高中数学 解题方法介绍11 数列问题的题型与方法 苏教版

用心 爱心 专心1 第第 1111 讲讲 数列问题的题型与方法数列问题的题型与方法 数列是高中数学的重要内容 又是学习高等数学的基础 高考对本章的考查比较全面 等 差数列 等比数列的考查每年都不会遗漏 有关数列的试题经常是综合题 经常把数列知识和 指数函数 对数函数和不等式的知识综合起来 试题也常把等差数列 等比数列 求极限和数 学归纳法综合在一起 探索性问题是高考的热点 常在数列解答题中出现 本章中还蕴含着丰 富的数学思想 在主观题中着重考查函数与方程 转化与化归 分类讨论等重要思想 以及配 方法 换元法 待定系数法等基本数学方法 近几年来 高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面 1 数列本身的有关知识 其 中有等差数列与等比数列的概念 性质 通项公式及求和公式 2 数列与其它知识的结合 其中有数列与函数 方程 不等式 三角 几何的结合 3 数列的应用问题 其中主要是以 增长率问题为主 试题的难度有三个层次 小题大都以基础题为主 解答题大都以基础题和中 档题为主 只有个别地方用数列与几何的综合与函数 不等式的综合作为最后一题难度较大 一 知识整合 1 在掌握等差数列 等比数列的定义 性质 通项公式 前 n 项和公式的基础上 系统掌 握解等差数列与等比数列综合题的规律 深化数学思想方法在解题实践中的指导作用 灵活地运 用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题 2 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识 基本技能和基本数学思想方法的认 识 沟通各类知识的联系 形成更完整的知识网络 提高分析问题和解决问题的能力 进一步培养学生阅读理解和创新能力 综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力 3 培养学生善于分析题意 富于联想 以适应新的背景 新的设问方式 提高学生用函数 的思想 方程的思想研究数列问题的自觉性 培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法 二 方法技巧 1 判断和证明数列是等差 等比 数列常有三种方法 1 定义法 对于 n 2 的任意自然数 验证 11 nnnn aaaa 为同一常数 2 通项公式法 若 n 1 d n k d 则 n a为等差数列 若 则 n a为等比数列 3 中项公式法 验证中项公式成立 2 在等差数列 n a中 有关 n S的最值问题 常用邻项变号法求解 用心 爱心 专心2 1 当 1 a 0 d 0 时 满足 1 0 0 m m a a 的项数 m 使得 m S取最大值 2 当 1 a0 时 满足 1 0 0 m m a a 的项数 m 使得取最小值 在解含绝对值的数列最值问题时 注意转化思想的应用 3 数列求和的常用方法 公式法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法等 三 注意事项 1 证明数列 n a是等差或等比数列常用定义 即通过证明 11 nnnn aaaa 或 1 1 n n n n a a a a 而得 2 在解决等差数列或等比数列的相关问题时 基本量法 是常用的方法 但有时灵活地运 用性质 可使运算简便 而一般数列的问题常转化为等差 等比数列求解 3 注意 n s与 n a之间关系的转化 如 n a 1 1 0 0 nn S SS 2 1 n n n a n k kk aaa 2 11 4 数列极限的综合题形式多样 解题思路灵活 但万变不离其宗 就是离不开数列极限的 概念和性质 离不开数学思想方法 只要能把握这两方面 就会迅速打通解题思路 5 解综合题的成败在于审清题目 弄懂来龙去脉 透过给定信息的表象 抓住问题的本质 揭 示问题的内在联系和隐含条件 明确解题方向 形成解题策略 四 例题解析 例 1 已知数列 an 是公差 d 0 的等差数列 其前 n 项和为 Sn 2 过点 Q1 1 a1 Q2 2 a2 作直线 12 设 l1与 l2的夹角为 证明 1 因为等差数列 an 的公差 d 0 所以 用心 爱心 专心3 Kp1pk是常数 k 2 3 n 2 直线 l2的方程为 y a1 d x 1 直线 l2的斜率为 d 例 2 已知数列 n a中 n S是其前n项和 并且 11 42 