安徽省颍上三校联考2020届高三数学上学期第一次月考试题 理

1 安徽省颍上三校联考安徽省颍上三校联考 20202020 届高三数学上学期第一次月考试题届高三数学上学期第一次月考试题 理理 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 1 2 1 0 1 2 xxba ba a b c d 1 0 1 0 1 1 1 2 1 0 2 设 1 i 2i 1 i z 则 z a 0 b 1 2 c 1 d 2 3 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某位选手的原始评分 评定该选手的成绩时 从 9 个原 始评分中去掉 1 个最高分 1 个最低分 得到 7 个有效评分 7 个有效评分与 9 个原始评分 相比 不变的数字特征是 a 中位数 b 平均数 c 方差 d 极差 解 由于共 9 个评委 将评委所给分数从小到大排列 中位数是第 5 个 假设为 去掉一 a 头一尾的最低和最高分后 中位数还是 所以不变的是数字特征是中位数 其它的数字特 a 征都会改变 4 的展开式中的系数为 42 1 21 xx 3 x a b c d 12162024 解由题意可知含的项为 所以系数为 3 x 331 4 233 4 121211xxcxxc 12 5 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯 且相邻两层 中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍 则塔的顶层共有灯 a 1 盏b 3 盏c 5 盏d 9 盏 2 6 若 则 ab a b c d ln 0ab 33 ab 33 0ab ab 解由函数在上是增函数 且 可得 即 3 yx rab 33 ab 33 0ab 7 直线 20 xy 分别与轴 轴交于a b两点 点p在圆 2 2 22xy 上 则 x y abp 面积的取值范围是 a 26 b 48 c 23 2 d 2 23 2 8 若函数为奇函数 则的极大值点为 b axxaxxf 23 3 f x a 3 b 1 c 1 d 2 9 7 个身高均不相同的学生排成一排合影留念 最高个子站在中间 从中间到左边和从中 间到右边一个比一个矮 则这样的排法共有 10 函数 42 2yxx 的图像大致为 a 20 b 40 c 120 d 400 11 关于函数有下述四个结论 sinsinf xxx 3 是偶函数 在区间单调递增 f x f x 2 在有 4 个零点 的最大值为 f x f x 2 其中所有正确结论的编号是 a b c d 12 设a b是椭圆c 长轴的两个端点 若c上存在点m满足 amb 120 22 1 3 xy m 则m的取值范围是 a b 0 1 9 0 3 9 c d 0 1 4 0 3 4 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 曲线在点处的切线方程为 2 3 x yxx e 0 0 14 函数的最大值是 2 3 sin3cos 4 fxxx 0 2 x 15 甲乙两队进行篮球决赛 采取七场四胜制 当一队赢得四场胜利时 该对获胜 决赛结 束 根据前期的比赛成绩 甲队的主客场安排依次为 主主客客主客主 设甲队主场取胜 的概率为 客场取胜的概率为 且各场比赛相互独立 则甲队以获胜的概率是 0 60 54 1 16 16 甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习 记两人所选课程相同的门 数为 则 e 为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考 题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 为选考题 考生根据要求作答 17 12 分 的内角的对边分别为 abc a b c a b c 设 2 2 sinsinsinsinsinbcabc 4 1 求 a 2 若 求 22abc sinc 18 12 分 如图 边长为 2 的正方形abcd所在的平面与半圆弧 a cd所在平面垂直 m是 a cd上异于c d的点 1 证明 平面amd 平面bmc 2 当三棱锥m abc 体积最大时 求面mab与面mcd所成二面角的正弦值 19 12 分 设椭圆 2 2 1 2 x cy 的右焦点为f 过f的直线l与c交于 a b 两点 点 m的坐标为 2 0 1 当l与x轴垂直时 求直线am的方程 2 设o为坐标原点 证明 omaomb 20 11 分制乒乓球比赛 每赢一球得 1 分 当某局打成平后 每球交换发球权 先 10 10 多得 2 分的一方获胜 该局比赛结束 甲 乙两位同学进行单打比赛 假设甲发球时甲得分 的概率为 乙发球时甲得分的概率为 各球的结果相互独立 在某局双方平 0 50 410 10 后 甲先发球 两人又打了个球该局比赛结束 x 1 求 2 p x 2 求事件 且甲获胜 的概率 4x 21 12 分 已知函数 1 lnf xxax x 5 1 讨论 f x 的单调性 2 若 f x 存在两个极值点 12 x x 证明 12 12 2 f xf x a xx 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 直线 的参数 xoy c 2cos 4sin x y l 方程为 为参数 