2016年中考数学冲刺复习试卷：二次函数压轴题（含答案）

- 1 - 2016 年中考数学冲刺复习资料 :二次函数压轴题 面积类 1如图，已知抛物线经过点 A（ 1， 0）、 B（ 3， 0）、 C（ 0， 3）三点 （ 1）求抛物线的解析式 （ 2）点 M 是线段 的点（不与 B， C 重合），过 M 作 y 轴交抛物线于 N，若点 m，请用 m 的代数式表示 长 （ 3）在（ 2）的条件下，连接 否存在 m，使 面积最大？若存在，求 不存在，说明理由 考点：二次函数综合题 专题： 压轴题；数形结合 分析： （ 1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式 （ 2）先利用待定系数法求出直 线 解析 式，已知点 M 的横坐标，代入直线 物线的解析式中，可得到 M、 N 点的坐标， N、 M 纵坐标的差的绝对值即为 长 （ 3）设 x 轴于 D，那么 面积可表示为： S N（ B）=B， 表达式在（ 2）中已求得， 长易知，由此列出关于 S m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出 否具有最大 值 解答： 解：（ 1）设抛物线的解析式为： y=a（ x+1）（ x 3），则： a（ 0+1）（ 0 3） =3， a= 1； 抛物线的解析式： y=（ x+1）（ x 3） = x+3 （ 2）设直线 解析式为： y=kx+b，则有： - 2 - ， 解得 ； 故直线 解析式： y= x+3 已知点 M 的横坐标为 m， y，则 M（ m， m+3）、 N（ m， m+3）； 故 m+3（ m+3） = m（ 0 m 3） （ 3）如图； S N（ B） =B， S m） 3=（ m） 2+ （ 0 m 3）； 当 m=时， 面积最大，最大值为 2如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 知 B 点坐标为（ 4， 0） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）试探究 外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （ 3）若点 M 是线段 方的抛物线上一点，求 面积的最大值，并求出此时 考点：二次函数综合题 . 专题：压轴题；转化思想 分析：（ 1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可 - 3 - （ 2）首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标，然后通过证明 直角三角形来推导出直径 圆心的位置，由此确定圆心坐标 （ 3） 面积可由 S Ch 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即点M 到直线 距离最大，若设一条平行于 直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点 M 解答： 解： （ 1）将 B（ 4， 0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a 4 2，即： a=； 抛物线的解析式为： y=x 2 （ 2）由（ 1）的函数解析式可求得： A（ 1， 0）、 C（ 0， 2）； ， ， ， 即： A： ： 0， 直角三角形， 接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为 中点，且坐标为：（， 0） （ 3）已求得： B（ 4， 0）、 C（ 0， 2），可得直线 解析式为： y=x 2； 设直线 l 该直线的解析式可表示为： y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程： x+b=x 2，即： 2x 2 b=0，且 =0； 4 4（ 2 b） =0，即 b= 4； 直线 l： y=x 4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有： ，解得： 即 M（ 2， 3） 过 M 点作 x 轴于 N， S 梯形 S 2（ 2+3） +23 24=4 - 4 - 平行四边形类 3如图， 在 平面直角坐标 系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（ 3， 0）、 B（ 0， 3），点 B 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t （ 1）分别求出直线 这条抛物线的解析式 （ 2）若点 P 在第四象限，连接 线段 长时，求 面积 （ 3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题；解一元二 次方程因式 分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二 次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定 . 专题：压轴题；存在型 分析： （ 1）分别利用 待定系数法求 两函数的解析式：把 A（ 3， 0） B（ 0， 3）分别代入 y=x2+mx+n与 y=kx+b，得到关于 m、 n 的两个方程组，解方程组即可； （ 2）设点 P 的坐标是（ t， t 3），则 M（ t， 2t 3），用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标得到 长，即 t 3）（ 2t 3） = t，然后根据二次函数的最值得到 - 5 - 当 t= =时， 长为 =，再利用三角形的面积公式利用S （ 3）由 据平行四边形的判定得到当 B 时，点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限： B=3， 长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限： B=3，（ 2t 3）（ t 3） =3；当 P 