1 2 1 nn Sana 设数列 2 1 2 1 naab nnn 求证 数列 n b是等比数列 设数列 2 1 2 n a c n n n 求证 数列 n c是等差数列 求数列 n a的通项公式及前n项和 分析 由于 bn 和 cn 中的项都和 an 中的项有关 an 中又有 S 1n 4an 2 可由 S 2n S 1n 作切入点探索解题的途径 解 1 由 S 1n 4a2 n S 2n 4a 1n 2 两式相减 得 S 2n S 1n 4 a 1n an 即 a 2n 4a 1n 4an 根据 bn的构造 如何把该式表示成 b 1n 与 bn的关系是证明的关键 注意加强恒等变形能 力的训练 a 2n 2a 1n 2 a 1n 2an 又 bn a 1n 2an 所以 b 1n 2bn 已知 S2 4a1 2 a1 1 a1 a2 4a1 2 解得 a2 5 b1 a2 2a1 3 由 和 得 数列 bn 是首项为 3 公比为 2 的等比数列 故 bn 3 2 1n 当 n 2 时 Sn 4a 1n 2 2 1n 3n 4 2 当 n 1 时 S1 a1 1 也适合上式 综上可知 所求的求和公式为 Sn 2 1n 3n 4 2 说明 1 本例主要复习用等差 等比数列的定义证明一个数列为等差 等比数列 求数列通项 与前n项和 解决本题的关键在于由条件24 1 nn aS得出递推公式 用心 爱心 专心4 2 解综合题要总揽全局 尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件 在后面求 解的过程中适时应用 例 3 04 年浙江 设数列 an 的前项的和Sn 3 1 an 1 n N 1 求a1 a2 2 求证数列 an 为等比数列 解 由 1 3 1 11 aS 得 1 3 1 11 aa 1 a 2 1 又 1 3 1 22 aS 即 1 3 1 221 aaa 得 4 1 2 a 当n 1 时 1 3 1 1 3 1 11 nnnnn aaSSa 得 2 1 1 n n a a 所以 n a是首项 2 1 公比为 2 1 的等比数列 例 4 04 年重庆 设a1 1 a2 3 5 an 2 3 5 an 1 3 2 an n 1 2 令bn an 1 an n 1 2 求数 列 bn 的通项公式 2 求数列 nan 的前n项的和Sn 解 I 因 121 nnn aab 111 5222 3333 nnnnnn aaaaab 故 bn 是公比为 3 2 的等比数列 且故 3 2 121 aab 2 1 3 2 nb n n II 由得 n nnn aab 3 2 1 121111 aaaaaaaa nnnnn 3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 21nnn 注意到 1 1 a可得 2 1 3 2 3 1 na n n n 记数列 3 2 1 1 n n n 的前n项和为Tn 则 12 222222 12 2 333333 nn nn TnTn 21 1222222 1 3 1 3333333 nnnn n Tnn 两式相减得 1 1 12 1 22 3 2 9 1 3 9 333 3 3 2 23 12 2 1 18 23 n nn n n n nnn n n Tn n SaananTn n 故 从而 用心 爱心 专心5 例 5 在直角坐标平面上有一点列 222111nnn yxPyxPyxP 对一切正整数n 点 n P位于函数 4 13 3 xy的图象上 且 n P的横坐标构成以 2 5 为首项 1 为公差的等差数列 n x 求点 n P的坐标 设抛物线列 321n cccc中的每一条的对称轴都垂直于x轴 第n条抛物线 n c的顶 点为 n P 且过点 1 0 2 nDn 记与抛物线 n c相切于 n D的直线的斜率为 n k 求 nn kkkkkk 13221 111 设 1 4 1 2 nyyyTnNnxxxS nn 等差数列 n a的任一项 TSan 其中 1 a是TS 中的最大数 125265 10 a 求 n a的通项公式 解 1 2 3 1 1 2 5 nnxn 13535 33 3 4424 nnn yxnPnn 2 n c 的对称轴垂直于x轴 且顶点为 n P 设 n c的方程为 4 512 2 32 2 nn xay 把 1 0 2 nDn代入上式 得1 a n c 的方程为 1 32 22 nxnxy 32 0 nyk xn 32 1 