初中数学 数学名师 哈密顿

1 哈密顿哈密顿 哈密顿 w r hamilton william rowan 1805 年 8 月 4 日生于爱尔兰都柏林 1865 年 9 月 2 日卒于都柏林 力学 数学 光学 哈密顿的父亲阿其巴德 archibald rowan hamilton 为都柏林市的一个初级律师 哈 密顿自幼聪明 被称为神童 他三岁能读英语 会算木 五岁能译拉丁语 希腊语和希伯 来语 并能背诵荷马史诗 九岁便熟悉了波斯语 阿拉伯语和印地语 14 岁时 因在都柏 林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头 哈密顿自幼喜欢算术 计算很快 1818 年遇到美国 计算神童 z 科耳本 colburn 后对数学产生了更深厚的兴趣 1820 年再相逢时 哈密顿已阅读了 i 牛顿 newton 的 自然哲学的数学原理 mathematical principles of natural philosophy 并对天文 学有强烈爱好 常用自己的望远镜观测大体 还开始读 p s 拉普拉斯 laplace 著作 天体力学 m canique c 1este 1822 年指出了此书中的一个错误 同年开始进行科 学研究工作 对曲线和曲面的性质进行了系列研究 并用于几何光学 他的报告送交爱尔 兰科学院后 r j 布林克莱 brinkley 院士评论说 这位年轻人现在是这个年龄 17 岁 的第一数学家 1823 年 7 月 7 日 哈密顿以入学考试第一名的成绩进入著名的三一学院 得到正规的 大学训练 后因成绩优异而多次获得学院的古典文学和科学的最高荣誉奖 他在 1823 到 1824 年间完成了多篇有关几何学和光学的论文 其中在 1924 年 12 月送交爱尔兰皇家科学 院会议的有关焦散曲线 caustics 的论文 引起科学界的重视 1827 年 6 月 10 日 年仅 22 岁的哈密顿被任命为敦辛克天文台的皇家天文研究员和三 一学院的天文学教授 哈密顿有兄弟姐妹八人 家庭负担很重 为减轻父亲经济压力 他毕业后带着三个妹 妹住到敦辛克天文台 哈密顿不擅长天文观测 在天文台工作的五年中 仍主要从事理论 研究 但因与外界很少联系 工作成果并未引起重视 1832 年 哈密顿成为爱尔兰皇家科学院院士后非常活跃 与学术界人士广泛交流讨论 包括一些诗人和哲学家 他从 s t 科勒里奇 coleridge 的作品中了解到 i 康德 kant 的哲学 热情地读完康德主要著作 纯理性批判 kritik der reinen vernunft 康德 哲学观点对哈密顿后期的工作有很大影响 1834 年 哈密顿发表了历史性论文 一种动力学的普遍方法 on a general method in dynamics 成为动力学发展过程中的新里程碑 文中的观点主要是从光学研究中抽象 出来的 在对复数长期研究的基础上 哈密顿在 1843 年正式提出了四元数 quaternion 这是 代数学中一项重要成果 由于哈密顿的学术成就和声望 1835 年在都柏林召开的不列颠科学进步协会上被选为 主席 同年被授予爵士头衔 1836 年 皇家学会因他在光学上的成就而授予皇家奖 章 1837 年 哈密顿被任命为爱尔兰皇家科学院院长 直到 1845 年 1863 年 新成立的 美国科学院任命哈密顿为 14 个国外院士之一 哈密顿的家庭生活是不幸福的 早在 1823 年 他爱上了一位同学的姐姐卡塞琳 狄斯 尼 catherine disney 但遭到她的拒绝 哈密顿却终身不能忘情 在恋爱生活中一再碰 壁之后 他于 1833 年草率地同海伦 贝利 helen bayly 结婚 虽然生育二子一女 终因感 情不合而长期分居 哈密顿经常不能正规用餐 而是边吃边工作 他去世后 在他的论文 手稿中找到不少肉骨头和吃剩的三明治等残物 哈密顿工作勤奋 思想活跃 发表的论文一般都很简洁 别人不易读懂 但手稿却很 2 详细 因而很多成果都由后人整理而得 仅在三一学院图书馆中的哈密顿手稿 就有 250 本笔记及大量学术通信和未发表论文 爱尔兰国家图书馆还有一部分手稿 他的研究工作涉及不少领域 成果最大的是光学 力学和四元数 他研究的光学是几 何光学 具有数学性质 力学则是列出动力学方程及求解 因此哈密顿主要是数学家 但 在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献 