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文档简介

极坐标系下二重积分的计算 二 二重积分的极坐标转化及计算 一 极坐标与直角坐标系的关系 什么是极坐标 在平面内取一个定点O 引一条射线OX 这样就建立了一个极坐标系 叫做极点 叫做极轴 对于平面内任一点M 记 OM r r r 就叫做点M的极坐标 XOM 平面上任一点 r 一 极坐标与直角坐标系的关系 两坐标系中变量间关系 设积分区域D为平面有界区域 并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个 则区域D被分割情形见下图 二重积分中被积函数 求极坐标下的积分元素 的表示方法 二 二重积分的极坐标转化及计算 1 二重积分的极坐标转化 图中分割的其中一小块的面积为 略去高阶无穷小 则有 r r 故d rdrd 于是 二重积分 二 极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形 1 区域特征如图 2 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 3 区域特征如图 例1将 化为在极坐标系下的二次积分 1 解 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 2 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 3 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 4 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 例2求D x2 y2 R2 R 0 解在极坐标下D 0 r R 0 2 利用极坐标计算二重积分 例3求D x2 y2 2ax a 0 解积分区域D如图 在极坐标下D 0 r 2acos 例4求 a 0 解积分区域D见图 采用极坐标计算 原式 例5求的值 解考虑区域D 0 x 0 y 记 故 小结 掌握极坐标系下
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