在第三象限： B=3，3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值 解答： 解：（ 1）把 A（ 3， 0） B（ 0， 3）代入 y=x2+mx+n，得 解得 ，所以抛物线的解析式是 y=2x 3 设直线 解析式是 y=kx+b， 把 A（ 3， 0） B（ 0， 3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ， 所以直线 解析式是 y=x 3； （ 2）设点 P 的坐标是（ t， t 3），则 M（ t， 2t 3）， 因为 p 在第四象限， 所以 t 3）（ 2t 3） = t， 当 t= =时，二次函数的最大值，即 长值为 =， 则 S = （ 3）存在，理由如下： 当 B 时，点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形， 当 P 在第四象限： B=3， 长时只有，所以不可 能有 当 P 在第一象限： B=3，（ 2t 3）（ t 3） =3，解得 ， （舍去），所以 P 点的横坐标是 ； 当 P 在第三象限： B=3， 3t=3，解得 （舍去）， ，所以 - 6 - 所以 P 点的横坐标是 或 4 如图，在平面 直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（ 0， 1）， B（ 2， 0）， O（ 0，0），将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到 ABO （ 1）一抛物线经过点 A、 B、 B，求该抛物线的解析式； （ 2）设点 P 是在第一象 限内抛物线上 的一动点，是否存在点 P，使四边形 B 的面积是 ABO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）在（ 2）的条件下，试指出四边形 B 是哪种形状的四边形？并写出四边形 考点：二次函数综合题 . 专题：压轴题 分析： （ 1）利用旋转的性质得出 A（ 1， 0）， B（ 0， 2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可； （ 2）利用 S 四边形 B=S BS +S 假设四边形 B 的面积是 ABO 面 积的 4倍，得出一元二次方程，得出 P 点坐标即可； - 7 - （ 3）利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 B 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可 解答： 解：（ 1） ABO 是由 原点 O 逆时针旋转 90得到的， 又 A（ 0， 1）， B（ 2， 0）， O（ 0， 0）， A（ 1， 0）， B（ 0， 2） 方法一： 设抛物线的解析式为： y=bx+c（ a0）， 抛物线经过点 A、 B、 B， ，解得： ， 满足条件的抛物线的解析式为 y= x2+x+2 方法二： A（ 1， 0）， B（ 0， 2） ， B（ 2， 0）， 设抛物线的解析式为： y=a（ x+1）（ x 2） 将 B（ 0， 2）代入得出： 2=a（ 0+1）（ 0 2）， 解得： a= 1， 故满足条件的抛物线的解析式为 y=（ x+1）（ x 2） = x2+x+2； （ 2） P 为第一象限内抛物线上的一动点， 设 P（ x， y），则 x 0， y 0， P 点坐标满足 y= x2+x+2 连接 S 四边形 B=S BS +S =12+2x+2y， =x+（ x2+x+2） +1， = x+3 AO=1， BO=2， ABO 面积为： 12=1， 假设四边形 B 的面积是 ABO 面积的 4 倍，则 4= x+3， 即 2x+1=0， 解得： x1=， 此时 y= 12+1+2=2，即 P（ 1， 2） - 8 - 存在点 P（ 1， 2），使四边形 B 的面积是 ABO 面积的 4 倍 （ 3）四边形 B 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等； 等腰梯形对角线相等； 等腰梯形上底与下底平行； 等腰梯形两腰相等 （ 10 分） 或用符号表示： BAB= ABP= BB； BP AB； BA=（ 10 分） 5如图，抛物线 y=2x+c 的顶点 A 在直线 l： y=x 5 上 （ 1）求抛物线顶点 A 的坐标； （ 2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、 D（ C 点在 D 点的左侧），试判断 （ 3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、 A、 B、 D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合 题 . 专题：压轴题；分类讨论 分析： - 9 - （ 1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点 A 的横坐标，然后代入直线 l 的解析式中即可求出点 A 的坐标 （ 2）由 A 点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点 B 的坐标则 边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状 （ 3）若以点 P、 A、 B、 D 为顶点的四边形是平行四边形，应分 对角线、 对角线两种情况讨论，即 B、 D，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出 P 点的坐标 解答： 解：（ 1） 顶点 A 的横坐标为 x= =1，且顶点 A 在 y=x 5 上， 当 x=1 时， y=1 5= 4， A（ 1， 4） （ 2） 直角三角形 将 A（ 1， 4）代入 y=2x+c，可得， 1 2+c= 4， c= 3， y=2x 3， B（ 0， 3） 当 y=0 时， 2x 3=0， 1， C（ 1， 0）， D（ 3， 0）， 8， 4 3） 2+12=2， 3 1） 2+42=20， 0，即 直角三角形 （ 3）存在 由题意知 ：直线 y=x 5 交 y 轴于点 E（ 