安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期线下考试自测卷（三）理（PDF）

1 六安一中六安一中 2020 届高三年级自测试卷 理科数学 三 届高三年级自测试卷 理科数学 三 命题人 命题人 时间 时间 120 分钟满分 分钟满分 150 分分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 腰和上底均为 1 的等腰梯形 则原平面图形的面积为 a 2 1 2 b 1 2 2 c 2 2 d 1 2 2 如图 点 p 在正方体 1111 abcdabc d 的面对角线 1 bc上运动 则下列四个结论 三棱锥 1 ad pc 的体积不变 1 ap 平面 1 acd 1 dpbc 平面 1 pdb 平面 1 acd 其中正确的结论的个数是 a 1 个b 2 个c 3 个d 4 个 3 已知圆c的方程为 22 1 1 2xy 点p在直线3yx 上 线段ab为圆c的直径 则pa pb 的最小值为 a 2b 5 2 c 3d 7 2 4 在正四棱锥pabcd 中 已知异面直线pb与ad所成的角为 0 60 给出下面三个命题 1 p 若2ab 则此四棱锥的侧面积为4 4 3 2 p 若 e f分别为 pc ad的中点 则 ef平面pab 3 p 若 p a b c d都在球o的表面上 则球o的表面积是四边形abcd面积的2 倍 在下列命题中 为真命题的是 a 23 pp b 12 pp c 13 pp d 23 pp 5 已知 1 4a 点 p 为抛物线 2 12yx 上一动点 点 p 到直线2x 的距离是d 则pad 的最小值为 a 2 51 b 2 51 c 2 5d 3 6 我国古代数学名著 数书九章 中有 天池盆测雨 题 大概意思如下 在下雨时 用一个圆 台形的天池盆接雨水 天池盆盆口直径为 2 尺 8 寸 盆底直径为 l 尺 2 寸 盆深 1 尺 8 寸 若盆中积水深 9 寸 则平均降雨量是 注 平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积 1 尺等于 10 寸 a 3 寸b 4 寸c 5 寸d 6 寸 7 已知圆柱的轴截面为正方形 且该圆柱的侧面积为36 则该圆柱的体积为 2 a 27 b 36 c 54 d 81 8 在平面直角坐标系xoy中 椭圆c的中心为原点 焦点 1 f 2 f在x轴上 离心率为 2 2 过 1 f的直线l交c于a b两点 且 2 abf 的周长为16 那么椭圆c的方程为 a 22 1 168 xy b 22 1 1612 xy c 22 1 84 xy d 22 1 82 xy 9 如图 正方体 abcd a1b1c1d1的棱长为 2 e 是棱 ab 的中点 f 是侧面 aa1d1d 内一点 若 ef 平面 bb1d1d 则 ef 长度的范围为 a 2 3 b 2 5 c 2 6 d 2 7 10 已知双曲线 22 22 1 xy c ab 0 0 ab 的两个焦点分别为 1 f 2 f 以 12 ff为直径的圆交双 曲线c于p q m n四点 且四边形pqmn为正方形 则双曲线c的离心率为 a 2 2 b 22 c 2 2 d 22 11 m 是正方体 1111 abcdabc d 的棱 1 dd的中点 给出下列命题 过 m 点有且只有一条直线与直线ab 11 bc都相交 过 m 点有且只有一条直线与直线ab 11 bc都垂直 过 m 点有且只有一个平面与直线ab 11 bc都相交 过 m 点有且只有一个平面与直线ab 11 bc都平行 其中真命题是 a b c d 12 我们把由半椭圆 22 22 1 0 xy x ab 与半椭圆 22 22 1 0 yx x bc 合成的曲线称作 果圆 其中 222 abc 0abc 如图 设点 012 f f f是相应椭圆的焦点 12 a a和 12 b b是 果圆 与 x y轴的交点 若 012 f ff 是边长为1的等边三角 则 a b的值分别为 a 7 1 2 b 3 1 c 5 3 d 5 4 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 已知椭圆 22 22 1 0 xy mab ab 双曲线 22 22 1 xy n mn 若双曲线 n 的两条渐近线与 椭圆 m 的四个交点及椭圆 m 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点 则椭圆 m 的离心率为 双曲线 n 的离心率为 14 已知四棱锥sabcd 的三视图如图所示 若该四棱锥的各个顶点都在球o的球面上 则 3 球o的表面积等于 15 如图 扇形aob的圆心角为 90 半径为 1 点p是圆弧ab上的动点 作点p关于弦ab 的对称点q 则op oq 的取值范围为 16 如图 在abc 中 已知bac120 其内切圆与ac边相切于点d 延长ba到e 使bebc 连接ce 设以 e c为焦点且经过点a的 