1 经典力学的新里程碑 经典力学自牛顿创立 1687 以后 到 j l 拉格朗日 lagrange 建立 分析力学 1788 之前 称为牛顿力学 1788 年以后称拉格朗日力学 1834 年 哈密顿的著名论文 一种动力学的普遍方法 发表后 又称为哈密顿力学 它是力学发展中的新里程碑 在 现代力学和物理学中有广泛应用 哈密顿的贡献主要有下列三个内容 1 哈密顿原理 哈密顿在 1824 1832 年间对几何光学的系列研究基础上 认为可找到 一种普遍原理 他认真研究了 l 欧拉 euler 和拉格朗日的最小作用原理 用拉格朗日函 数 l t v 1 建立了等式 其中 t v 为所讨论的力学系统总动能和势能 势能 v 不仅为广义坐标 qi 的函数 还 依赖广义速度 qi dqi dt 和时间 t 当 v 只依赖于广义坐标时 s 就可化为拉格朗日原理 中的作用 另外 哈密顿认为力学系统的实际运动不一定使作用 s 为最小 故哈密顿提出 的原理叫做稳定作用原理 由 s 的一阶变分为 0 可导出力学系统的运动方程 虽然方程 中的函数有改变 但仍称为拉格朗日运动方程 2 哈密顿正则方程组 从哈密顿原理求出的运动方程 3 是二阶常微分方程组 1835 年 哈密顿利用广义动量 作为另一组变量 并引入一个新的函数 h 是 pi qi t 的函数 用 h 可把运动方程 3 式化为一阶方程组 这样的方程组后来被称为哈密顿正则方程组 函数 h 则称为哈密顿函数 pi qi 称正 则共轭变量 哈密顿在提出正则方程组 5 时指出 可选择适当的变换 使变换后的新变量仍为正则 共轭变量 但新哈密顿函数可能少包含某些新坐标 循环坐标 每增加一个循环坐标 运动方程可降低二阶 由此可作为正则方程组的一种原则解法 这种使运动方程保持正则 方程组形式的变换 称为正则变换 后来有很大发展 并有广泛应用 3 哈密顿 雅可比方法 哈密顿结合作用和正则方程组的定义 引入辅助函数 w 对于满足正则方程组 5 式的解 qi pi 有 由此可把 w 表示为广义坐标 qi 和 n 个任意常数 ai 以及时间 t 的函数 而且满足关系 8 式实际上是函数 w w qi i t 对自变量 qi t 的一个偏微分方程 这样就把正 则方程组 2 式的解与偏微分方程 8 式的解联系起来了 后来经过 c g j 雅可比 jacobi 在 1837 1842 年的系列研究 利用正则变换使新 3 哈密顿函数等于 0 也得到偏微分方程 8 而且证明 对 8 式的任意一个完全解 即解出 的函数 w 包含全部 n 个广义坐标 qi n 个独立积分常数 ai 和时间 t w w qi i t 9 由相应关系 解出的 pi pi i i t qi qi i i t 11 就是原正则方程组 2 式的通解 其中 i 为另外 n 个独立积分常数 这就给出了正则方程组的另一种原则解法 叫做哈密顿 雅可比方法 偏微分方程 8 就称为哈密顿一雅 比方程 积分常数 ai i 称为正则常数 这些成果不仅推动力学的发 展 也在变分法和微分方程的发展中有重要作用 哈密顿的力学贡献很快在天体力学中广泛应用 用哈密顿正则方程组和正则变换建立 天体运动方程及相应解法 促使天体力学在 19 世纪后期形成了发展高潮 但在 19 世纪的数学界 对哈密顿力学有争议 例如著名数学家 f 克莱因 klein 就 说过 哈密顿的结果很漂亮 但没有用 以后的情况否定了这种看法 20 世纪以来 在现代物理学各分支 如波动力学 量子力学 相对论 原子物理学的 建立过程中 哈密顿力学都起了重要作用 量子力学 理学的基石 50 年代以后 一批数 学和力学家们用现代数学提高了哈密顿力学的深度 其中代表作是苏联著名力学家 b 阿诺德 apho 所著的 经典力学的数学方法 mathe matical methods of classical mechanics 1974 年出俄文版 1978 年出英译本 该书在辛流形 symplectic manifold 上建立哈密顿力学 使哈密顿力学现代化 人们还发现 哈密顿正则方程组在计算方法上有特殊优点 只要适当建立相应的数值 积分方法 可使误差积累很慢 适用于计算步数很大的课题 中国计算数学家冯康等建立 的辛积分法 符合哈密顿方程组的特点 计算效果很好 受到国际上的重视 2 四元数的创立者 哈密顿研究四元数花的时间最多 前后约 30 年 早在 1827 年 他就开始研究复数性 质 到 1837 