0， 5），交 x 轴于点 F（ 5， 0） F=5， 又 D=3 是等腰直角三角形 l，即 构成平行四边形只能是 图， 过点 P 作 y 轴的垂线，过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x 轴的直线于点 G 设 P（ 5），则 G（ 1， 5） 则 1 5 4|=|1 - 10 - D=3 由勾股定理得： （ 1 2+（ 1 2=18， 28=0， 2 或 4 P（ 2， 7）或 P（ 4， 1）， 存在点 P（ 2， 7）或 P（ 4， 1）使以点 A、 B、 D、 P 为顶点的四边形是平行四边形 周长类 6如图， 两直角边 别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， O 为坐标原点， A、 B 两点的坐标分别为（ 3， 0）、（ 0， 4），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且顶点在直线 x=上 （ 1）求抛物线对应的函数关系式； （ 2）若把 x 轴向 右平移得到 A、 B、 O 的对应点分别是 D、 C、 E，当四边形 菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上， 并说明理由； （ 3）在（ 2）的条件下，连接 知对称轴上存在一点 P 使得 周长最小，求出P 点的坐标； （ 4）在（ 2）、（ 3）的 条件下，若点 M 是线段 的一个动点（点 M 与点 O、 B 不重合），过点 M 作 x 轴于点 N，连接 长为 t， 面积为 S，求 S和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围， S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标；若不存在，说明理由 - 11 - 考点：二次函数综合题 . 专题：压轴题 分析：（ 1）根据抛物线 y= 经过点 B（ 0， 4），以及顶点在直线 x=上，得出 b， （ 2）根据菱形的性质得出 C、 D 两点的坐标分别是（ 5， 4）、（ 2， 0），利用图象上点的性质得出 x=5 或 2 时， y 的值即可 （ 3）首先设直线 应的函数关系式为 y=kx+b，求出解析式，当 x=时，求出 y 即可； （ 4）利用 出 而得出 ，得到 ，进而表示出 面积，利用二次函数最值求出即可 解答： 解：（ 1） 抛物线 y= 经过点 B（ 0， 4） c=4， 顶点在直线 x=上， = =， b= ； 所求函数关系式为 ； （ 2）在 ， ， ， ， 四边形 菱形， D=B=5， C、 D 两点的坐标分别是（ 5， 4）、（ 2， 0）， 当 x=5 时， y= ， 当 x=2 时， y= ， 点 C 和点 D 都在所求抛物线上； - 12 - （ 3）设 对称轴交于点 P，则 P 为所求的点， 设直线 应的函数关系式为 y=kx+b， 则 ，解得： ， ， 当 x=时， y= ， P（ ）， （ 4） 即 得 ， 设对称轴交 x 于点 F， 则 （ M） +t） ， ， S F=（ t） = ， S= （ ）， = （ 0 t 4）， a= 0 抛物线开口向下， S 存在最大值 由 S t=（ t ） 2+ ， 当 t= 时， S 取最大值是 ，此时，点 M 的坐标为（ 0， ） 等腰三角形类 7如图，点 A 在 x 轴上， ，将线段 点 O 顺时针旋转 120至 位置 - 13 - （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求经过点 A、 O、 B 的抛物线的解析式； （ 3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、 O、 B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由 考点：二次函数综合题 . 专题：压轴题；分类讨论 分析： （ 1）首先根据 旋转条件确定 B 点位置，然后过 B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角形和 长（即 ）确定 B 点的坐标 （ 2）已知 O、 A、 B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式 （ 3）根据（ 2）的抛物线解 析式，可得到 抛物线的对称轴，然后先设出 P 点的坐标，而 O、B 坐标已知，可先表示出 边的边长表达式，然后分 B、 P、 后分辨是否存在符合条件的 P 点 解答： 解：（ 1）如图，过 B 点作 x 轴，垂足为 C，则 0， 20， 0， 又 B=4， B=4=2， B4 =2 ， 点 B 的坐标为（ 2， 2 ）； （ 2） 抛物线过原点 O 和点 A、 B， 可设抛物线解析式为 y= 将 A（ 4， 0）， B（ 2 2 ）代入，得 ，解得 ， 此抛物线的解析式为 y= x - 14 - （ 3）存在， 如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（ 2， y）， 若 P， 则 22+|y|2=42，解得 y=2 ， 当 y=2 时，在 ， 0， = ， 0， 0+120=180， 即 P、 O、 B 三点在同一直线上， y=2 不符合题意，舍去， 点 P 的坐标为（ 2， 2 ） 若 B，则 42+|y+2 |2=42， 解得 y= 2 ， 故点 P 的坐标为（ 2， 2 ）， 若 P，则 22+|y|2=42+|y+2 |2， 解得 y= 2 ， 故点 P 的坐标为（ 2， 2 ）， 综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（ 2， 2 ）， 8在平 面直角坐标系 中，现将一块等腰直角三角板 在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（ 0， 2），点 C（ 1， 0），如图所示：抛物线 y=2 经过点 B （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）在抛物线上是否还 存在点 P（点 B 除外），使 然是以 直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 - 15 - 考点：二次函数综合题 . 