC 3 M为AC1与CA1 的交点 则M点的坐标为 解析 由长方体的几何性质得 M为AC1的中点 在所给的坐标系中 A 0 0 0 C1 2 3 2 中点M 的坐标为 1 1 3 2 答案 1 1 3 2 三 解答题 9 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 O为AC的中点 3 1 化简 A1O 1 2AB 1 2AD 2 设E是棱DD1上的点 且 若 x y z 试 DE 2 3DD1 EO AB AD AA1 求x y z的值 解 1 AB AD AC A1O 1 2AB 1 2AD A1O 1 2 AB AD A1O 1 2AC A1O AO A1A 2 EO ED DO 2 3D1D 1 2DB 2 3D1D 1 2 DA AB 2 3A1A 1 2DA 1 2AB 1 2AB 1 2AD 2 3AA1 x y z 1 2 1 2 2 3 10 如图所示 平行六面体ABCD A1B1C1D1中 以顶点A为端点的三条棱长都为 1 且 两两夹角为 60 1 求AC1的长 2 求BD1与AC夹角的余弦值 解 记 a b c AB AD AA1 则 a b c 1 a b b c c a 60 a b b c c a 1 2 1 2 a b c 2 AC1 a2 b2 c2 2 a b b c c a 1 1 1 2 6 1 2 1 2 1 2 即AC1的长为 AC1 66 2 b c a a b BD1 AC 1 b c a a b BD 2 AC 3 BD1 AC b2 a2 a c b c 1 cos BD1 AC BD1 AC BD1 AC 6 6 AC与BD1夹角的余弦值为 6 6 一 选择题 1 2012 宁德调研 已知点A 3 1 4 关于原点的对称点为A1 点A在xOz 平面上的射影为A2 则在y轴正方向上的投影为 A1A2 4 A 2 B 1 C 1 D 2 解析 选 B A1的坐标为 3 1 4 A2的坐标为 3 0 4 6 1 8 y轴正方向上的单位向量e 0 1 0 投影 A1A2 为 e 1 A1A2 2 2012 宁德调研 O A B C为空间四个点 又 为空间的一个基底 则 OA OB OC A O A B C四点不共线 B O A B C四点共面 但不共线 C O A B C四点中任意三点不共线 D O A B C四点不共面 解析 选 D 由基底意义 三个向量不共面 但 A B C 三种情形都有可能使 OA OB OC 共面 只有 D 才能使这三个向量不共面 故应选 D OA OB OC 二 填空题 3 2011 高考大纲全国卷 已知点E F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1 CC1上 且B1E 2EB CF 2FC1 则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 解析 如图 建立空间直角坐标系 设面ABC的法向量为n1 0 0 1 面AEF的法向量为n2 x y z 设正方体的棱长为 1 A 1 0 0 E F 1 1 1 3 0 1 2 3 AE 0 1 1 3 EF 1 0 1 3 则Error 取x 1 则y 1 z 3 故n2 1 1 3 cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 3 11 11 面AEF与面ABC所成的二面角的平面角 满足 cos sin tan 3 11 11 22 11 2 3 答案 2 3 4 2012 南平质检 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 O是A1C1的中点 则点O到 平面ABC1D1的距离为 解析 建立如图所示空间直角坐标系 可得C1 0 1 1 O 1 D 0 0 0 A1 1 0 1 1 2 1 2 0 C1O 1 2 1 2 平面ABC1D1的法向量 1 0 1 点O到平面ABC1D1的距离 DA1 d DA1 C1O DA1 1 2 2 2 4 答案 2 4 三 解答题 5 5 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 AB 2 BAD 60 1 求证 BD 平面PAC 2 若PA AB 求PB与AC所成角的余弦值 3 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 解 1 证明 因为四边形ABCD是菱形 所以AC BD 又因为PA 平面ABCD 所以PA BD 所以BD 平面PAC 2 设AC BD O 因为 BAD 60 PA AB 2 所以BO 1 AO CO 3 如图 以O为坐标原点 建立空间直角坐标系O xyz 则 P 0 2 A 0 0 B 1 0 0 C 0 0 333 所以P 1 2 A 0 2 0 B 3 C 3 设PB与AC所成角为 则 cos P B A C PB AC 6 2 2 2 3 6 4 3 由 2 知B 1 0 C 3 设P 0 t t 0 则B 1 t 3 P 3 设平面PBC的法向量m x y z 则B m 0 B m 0 C P 所以Error 令y 则x 3 z 所以m 3 6 t 3 3 6 t 同理 平面PDC的法向量n 3 3 6 t 因为平面PBC 平面PDC 所以m n 0 即 6 0 36 t2 解得t 所以PA 66 6 如图 在梯形ABCD中 AB CD ADC 90 3AD DC 3 AB 2 E是DC上的 点 且满足DE 1 连结AE 将 DAE沿AE折起到 D1AE的位置 使得 D1AB 60 设 AC与BE的交点为O 1 试用基向量 表示向量 AB AE AD1 OD1 2 求异面直线OD1与AE所成角的余弦值 3 判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直 并说明理由 解 1 AB CE AB CE 2 四边形ABCE是平行四边形 O为BE的中点 OD1 AD1 AO AD1 1 2 AB AE AD1 1 2AB 1 2AE 2 设异面直线OD1与AE所成的角为 则 cos cos OD1 AE 6 OD1 AE OD1 AE OD1 AE AD1 1 2AB 1 2AE AE 2 AD1 AE 1 2AB AE 1 2 AE 1 cos45 2 cos45 2 2 1 22 1 22 1 OD1 AD1 1 2AB 1 2AE 2 6 2 cos OD1 AE OD1 AE 1 6 2 2 3 3 故异面直线OD1与AE所成角的余弦值为 3 3 3 平面D1AE 平面ABCE 证明如下 取AE的中点M 连结D1M 则 D1M AM AD1 1 2AE