1cos 2sin xt yt t 1 求和 的直角坐标方程 cl 2 若曲线截直线 所得线段的中点坐标为 求 的斜率 cl 1 2 l 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 5 2 f xxax 1 当时 求不等式的解集 1a 0f x 2 若 求的取值范围 1f x a 颍上二中 合肥十中颍上实验中学 颍上二中 合肥十中颍上实验中学 20202020 届高三开学考测试卷届高三开学考测试卷 高三数学 理科 高三数学 理科 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 a 1 2 1 0 1 2 xxba ba a b c d 1 0 1 0 1 1 1 2 1 0 2 设 1 i 2i 1 i z 则 z c a 0 b 1 2 c 1 d 2 3 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某位选手的原始评分 评定该选手的成绩时 从 9 个原 始评分中去掉 1 个最高分 1 个最低分 得到 7 个有效评分 7 个有效评分与 9 个原始评分 相比 不变的数字特征是 a 6 b 中位数 b 平均数 c 方差 d 极差 解 由于共 9 个评委 将评委所给分数从小到大排列 中位数是第 5 个 假设为 去掉一 a 头一尾的最低和最高分后 中位数还是 所以不变的是数字特征是中位数 其它的数字特 a 征都会改变 4 的展开式中的系数为 a 42 1 21 xx 3 x a b c d 12162024 解由题意可知含的项为 所以系数为 3 x 331 4 233 4 121211xxcxxc 12 5 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯 且相邻两层 中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍 则塔的顶层共有灯 b a 1 盏b 3 盏c 5 盏d 9 盏 6 若 则 c ab a b c d ln 0ab 33 ab 33 0ab ab 解由函数在上是增函数 且 可得 即 3 yx rab 33 ab 33 0ab 7 直线 20 xy 分别与轴 轴交于a b两点 点p在圆 2 2 22xy 上 则 x y abp 面积的取值范围是 a a 26 b 48 c 23 2 d 2 23 2 8 若函数为奇函数 则的极大值点为 b axxaxxf 23 3 f x 7 a 3 b 1 c 1 d 2 9 7 个身高均不相同的学生排成一排合影留念 最高个子站在中间 从中间到左边和从中 间到右边一个比一个矮 则这样的排法共有 a 10 函数 42 2yxx 的图像大致为 d a 20 b 40 c 120 d 400 12 关于函数有下述四个结论 sinsinf xxx 是偶函数 在区间单调递增 f x f x 2 在有 4 个零点 的最大值为 f x f x 2 其中所有正确结论的编号是 c a b c d 因为 所以是偶函数 正确 sinsin sinsin fxxxxxf x f x 因为 而 所以 错误 52 632 52 63 ff 画出函数在上的图像 很容易知道有零点 所以 错误 f x f x 3 8 结合函数图像 可知的最大值为 正确 故答案选 c f x 2 12 设a b是椭圆c 长轴的两个端点 若c上存在点m满足 amb 120 22 1 3 xy m 则m的取值范围是 a a b 0 1 9 0 3 9 c d 0 1 4 0 3 4 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 曲线在点处的切线方程为 2 3 x yxx e 0 0 3yx 2 3 21 3 xx yxexx e 2 3 31 x xxe 结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率 0 0 3k 切线方程为 3yx 14 函数的最大值是 1 2 3 sin3cos 4 fxxx 0 2 x 15 甲乙两队进行篮球决赛 采取七场四胜制 当一队赢得四场胜利时 该对获胜 决赛结 9 束 根据前期的比赛成绩 甲队的主客场安排依次为 主主客客主客主 设甲队主场取胜 的概率为 客场取胜的概率为 且各场比赛相互独立 则甲队以获胜的概率是 0 60 54 1 0 18 甲队要以 则甲队在前 4 场比赛中输一场 第 5 场甲获胜 由于在前 4 场比赛中甲有 2 4 1 个主场 2 个客场 于是分两种情况 1221 22 0 6 0 4 0 50 60 60 5 0 5 0 60 18cc 17 甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习 记两人所选课程相同的门 数为 则 e 为 1 8 acaabacaab cabadcabad caca 13 13 14 14 1 1 3yx 15 15 16 16 1 81 8 0 18 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考 题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 为选考题 考生根据要求作答 18 12 分 的内角的对边分别为 abc a b c a b c 设 2 2 sinsinsinsinsinbcabc 