椭圆的离心率为 1 e 以 e c为焦点且经过点a的双曲线的离心率为 2 e 则当 12 21 ee 取最大值时 ad dc 的值为 三 解答题三 解答题 解答题写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题本小题满分满分 10 分分 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 且1adpd 平面pcd 平面abcd pdc120 点 e 为线段 pc 的中点 点 f 是线段 ab 上的一个动点 求证 平面def 平面 pbc 设二面角cdef 的平面角为 试判断在线段 ab 上是否存在这样的点 f 使得 tan2 3 若存在 求出 af fb 的值 若不存在 请说明理由 18 本小题 本小题满分满分 12 分 分 设椭圆 2 2 1 2 x cy 的右焦点为f 过f的直线l与c交于 a b两点 点m的坐标为 2 0 1 当l与x轴垂直时 求直线am的方程 2 设o为坐标原点 证明 omaomb 19 本小题 本小题满分满分 12 分 分 如图 直四棱柱 abcd a1b1c1d1的底面是菱形 aa1 4 ab 2 bad 60 e m n 分别是 bc bb1 a1d 的中点 1 证明 mn 平面 c1de 2 求二面角 a ma1 n 的正弦值 15 题图 4 20 本小题 本小题满分满分 12 分 分 如图 已知点 10 f 为抛物线 2 2 0 ypx p 点f为焦点 过点f的直线交抛物线于 a b 两点 点c在抛物线上 使得v abc的重心g在x轴上 直线ac交x轴于点q 且q在点f 右侧 记 afgcqg 的面积为 12 s s 1 求p的值及抛物线的准线方程 2 求 1 2 s s 的最小值及此时点g的坐标 21 本小题 本小题满分满分 12 分 分 如图 四棱锥 p abcd 中 侧面 pad 是边长为 2 的等边三角形且垂直于底abcd o 1 90 2 abbcadbadabc e是pd的中点 1 证明 直线 ce平面pab 2 点m在棱pc上 且直线bm与底面abcd所成角为 o 45 求 二面角mabd 的余弦值 22 本小题 本小题满分满分 12 分 分 双曲线 22 10 0c axbyab 的虚轴长为1 两条渐近线方程为 3yx 1 求双曲线c的方程 2 双曲线c上有两个点de 直线od和oe的斜率之积为1 判别 22 11 oeod 是否为定 值 3 经过点 0 a p tt a 的直线m且与双曲线c有两个交点 m n 直线m的倾斜角是 2 2 33 是否存在直线 00 lxx 其中 0 a x a 使得 m n pmd dpn 恒成立 其中 mn dd分别是点 m n到 0 l的距离 若存在 求出 0 x的值 若不存在 请说明理由 5 六安一中六安一中 2020 届届高三年级自测试卷高三年级自测试卷 理科数学理科数学 三三 参考答案参考答案 题号题号13456789101112 答案答案cbaaacacdca 13 31 214 101 5 15 211 16 1 6 17 见证明 1 2 af fb 解 四边形abcd是正方形 bcdc 平面pcd 平面 abcd平面pcd 平面abcdcd bc 平面pcd de 平面pdc bcde adpddc 点e为线段pc的中点 pcde 又 pccbc de 平面pbc 又 de 平面def 平面def 平面pbc 由 知bc 平面pcd adbc ad 平面pcd 在平面pcd内过d作dgdc 交pc于点g addg 故da dc dg两两垂直 以d为原点 以da dc dg所在直线分别为 x y z轴 建立如图所示空间直角坐标系d xyz 因为1adpd 120pcd 3pc ad 平面pcd 则 0 0 0d 0 1 0c 13 0 22 p 又e为pc的中点 13 0 44 e 假设在线段ab上存在这样的点f 使得tan 2 3 设 1 0 0 fmm 13 0 44 de 1 0dfm 设平面def的法向量为 1 nx y z 则 1 1 0 0 nde ndf 0 13 0 44 xmy yz 令3y 则1 3zxm 则 1 3 3 1nm ad 平面pcd 平面pcd的一个法向量 2 1 0 0n tan 2 3 则 13 cos 13 12 2 3 13 coscos 13 33 1 m n n m 6 0m 解得 1 3 m 1 2 af fb 18 1 am的方程为 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx 2 证明见解析 1 由已知得 1 0f l 的方程为1x 由已知可得 点a的坐标为 2 1 2 或 2 1 2 所以am的方程为 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx 2 当l与x轴重合时 0omaomb o 当l与x轴垂直时 om为ab的垂直平分线 所以omaomb 