北京市海淀区2020届高三数学上学期期末考试试题

1 北京市海淀区北京市海淀区 20202020 届高三数学上学期期末考试试题届高三数学上学期期末考试试题 本试卷共 4 页 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题纸上 在试卷上 作答无效 考试结束后 将本试卷和答题纸一并交回 第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 已知集合 则集合是 1 2 3 4 5 6u 1 3 5a 2 3 4b u ab a 1 3 5 6 b 1 3 5 c 1 3 d 1 5 2 抛物线的焦点坐标为 2 4yx a 0 1 b 1 0 c 0 1 d 1 0 3 下列直线与圆相切的是 22 1 1 2xy a yx b yx c 2yx d 2yx 4 已知 且 则 a br ab a 11 ab c 11 33 ab 5 在的展开式中 的系数为 5 1 x x 3 x a 5 b 5 c 10 d 10 6 已知平面向量满足 且 则的值为 a b c 0abc 1 abc a b a 1 2 b 1 2 c 3 2 d 3 2 7 已知 是三个不同的平面 且 则 是 m n mn 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 8 已知等边 边长为 3 点d在bc边上 且 下列结论中错abcbdcd 7ad 误的是 2 a 2 bd cd b 2 abd acd s s c cos 2 cos bad cad d sin 2 sin bad cad 9 声音的等级 单位 db 与声音强度 单位 满足 f xx 2 w m 喷气式飞机起飞时 声音的等级约为 140db 一般说话时 声音 12 10 lg 1 10 x f x 的等级约为 60db 那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 a 倍 6 10 b 倍 8 10 c 倍 10 10 d 倍 12 10 10 若点为点在平面上的正投影 则记 nma nfm a 如图 在棱长为 1 的正方体中 记平面 1111 abcdabc d 为 平面为 点是棱上一动点 11 abc dbabcdgp 1 cc 与 不重合 c 1 c 1 qffp gb 2 qffp bg 给出下列三个结论 线段长度的取值范围是 2 pq 12 22 存在点使得 平面 p 1 pqb 存在点使得 p 12 pqpq 其中 所有正确结论的序号是 a b c d 第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 11 在等差数列中 则 n a 2 5a 5 2a 7 a 12 若复数 则 1i i z z 13 已知点a 点 分别为双曲线 的左 右顶点 若 0 3 bc 22 2 1 3 xy a 0 a abc为正三角形 则该双曲线的离心率为 14 已知函数在区间上存在最小值 则实数的取值范围是 a f xx x 1 4 a 15 用 五点法 作函数的图象时 列表如下 sin f xax 1 a 1 b 1 c 1 d ab c d p 3 则 1 f 1 0 2 ff 16 已知曲线c 为常数 4422 1xymx y m i 给出下列结论 曲线c为中心对称图形 曲线c为轴对称图形 当时 若点在曲线上 则或 1m p x yc 1x 1y 其中 所有正确结论的序号是 ii 当时 若曲线所围成的区域的面积小于 则的值可以是 2m c m 写出一个即可 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题共 13 分 已知函数 2 1 cos3sincos 2 f xxxx 求函数的单调递增区间 f x 若在区间上的最大值为 求的最小值 f x 0 m 1 m 18 本小题共 13 分 如图 在三棱锥中 平面平面 vabc vac abc 和 均是等腰直角三角形 abcvacabbc 2accv 分别为 的中点 mnvavb 求证 平面 ab cmn 求证 abvc 求直线与平面所成角的正弦值 vbcmn 19 本小题共 13 分 某市 城市总体规划 2016 2035 年 提出到 2035 年实现 15 分钟社区生活 圈 全覆盖的目标 从教育与文化 医疗与养老 交通与购物 休闲与健身 4 个方面 x 1 4 1 2 5 4 2 11 4 x 0 2 3 2 2 f x 0 2 0 2 0 n m v c b a 4 构建 15 分钟社区生活圈 指标体系 并依据 15 分钟社区生活圈 