专题：压轴题 分析： （ 1）根据题意，过点 B 作 x 轴，垂足为 D；根据角的互余的关系，易得 B 到 x、 y 轴的距离，即 B 的坐标； （ 2）根据抛物线过 B 点的坐标，可得 a 的值，进而可得其解析式； （ 3）首先假设存在，分 A、 C 是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案 解答： 解：（ 1）过点 B 作 x 轴，垂足为 D， 0， 0， 1 分） 又 0， C， 2 分） C=1， A=2，（ 3 分） 点 B 的坐标为（ 3， 1）；（ 4 分） （ 2）抛物线 y=2 经过点 B（ 3， 1）， 则得到 1=9a 3a 2，（ 5 分） 解得 a=， 所以抛物线的解析式为 y=x2+x 2；（ 7 分） （ 3）假设存在点 P，使得 然是以 直角边的等腰直角三角形： 若以点 C 为直角顶点； 则延长 点 得 C，得到等腰直角三角形 8 分） 过点 x 轴， - 16 - C， 0， 10 分） D=2， D=1，可求 得点 1， 1）；（ 11 分） 若以点 A 为直角顶点； 则过点 A 作 使得 C，得到等腰直角三角形 12 分） 过点 y 轴，同理可证 13 分） A=2， C=1，可求得点 2， 1），（ 14 分） 经检验，点 1， 1）与点 2， 1）都在抛物线 y=x2+x 2 上（ 16 分） 9在平面 直角坐标系中 ，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（ 0， 2），点 C（ 1， 0），如图所示，抛物线 y=2 经过点 B （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）在抛物线上是否还存 在点 P（点 B 除外），使 然是以 直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 . 专题：代数几何综合题；压轴题 分析： （ 1）首先过点 B 作 x 轴，垂足为 D，易证得 可得 C=1，A=2，则可求得点 B 的坐标； （ 2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； - 17 - （ 3）分别从 以 直角 边，点 C 为直 角顶点，则延长 点 得 C，得到等腰直角三角形 点 x 轴， 若以 直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 使得 C，得到等腰直角三角形 点 y 轴， 若以 直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 使得 C，得到等腰直角三角形 点 y 轴，去分析则可求得答案 解答： 解：（ 1）过点 B 作 x 轴，垂足为 D， 0， 0， 又 0， C， C=1， A=2， 点 B 的坐标为（ 3， 1）； （ 2） 抛物线 y=2 过点 B（ 3， 1）， 1=9a 3a 2， 解得： a=， 抛物线的解析式为 y=x 2； （ 3）假设存在点 P，使得 等腰直角三角形， 若以 直角边，点 C 为直角顶点， 则延长 点 得 C，得到等腰直角三角形 点 x 轴，如图（ 1）， C， 0， D=2， D=1， 1， 1），经检验点 抛物线 y=x 2 上； 若以 直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 使得 C， 得到等腰直角三角形 点 y 轴，如图（ 2）， 同理可证 A=2， C=1， 2， 1），经检验 2， 1）也在抛物线 y=x 2 上； - 18 - 若以 直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 使得 C， 得到等腰直角 三角形 点 y 轴，如图（ 3）， 同理可证 A=2， C=1， 2， 3），经检验 2， 3）不在抛物线 y=x 2 上； 故符合条件的点有 1， 1）， 2， 1）两点 综合类 10 如图， 已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（ 5， 0），另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C（ 0， 5） （ 1）求直线 抛物线的解析式； （ 2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 y 轴交直线 点 N，求 最大值； （ 3）在（ 2）的条件下， 得最大值 时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 边作平行四边形 平行四边形 面积为 面积为 点 P 的坐标 考点：二次函数综合题 . - 19 - 专题：压轴题 分析：（ 1）设直线 解析式 为 y=mx+n，将 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线 解析式；同理，将 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）两点 的坐标代入 y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （ 2） 长是 直线 函 数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 长和M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 最大值； （ 3）先求出 面积 ，则 0再设平行四边形 边 的高为据平行四边形的面积公式得出 ，过点 D 作直线 平行线，交抛物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 截取 C，则四边形 平行四边形证明 ，求出 E 的坐标为（ 1， 0），运用待定系数法求出直线 解析式为 y= x 1，然后解方程组 ，即可求出点 P 的坐标 解答： 解：（ 1）设直线 