年正式提出复数 不是 a 与 bi 的和 而是实数 a b 的有序偶 a b 只要明确有序偶的运算规则 就 可不用 i 而建立全部复数理论 由此诞生复数代数 复数可以表示平面上的向量 但实用向量应是三维的 是否有 三维复数 1830 年 后 不少著名数学家如 c f 高斯 gauss 等都在探求 哈密顿在弄清复数之后 仍按实 数性质探求这种具有三个分量的 复数 他终于成功了 可是所得的新数只能是四个分量 而且不符合乘法交换律 哈密顿在 1843 年把所得的新数命名为四元数 它的一般形式为 p a bi cj dk 12 其中 a b c d 是实数 a 称为四元数的数量部分 另三项是向量部分 i j k 称 定性单元 类似于三维坐标轴方向的单位向量 b c d 为某点在三维坐标系中的坐标 即四元数的向量分量 研究成果载于他的 四元数讲义 lectures on quaternion 1853 哈密顿定义四元数的和差即为数量部分及各向量分量的和差 四元数的乘积中 各分 量相乘仍用实数乘法规则 但定义 这样 四元数的乘法不符合交换律 但符合结合律 哈密顿还引进了四元数 p 的逆 4 p 1 a bi cj dk n p 14 而 n p a2 b2 c2 d2 15 称为四元数 p 的模 另外 哈密顿还提出了以后通用的微分算子 对于任一函数 u x y z 有 哈密顿创立四元数后非常高兴 自认为与微积分一样重要 会成为数学和物理学中的 一种关键工具 虽然这种估计有点过分 但四元数的创立 对后来代数学的发展确有重大 作用 因为人们可以脱离实数和复数的传统规则 根据需要自由地创造各种数系 建立相 应的代数学 不久后发展起来的向量代数和线性结合代数 linear associative algebra 都受到四元数的直接推动 3 几何光学的重要贡献 哈密顿的第一个研究课题就是几何光学 早在进大学前就开始了 所花的时间仅次于 四元数 他的主要贡献是用数学分析方法来研究几何光学 并把所得结果推广到动力学 从而提出哈密顿原理 大多数结果载于 1827 年发表的论文 光束理论 theoryof systems of rays 及后来的补充中 具体贡献如下 1 等作用曲面 点光源射出的光束经曲面镜反射或折射后 存在与光线正交的曲面 族 哈密顿证明多次反射或折射后同样存在这种曲面族 在证明过程中 用到他本人发展 了的最小作用原理 认为起点在垂直于光线的曲面上变化 经多次反射或折射后 相应的 终点定出了垂直于光线的一个曲面 哈密顿称这些曲面为等作用面 把光当作微粒或波时 结论都相同 这就把几何光学与力学中最小作用原理联系起来 哈密顿后来称这种原理为 变作用原理 prnciple of varying action 2 特征函数 根据多次反射 或折射 后的光束与一曲面族正交 将坐标为 x y z 的 光线方向余弦记为 它们应为 x y z 的函数 哈密顿认为 方向余弦必须是 某函数的梯度 即存在函数 v v x y z 有 因此 v 应满足偏微分方程 哈密顿称此方程的解 v x y z 为特征函数 显然 若在均匀各向同性介质中 v 代 表光源到 x y z 处的光线长度 则是一个解 哈密顿宣称 特征函数包含了几何光学 的全部 在 1832 年发表的 光束理论 第三个补充中 哈密顿把特征函数推广到能用于初始点 变化 以及不均匀和各向异性介质的情况 这样 利用特征函数可把光学系统表示为初始 和最终光线有关变量的函数 用最小作用原理可定出两固定点之间的光程 于是特征函数 就把光学长度表示为变初始点和终端点的函数 哈密顿还把特征函数用于其他领域 取得 下列重要结果 哈密顿在第三个补充中 用特征函数研究 a f 菲涅耳 fresnel 的光波曲面后发 现 在双轴晶体情况 存在四个劈锥状尖点 他由此预言 单光线以适当方向射入双轴晶 体后 在晶体内折射成一个锥面 射出晶体后成为一个窄柱面 光线聚焦成一锥面射入双 轴晶体后 在晶体内与单光线一样 射出晶体后成为一个窄锥面 这个预言在 1832 年底 由三一学院的 h 洛依德 lloyd 用实验证实 光线作为粒子运动时 与质点的力学运动相似 哈密顿从 1833 年起 用特征函数研 5 究动力学课题 最初把特征函数作为一质点从初始点到终端点运动过程的作用 后来才推 广到 n 个质点系统的情况 从最小作用原理到变作用原理 终于形成了著名的哈密顿原 理 相应的特征函数 v 具体表示为 v th s 18 其中