四川省宜宾市第四中学校2020届高三数学上学期期末考试试题 文

1 四川省宜宾市第四中学校四川省宜宾市第四中学校 20202020 届高三数学上学期期末考试试题届高三数学上学期期末考试试题 文文 第第 i i 卷卷 选择题选择题 共共 6060 分 分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每在每个小题所给出的四个选项中 个小题所给出的四个选项中 只只 有一项是符合题目要求的 把正确选项的代号填在答题卡的指定位置有一项是符合题目要求的 把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 1 已知全集 则为 2 0 1 2 3 2 uabx xx z ab a b c d 1 3 0 2 0 1 3 2 2 为虚数单位 若为实数 则实数 iar ai zi ai a a 1b c 1d 2 1 2 3 甲 乙两名篮球运动员在 10 场比赛中得分的茎叶图如图所示 则 是 甲运 9x 动员得分平均数大于乙运动员得分平均数 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 4 已知等比数列中 公比 则等于 n a 1 32a 1 2 q 6 a a b c d 1 1 2 1 1 2 5 函数的图象大致是 2 3 ln f xxx a b c d 6 某几何体的三视图如图 虚线刻画的小正方形边长为 1 所示 则这个几何体的体积为 2 a b 4 9 3 28 c d 123 8 7 在边长为 的正方形中 为的中点 点在线段 1abcdmbceab 上运动 则的取值范围是 ec em a b c d 1 2 2 3 0 2 1 3 2 2 0 1 8 设g x 的图象是由函数f x cos2x的图象向左平移个单位得到的 则g 等于 3 6 a 1b c 0d 1 1 2 9 在普通高中新课程改革中 某地实施 3 1 2 选课方案 该方案中 2 指的是从政治 地理 化学 生物 4 门学科中任选 2 门 假设每门学科被选中的可能性相等 那么政治和 地里至少有一门被选中的概率是 a b c d 1 6 1 2 2 3 5 6 10 在中 则在方向上的 abc abacabac 4ab 3ac bc ca 投影是 a 4b 3c 4d 3 11 已知 a 0 x y 满足约束条件 若 z 2x y 的最小值为 1 则 1 3 3 x xy ya x a a b c 1d 2 4 1 2 1 12 若曲线在点处的切线方程为 且点在直线 32 22yxx a 46yx a 其中 上 则的最小值为 10mxny 0m 0n 12 mn a b c d 4 232 2 64 2 8 2 3 第第 卷 非选择题共卷 非选择题共 9090 分 分 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 分 13 已知向量 若 则 1 1a 3 bm aab a m 14 已知函数 则的值域为 2 2 14cos4sin 43 f xxx x f x 15 已知是定义在上的奇函数 对于任意且 都有 f x r 12 0 x x 12 xx 成立 且 则不等式的解集为 12 12 0 f xf x xx 30f 0f x 16 在三棱锥中 平面平面 是边长为的等边三角形 其中 p abc pababc abc2 3 则该三棱锥外接球的表面积为 pa pb 7 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 1717 2121 题为必考题为必考 题 每个试题考生都必须作答 第题 每个试题考生都必须作答 第 2222 2323 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 17 12 分 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制 已知所 有这些学生的原始成绩均分布在内 发布成绩使用等级制 各等级划分标准见下 50 100 表 规定 三级为合格等级 d 为不合格等级 为了解该校高一年级学生身体素质情况 a b c 从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计 按照 n 的分组作出频率分布直方图如图 1 所示 样 50 6060 7070 8080 9090 100 本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示 4 i 求和频率分布直方图中的的值 并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概 n x y 率 ii 在选取的样本中 从两个等级的学生中随机抽取 2 名学生进行调研 求至少有 a d 一名学生是等级的概率 a 18 12 分 在锐角中 角的对边分别为 abc a b c a b c sinsin tan coscos bc a bc i 求角的大小 a ii 若 求的取值范围 3a 22 bc 19 12 分 如图 在三棱锥中 是等边三角形 abcd abca 点p是ac的中点 连接bp dp 90badbcd i 证明 平面平面bdp acd ii 若 求三棱锥的体积 6bd 3 cos 3 bpd abcd 20 12 分 已知椭圆的两个焦点分别为 长轴长为 c 12 1 0 1 0ff 2 3 求椭圆的标准方程及离心率 c 过点的直线 与椭圆交于 两点 若点满足 0 1 lca bm0mambmo 求证 由点 构成的曲线关于直线对称 ml 1 3 y 5 21 12 分 已知函数 2 ln 1 2 a f xxxax ar 当时 求函数的极值 0a f x 若函数有两个零点 求的取值范围 并证明 f x 12 x x a12 2xx 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分 请考生在第分 请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第如果多做 则按所做的第 一题计分一题计分 22 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 圆 c 的参数方程为 其中为参数 以坐标原点 xoy 1 cos sin x y a 为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ox 求圆的极坐标方程 c 为圆上一点 且点的极坐标为 射线绕点逆 bcb 000 2 6 obo 时针旋转 得射线 其中也在圆上 求的最大值 3 oaac oaob 23 10 分 已知函数 12f xxxm mr 当时 解不等式 3m 2f x 若存在满足 求实数的取值范围 