3 求 a 4 若 求 22abc sinc 解 1 由得 2 2 sinsinsinsinsinbcabc 222 sinsinsinsinsinbcabc 结合正弦定理得 222 bcabc 222 1 cos 22 bca a b c 又 0 a 3 a 10 2 由得 22abc 2sinsin2sinabc 2sinsin2sinaacc 6 sin 2sin 23 cc 312 sincos 222 cc 又 2 sin 62 c 2 0 3 c 662 c 又 sin 0 6 c 0 62 c 2 cos 62 c sinsin 66 cc sincoscossin 6666 cc 62 4 18 12 分 如图 边长为 2 的正方形abcd所在的平面与半圆弧 a cd所在平面垂直 m是 a cd上异于c d的点 1 证明 平面amd 平面bmc 2 当三棱锥m abc 体积最大时 求面mab与面mcd所成二面角的正弦值 解 1 由题设知 平面cmd 平面abcd 交线为cd 因为bc cd bc 平面abcd 所以 bc 平面cmd 故bc dm 因为m为 a cd上异于c d的点 且dc为直径 所以 dm cm 又 bc cm c 所以dm 平面bmc 而dm 平面amd 故平面amd 平面bmc 11 2 以d为坐标原点 da 的方向为x轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 d xyz 当三棱锥m abc体积最大时 m为 a cd的中点 由题设得 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 1 1 dabcm 2 1 1 0 2 0 2 0 0 amabda 设 x y z n 是平面mab的法向量 则 0 0 am ab n n 即 20 20 xyz y 可取 1 0 2 n da 是平面mcd的法向量 因此 5 cos 5 da da da n n n 2 5 sin 5 da n 所以面mab与面mcd所成二面角的正弦值是 2 5 5 19 12 分 设椭圆 2 2 1 2 x cy 的右焦点为f 过f的直线l与c交于 a b 两点 点 m的坐标为 2 0 1 当l与x轴垂直时 求直线am的方程 2 设o为坐标原点 证明 omaomb 解 1 由已知得 1 0 f l的方程为x 1 由已知可得 点a的坐标为 2 1 2 或 2 1 2 12 所以am的方程为 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx 2 当l与x轴重合时 0omaomb 当l与x轴垂直时 om为ab的垂直平分线 所以 omaomb 当l与x轴不重合也不垂直时 设l的方程为 1 0 yk xk 1221 ayxyxb 则 12 2 2xx 直线ma mb的斜率之和为 2 12 1 22 mamb xx yy kk 由 1122 ykkxykxk 得 1212 12 23 4 2 2 mamb x xxxkk xx k kk 将 1 yk x 代入 2 2 1 2 x y 得 2222 21 4220kxk xk 所以 2 1 2 21 2 2 2 422 2121 xxx kk k x k 则 3 1 3 1 3 22 2 441284 23 40 21 kkkkk kkk k x xxx 从而 0 mamb kk 故ma mb的倾斜角互补 所以 omaomb 综上 omaomb 20 11 分制乒乓球比赛 每赢一球得 1 分 当某局打成平后 每球交换发球权 先 10 10 多得 2 分的一方获胜 该局比赛结束 甲 乙两位同学进行单打比赛 假设甲发球时甲得分 的概率为 乙发球时甲得分的概率为 各球的结果相互独立 在某局双方平 0 50 410 10 后 甲先发球 两人又打了个球该局比赛结束 x 3 求 2 p x 4 求事件 且甲获胜 的概率 4x 13 解析 时 有两种可能 2x 甲连赢两局结束比赛 此时 1 0 5 0 40 2p 乙连赢两局结束比赛 此时 2 0 5 0 60 3p 12 2 0 5p xpp 2 且甲获胜 两人又打了 4 个球 且前两球是甲和乙各得 1 分 后两球均为甲得 4x 分 因此所求概率为 1 04 05 0 4 0 5 01 4 01 5 0 21 12 分 已知函数 1 lnf xxax x 1 讨论 f x 的单调性 2 若 f x 存在两个极值点 12 x x 证明 12 12 2 f xf x a xx 解 1 f x 的定义域为 0 2 22 11 1 axax fx xxx i 若 2a 则 0fx 当且仅当 2a 1x 时 0fx 所以 f x 在 0 单调递减 ii 若 2a 令 0fx 得 2 4 2 aa x 或 2 4 2 aa x 当 22 44 0 22 aaaa x u 时 0fx 当 22 44 22 aaaa x 时 0fx 所以 f x 在 22 44 0 22 aaaa 单调递减 在 22 44 22 aaaa 单调递 增 14 2 由 1 知 f x 存在两个极值点当且仅当 2a 由于 f x 的两个极值点 12 x x 满足 2 10 xax 所以 12 1x x 不妨设 12 xx 则 2 1x 由于 1212122 12121212 2 2 lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x 所以 12 12 2 f xf x a xx 等