指数高低将小 区划分为 优质小区 指数为 0 6 1 良好小区 指数为 0 4 0 6 中等小区 指数为 0 2 0 4 以及待改进小区 指数为 0 0 2 4 个等级 下面是三个小区 4 个方面指标的调查数据 小区 指标值 权重 a 小区b 小区c 小区 教育与文化 0 20 0 70 90 1 医疗与养老 0 20 0 70 60 3 交通与购物 0 32 0 50 70 2 休闲与健身 0 28 0 50 60 1 注 每个小区 15 分钟社区生活圈 指数 其中 1 1223344 twtw twtw t 为该小区四个方面的权重 为该小区四个方面的指标值 小区 1234 w w w w 1234 t t t t 每一个方面的指标值为 0 1 之间的一个数值 现有 100 个小区的 15 分钟社区生活圈 指数数据 整理得到如下频数分布表 分组 0 0 2 0 2 0 4 0 4 0 6 0 6 0 8 0 8 1 频数 1020303010 分别判断 a b c 三个小区是否是优质小区 并说明理由 对这 100 个小区按照优质小区 良好小区 中等小区和待改进小区进行分层抽样 抽取 10 个小区进行调查 若在抽取的 10 个小区中再随机地选取 2 个小区做深入 调查 记这 2 个小区中为优质小区的个数为 求 的分布列及数学期望 20 本小题共 14 分 已知椭圆的右顶点 且离心率为 22 22 1 xy c ab 0 ab 2 0a 3 2 求椭圆的方程 c 设为原点 过点的直线 与椭圆交于两点 直线和分别与oolcpqapaq 直线交于点 求 与 面积之和的最小值 4x mnapqamn 5 21 本小题共 13 分 已知函数 2 e 1 0 x f xaxa 求曲线在点处的切线方程 yf x 0 0 f 若函数有极小值 求证 的极小值小于 f x f x1 22 本小题共 14 分 给定整数 数列每项均为整数 在中去掉一项 2 n n 211221 nn ax xx 21n a 并将剩下的数分成个数相同的两组 其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大 k x 值记为 将中的最小值称为数列的特征值 k m 1 2 21 kn 1221 n m mm 21n a 已知数列 写出的值及的特征值 5 1 2 3 3 3 a 123 m m m 5 a 若 当 其中且 1221n xxx 1 1 0injn 1 2 21 i jn 时 判断与的大小关系 并说明理由 ij ij mm ij xx 已知数列的特征值为 求的最小值 21n a 1n 121 ij ijn xx 6 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数数 学学 2020 012020 01 阅卷须知阅卷须知 1 评分参考中所注分数 表示考生正确做到此步应得的累加分数 2 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分分 题号 12345678910 答案 dbacaabcbd 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 题号 111213141516 答案 022 1 16 2 0 均可2m 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 解 1cos231 sin2 222 x f xx 31 sin2cos2 22 xx sin 2 6 x 因为的单调递增区间为 sinyx 2 2 22 kkk z 令 22 2 622 xkkk z 得 36 xkkk z 所以的单调递增区间为 f x 36 kkk z 方法 1 因为 0 xm 所以 2 2 666 xm 7 又因为 的最大值为 1 0 xm f x sin 2 6 x 所以 2 62 m 解得 6 m 所以的最小值为 m 6 方法 2 由 知 当且仅当时 取得最大值 1 6 x kk z f x 因为在区间上的最大值为 f x 0 m 1 所以 6 m 所以的最小值为 m 6 18 解 在 中 m n分别为va vb的中点 vab 所以为中位线 mn 所以 mnab 又因为平面 平面 ab cmnmn cmn 所以平面 ab cmn 在等腰直角三角形 中 vacaccv 所以 vcac 因为平面平面 平面平vac abcvac 面 平面 abcac vc vac 所以平面 vc abc 又因为平面 ab abc 所以 abvc 在平面abc内过点c做 垂直于ac ch 由 知 平面 vc abc 因为平面 ch abc 所以 