当l与x轴不重合也不垂直时 设l的方程为 10yk xk 1122 a x yb x y 则 12 2 2xx 直线ma mb的斜率之和为 2 12 1 22 mamb xx yy kk 由 1122 ykkxykxk 得 1212 12 234 22 mamb kx xk xxk kk xx 将 1yk x 代入 2 2 1 2 x y 得 2222 214220kxk xk 所以 2 1 2 21 2 2 2 422 2121 xxx kk k x k 则 333 1212 2 441284 2340 21 kkkkk kx xk xxk k 从而0 mamb kk 故ma mb的倾斜角互补 所以omaomb 综上 omaomb 19 1 见解析 2 10 5 1 连接me 1 bc m e分别为 1 bb bc中点 me 为 1 b bc 的中位线 1 mebc 且 1 1 2 meb c 又n为 1 a d中点 且 11 ad bc 1 ndbc 且 1 1 2 ndbc me nd 四边形mnde为平行四边形 mnde 又mn 平面 1 c de de 平面 1 c de mn 平面 1 c de 2 设acbdo 11111 acb do 由直四棱柱性质可知 1 oo 平面abcd 四边形abcd为菱形 acbd 则以o为原点 可建立如下图所示的空间直角坐标系 则 3 0 0a 0 1 2m 1 3 0 4a d 0 1 0 31 2 22 n 7 取ab中点f 连接df 则0 3 1 22 f 四边形abcd为菱形且 60bad bad 为等边三角形dfab 又 1 aa 平面abcd df 平面abcd 1 dfaa df 平面 11 abb a 即df 平面 1 ama df 为平面 1 ama的一个法向量 且 3 3 0 22 df 设平面 1 man的法向量 nx y z r 又 1 3 1 2ma 33 0 22 mn 1 320 33 0 22 n maxyz n mnxy 令3x 则1y 1z 3 1 1n 315 cos 515 df n df n dfn 10 sin 5 df n 二面角 1 a man 的正弦值为 10 5 20 1 1 1x 2 3 1 2 2 0g 1 由题意可得1 2 p 则2 24pp 抛物线方程为 2 4yx 准线方程为1x 2 设 1122 a x yb xy 设直线 ab 的方程为 1 0yk xk 与抛物线方程 2 4yx 联立可得 2222 240k xkxk 故 2222 2 4 2 1 k xxx x 12121212 4 2 444yyk xxy yxx k 设点 c 的坐标为 33 c x y 由重心坐标公式可得 123 3 g xxx x 3 2 14 2 3 x k 123 3 g yyy y 3 1 4 3 y k 令0 g y 可得 3 4 y k 则 2 3 3 2 4 4 y x k 即 222 1441 2 33 8 2 g k x kk 由斜率公式可得 1313 22 311313 4 44 ac yyyy k yyxxyy 直线 ac 的方程为 33 13 4 yyxx yy 令0y 可得 2 313313 313 3 4444 q yyyyyyyy y xx 8 故 11 1 1 22 181 21 323 118 223 gf y sxxyy kk 且 3 2 2 13 3 118 224 2 3 qg yy y sxxy k 由于 3 4 y k 代入上式可得 1 2 2 228 33 y s kkk 由 1212 4 4yyy y k 可得 1 1 44 y yk 则 1 2 1 4 4 y k y 则 22 11 1 22 1 2 11 1 2 2 81 233 22 228 44 33 yy s ys yy kkk y k 2 1 2 1 4 2 48 816 8 y y 2 1 2 1 43 21 248 2816 8 y y 当且仅当 2 1 2 1 48 8 8 y y 即 2 1 84 3y 1 62y 时等号成立 此时 1 2 1 4 2 4 y k y 2 81 22 3 g x k 则点 g 的坐标为 2 0g 21 1 见解析 2 10 5 试题解析 1 取pa中点f 连结ef bf 因为e为pd的中点 所以 efad 1 2 efad 由 90badabc 得 bcad 又 1 2 bcad 所以 四边形bcef为平行四边形 cebf 又 bfpab 平面 cepab 平面 故 cepab平面 2 由已知得baad 以 a 为坐标原点 ab 的方向为 x 轴正方 向 ab 为单位长 建立如图所示的空间直角坐标系 a xyz 则 则 0 0 0a 1 0 0b 1 1 0c 0 13p 103pc 10 0ab 则 1 13bmxyzpmxyz 因为 bm 与底面 abcd 所成的角为 45 而 0 01n 是底面 abcd 的法向量 所以 0 cossin45bm n 2 22 z2 2 1xyz 即 x 1 y z 0 又 m 在棱