12 1 2 1 32 12 11 1 nnnnkk nn nn kkkkkk 13221 111 32 1 12 1 9 1 7 1 7 1 5 1 2 1 nn 64 1 10 1 32 1 5 1 2 1 nn 3 1 32 nNnnxxS 1 512 nNnnyyT 1 3 16 2 nNnnyy STT T 中最大数17 1 a 设 n a公差为d 则 125 265 917 10 da 由此得 247 24 12 12 9 248 Nnnad NmmdTad n n 又 说明 本例为数列与解析几何的综合题 难度较大 1 2 两问运用几何知识算出 n k 解决 3 的关键在于算出ST 及求数列 n a的公差 例 6 数列 n a中 2 8 41 aa且满足 nnn aaa 12 2 Nn 求数列 n a的通项公式 设 21nn aaaS 求 n S 用心 爱心 专心6 设 n b 12 1 n an 21 NnbbbTNn nn 是否存在最大的整数m 使得对任意 Nn 均有 n T 32 m 成立 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 解 1 由题意 nnnn aaaa 112 n a 为等差数列 设公差为d 由题意得2382 dd nnan210 1 28 2 若50210 nn则 5 21nn aaaSn 时 2 12 8102 9 2 n n aaannn 6n 时 nn aaaaaaS 76521 4092 2 555 nnSSSSS nn 故 n S 409 9 2 2 nn nn 6 5 n n 3 1 11 2 1 1 2 1 12 1 nnnnan b n n n T 1 11 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1 nnnn 1 2 n n 若 32 m Tn 对任意 Nn 成立 即 161 m n n 对任意 Nn 成立 1 Nn n n 的最小值是 2 1 2 1 16 m m 的最大整数值是 7 即存在最大整数 7 m使对任意 Nn 均有 32 m Tn 说明 本例复习数列通项 数列求和以及有关数列与不等式的综合问题 五 强化训练 一 用基本量方法解题 1 04 年浙江 已知等差数列的公差为 2 若a1 a3 a4成等比数列 则a2 B A 4 B 6 C 8 D 10 二 用赋值法解题 2 96 年 等差数列 an 的前m项和为 30 前 2m项和为 100 则它的前 3m项和为 C A 130 B 170 C 210 D 260 3 01 年 设 an 是公比为q的等比数列 Sn是 an 的前n项和 若 Sn 是等差数列 则q 1 4 设数列 an 的前项的和Sn 2 13 1 n a 对于所有n 1 且a4 54 则a1 2 三 用整体化方法解题 5 00 年 已知等差数列 an 满足a1 a2 a3 a101 0 则有 C A a1 a101 0 B a2 a1000 Sn是 an 的前n项和 Sn取得最大值 则n 9 10 01 年上海 已知数列 an 中an 2n 7 n N 1 a 2 a 15 a 153 五 用递推方法解题 11 03 年全国 设 an 是首项为 1 的正项数列 且 n 1 a2n 1 nan2 an 1an 0 求它的通项公式 是 1 n 12 04 年全国 已知数列 an 满足a 1 1 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 1 则 an 的通项 an a1 1 an 2 n n 2 13 04 年北京 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一个 常数 那么这个数列叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 已知数列是等和数列 且 公和为 5 那么的值为 3 这个数列的前n项和的计算公式为 当n为偶数时 当n为奇数时 14 04 年全国 已知数列 an 中 a1 1 a2k a2k 1 1 K a2k 1 a2k 3k 其中k 1 2 3 1 求a3 a5 2 求 an 的通项公式 解 I a2 a1 1 1 0 a3 a2 31 3 a4 a3 1 2 4 a5 a4 32 13 所以 a3 3 a5 13 II a2k 1 a2k 3k a2k 1 1 k 3k 所以a2k 1 a2k