vcch a b c v m n h y x z 8 如图 以为原点建立空间直角坐标系 c cxyz 则 0 0 0 c 0 0 2 v 1 1 0 b 1 0 1 m 1 1 1 2 2 n 1 1 2 vb 1 0 1 cm 1 1 1 2 2 cn 设平面的法向量为 cmn x y z n 则 0 0 cm cn n n 即 0 11 0 22 xz xyz 令则 1x 1y 1z 所以 1 1 1 n 直线与平面所成角大小为 vbcmn 2 2 sin cos 3 vb vb vb n n n 所以直线与平面所成角的正弦值为 vbcmn 2 2 3 19 解 方法 1 a 小区的指数 0 7 0 20 7 0 20 5 0 320 5 0 280 58t 所以 a 小区不是优质小区 0 580 60 b 小区的指数 0 9 0 20 6 0 20 7 0 320 6 0 280 692t 所以 b 小区是优质小区 0 6920 60 c 小区的指数 0 1 0 20 3 0 20 2 0 320 1 0 280 172t 所以 c 小区不是优质小区 0 1720 60 方法 2 a 小区的指数 0 7 0 20 7 0 20 5 0 320 5 0 280 58t 所以 a 小区不是优质小区 0 580 60 b 小区的指数 0 9 0 20 6 0 20 7 0 320 6 0 28t 0 6 0 20 6 0 20 6 0 320 6 0 280 6 9 b 小区是优质小区 c 小区的指数 0 1 0 20 3 0 20 2 0 320 1 0 28t 0 6 0 20 6 0 20 6 0 320 6 0 280 6 c 小区不是优质小区 在对 a b c 小区做说明时必须出现与 0 6 比较的说明 每一项中结论 1 分 计算和说明理由 1 分 依题意 抽取 10 个小区中 共有优质小区个 其它小区 30 10 104 100 个 1046 依题意 的所有可能取值为 0 1 2 2 6 2 10 c151 0 c453 p 11 46 2 10 c c248 1 c4515 p 2 4 2 10 c62 2 c4515 p 则的分布列为 0 12 p 1 3 8 15 2 15 1824 012 315155 e 20 解 解 依题意 得 222 0 2 3 2 ab a c a cab 解得 2 1 a b 所以椭圆c的方程为 2 2 1 4 x y 设点 依题意 点坐标为 00 q xyp 00 xy 10 满足 且 2 2 0 0 1 4 x y 0 22x 0 0y 直线的方程为 qa 0 0 2 2 y yx x 令 得 即 4x 0 0 2 2 y y x 0 0 2 4 2 y n x 直线的方程为 同理可得 pa 0 0 2 2 y yx x 0 0 2 4 2 y m x 设为与轴的交点 b4x x 11 22 apqamnpqmn ssoayyabyy 00 0 00 2211 2 2 2 2222 yy y xx 00 00 11 2 2 22 yy xx 00 2 0 4 2 2 4 yy x 又因为 22 00 44xy 0 0y 所以 00 2 0 1 2 2 apqamn ssyy y 0 0 2 2 4 y y 当且仅当取等号 所以的最小值为 0 1y apqamn ss 4 21 解 由已知得 2 e 21 x fxaxax 因为 0 1f 0 1f 所以直线 的方程为 l1yx i 当时 01a 2 210axax 4 1 0a a 记是方程的两个根 不妨设 12 x x 12 xx 则 12 12 20 1 0 xx x x a 所以 12 0 xx 此时 随的变化如下 fx f xx x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 极大值 极小值 所以的极小值为 f x 2 f x 又因为在单调递增 f x 2 0 x 所以 2 0 1f xf 所以的极小值为小于 f x1 22 解 由题知 1 33 23 1m 2 33 3 1 2m 3 3m 的特征值为 1 5 a ij mm ij xx 理由如下 由于 可分下列两种情况讨论 1 1 0injn 当时 1 1 2 1 i jn 12 根据定义可知 212211 innnnni mxxxxxxx 212211 nnnnni xxxxxxx 同理可得 212211 jnnnnnj mxxxxxxx 所以 ijij mmxx 所以 ijij mmxx 当时 同理可得 2 1 2 21 i jnnn 1 212111 innninn mxxxxxxx 212111 nnnnni xxxxxxx 212111 j