0 x 00 13xf x m 6 7 2019 20202019 2020 学年秋四川省宜宾市第四中学高三期末考试学年秋四川省宜宾市第四中学高三期末考试 文科数学试题参考答案文科数学试题参考答案 1 b2 c3 a4 c5 a6 d7 c8 d9 d10 d 11 b12 c 13 14 15 16 3 4 5 3 03 65 4 17 i 由题意可知 样本容量 62 50 0 004 0 012 1050 10 nx 1 0 040 1 0 120 56 0 018 10 y 因为成绩是合格等级人数为 人 抽取的 50 人中成绩是合格等级的频 1 0 15045 率为 依据样本估计总体的思想 所以 该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为 9 10 9 10 ii 由茎叶图知 等级的学生共有 3 人 等级学生共有人 记等级 ad0 1 505 a 的学生为 123 a a a 等级学生为 则从 8 名学生中随机抽取 2 名学生的所有情况为 d 12345 d d d d d 121311 a a a a ad 1213141523212223242531323334351213 adad adad a a a d a da d a da d a d a da d a da d d d d d 共 28 个基本事件 1415232425343545 d d d d d d d d d d d d d d d d 记 至少有一名学生是等级 事件为 则事件的可能结果为 aaa 1213 d d d d 14152324 d d d d d d d d 共 10 种 25343545 d d d d d d d d 因此 109 11 2814 p ap a 8 18 1 由 sina cosa sinbsinc cosbcosc 得 sinacosb sinacosc cosasinb cosasinc 即 sin a b sin c a 则 a b c a 即 2a c b 即 a 3 2 当 a 时 b c c b 由题意得 3 2 3 2 3 2 2 0 32 b b b 由 2 得 b 2sinb c 2sinc 6 2 abc sinasinbsinc b2 c2 4 sin2b sin2c 4 2sin 2b 6 b sin 2b 1 1 2sin 2b 2 6 2 1 26 6 5 b2 c2 6 故的取值范围是 22 bc 5 6 19 证明 如图所示 1 因为是等边三角形 abca90badbcd 所以 可得 rt abdart bcdaadcd 又因为点p是ac的中点 则 pdac pbac 又 平面pbd 平面pbd pdpbp pd pb 9 所以平面平面bdp acd 设 在中 则 2 aba rt abda6bd 222 6adbdaba 在等边中 abca 33 22 bpaba 在等腰中 acda 22222 15 6 6 24 dpadapaaa 在中 由 得 bpda 3 cos 3 bpd 6 sin 3 bpd 由余弦定理得 222 2cosbdbpdpbpbpd 即 解得 222 35353 6626 44243 aaaa 2a 所以的面积为 bpda 12 sin 22 sbp dpbpd 所以三棱锥的体积为 abcd 1122 2 3323 bpd vac s a 20 由已知 得 所以 3 1ac 13 33 c e a 又 所以 222 abc 2b 所以椭圆的标准方程为 离心率 c 22 1 32 xy 3 3 e 设 11 a x y 22 b xy mm m xy 直线 与轴垂直时 点的坐标分别为 lx a b 0 2 0 2 因为 0 2 mm maxy 0 2 mm mbxy 0 0 mm moxy 所以 3 30 mm mambmcxy uuu ruuu ruuu rr 所以 即点与原点重合 0 0 mm xy m 当直线 与轴不垂直时 设直线 的方程为 lxl 1ykx 10 由 得 22 1 32 1 xy ykx 22 32630kxkx 222 3612 3272240kkk 所以 12 2 6 32 k xx k 则 12 2 4 0 32 yy k 因为 11 mm maxxyy 22 mm mbxxyy mm moxy 所以 1212 03 030 mm mambmoxxxyyy uuu ruuu ruuu rr 所以 12 3 m xxx 12 3 m yyy 2 2 32 m k x k 2 4 3 0 32 m y k 消去得 k 22 23200 mmmm xyyy 综上 点构成的曲线的方程为 ml 22 2320 xyy 对于曲线的任意一点 它关于直线的对称点为 l m x y 1 3 y 2 3 mxy 把的坐标代入曲线的方程的左端 2 3 mxy l 2 22222 2244 23224322320 3333 xyyxyyyxyy 所以点也在曲线上 所以由点构成的曲线关于直线对称 m lml 1 3 y 21 1 由得 2 ln1 2 a f xxxax 111 1 xax fxaxa xx 当时 若 若 0a 10ax 01 0 xfx 1 xfx 0 故当时 在处取得的极大值 函数无极小值 0a f x 1x 11 2 a f f x 2 当时 由 1 知在处取得极大值 且当趋向于时 0a f x 1x 11 2 a f x0 11 趋向于负无穷大 又有两个零点 则 f x 2ln220 ff x 110 2 a f 解得 2a 当时 若 若 若 10a 01 0 xfx 1 1 0 xfx a 1 0 xfx a 则在处取得极大值 在处取得极小值 由于 则 f x 1x 1 x a 10 2 a f x 仅有一个零点 f x 当时 则仅有一个零点 1a 2 1 0 x fx x f x 当时 若 若 若 1a 1 0 0 xfx a 1 1 0 xfx a 1 0 xfx 则在处取得极小值 在处取得极大值 由于 f x 1x 1 x a 则仅有一个零点 11 ln10 2 fa aa f x 综上 有两个零点时 的取值范围是 f x a 2 两零点分别在区间和内 不妨设 0 1 1 12 01 1xx 欲证 需证明 12 2xx 21 2xx 又由 1 知在单调递减 故只需证明即可 f x 1 12 20fxf x 2 2 1111111 2ln 2212ln 212 22 aa fxxxaxxxax 又 2 1111 ln10 2 a f xxxax 所以 1111 2ln 2ln22fxxxx 令 则 ln 2ln22 01 h xxxxx 2 2111 20 22 x h x xxx x 则在上单调递减 所以 即 h x 0 1 10h xh 1 20fx 12 所以 12 2xx 22 解 1 1 cos sin x y 2222 1 120 xyxyx 由可得圆的极坐标方程 222 c