解析式为 y=mx+n， 将 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）两点的坐标代入， 得 ，解得 ，所以直线 解析式为 y= x+5； 将 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c， 得 ，解得 ，所以抛物线的解析式为 y=6x+5； （ 2）设 M（ x， 6x+5）（ 1 x 5），则 N（ x， x+5）， x+5）（ 6x+5） = x=（ x） 2+ ， 当 x=时， 最大值 ； （ 3） 得最大值时， x= x+5= = N（ 解方程 6x+5=0，得 x=1 或 5， A（ 1， 0）， B（ 5， 0）， 1=4， 面积 4， 平行四边形 面积 0 - 20 - 设平行四边形 边 的高为 ， D=30， 过点 D 作直线 平行线，交抛物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 截取 C，则四边形 平行四边形 5， 5， 等腰直角三角形， ， B（ 5， 0）， E（ 1， 0）， 设直线 解析式为 y= x+t， 将 E（ 1， 0）代入，得 1+t=0，解得 t= 1 直线 解析式为 y= x 1 解方程组 ，得 ， ， 点 P 的坐标为 2， 3）（与点 D 重合）或 3， 4） 11 如图，抛物线 y=bx+c（ a0）的图象过点 C（ 0， 1），顶点为 Q（ 2， 3），点 D 在 C （ 1）求直线 解析式； - 21 - （ 2）求抛 物线的解析式； （ 3）将直线 点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证： （ 4）在（ 3）的条件下，若 点 P 是线段 的动点，点 F 是线段 的动点，问：在 点移动过程中， 周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 . 专题：压轴题 分析： （ 1）利用待定系数法求出直线解析式； （ 2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （ 3）关键是证明 为等腰直角三角形； （ 4）如答图 所示，作点 C 关 于直线 对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 点 F，交 点 P，则 为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知， 周长等于线段 CC的长度 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时 周长最小 如答图 所示，利用勾股定理求出线段 CC的长度，即 长的最小值 解答： 解：（ 1） C（ 0， 1）， C， D 点坐标为（ 1， 0） 设直线 解析式为 y=kx+b（ k0）， 将 C（ 0， 1）， D（ 1， 0）代入得： ， 解得： b=1， k= 1， 直线 解析式为： y= x+1 - 22 - （ 2）设抛物线的解析式为 y=a（ x 2） 2+3， 将 C（ 0， 1）代入得： 1=a（ 2） 2+3，解得 a= y= （ x 2） 2+3= x+1 （ 3）证明：由题意可知， 5， D，且 等腰直角三角形， 5， x 轴，则点 C、 E 关于对称轴（直线 x=2）对称， 点 E 的坐标为（ 4， 1） 如答图 所示，设对称轴（直线 x=2）与 于点 M，则 M（ 2， 1）， M=， 为等腰直角三角形， 5 又 等腰直角三角形， 5， 5， （ 4）存在 如答图 所示，作点 C 关于直线 对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 点 F，交 点 P，则 为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知， 周长等于线段 CC的长度 （证明如下：不妨在线段 取异于点 F 的任一点 F，在线段 取异于点 P 的任一点 P，连接 FC， FP， PC 由轴对称的性质可知， P周长 =FC+FP+PC； 而 FC+FP+PC是点 C， C之间的折线段， 由两点之间线段最短可知： FC+FP+PC CC， 即 P周长大于 周长） 如答图 所示，连接 CE， C， C关于直线 称， 等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 等腰直角三角形， 点 C的坐标为（ 4， 5）； C， C关于 x 轴 对称， 点 C的坐标为（ 0， 1） 过点 C作 CN y 轴于点 N，则 4， 4+1+1=6， - 23 - 在 C，由勾股定理得： CC= = = 综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中， 周长存在最小值，最小值为 12如图，抛物线与 x 轴交于 A（ 1， 0）、 B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点 C（ 0， 3），设抛物线的顶点为 D （ 1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标 （ 2）试判断 形状，并说明理由 （ 3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、 A、 C 为顶点的三角形与 似？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 . 专题：压轴题 分析： （ 1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （ 2）利用勾股定理求得 三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断； （ 3）分 p 在 x 轴和 y 轴两种情况讨论，舍出 P 的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解 解答： - 24 - 解：（ 1）设抛物线的解析式为 y=bx+c 由抛物线与 y 轴交于点 C（ 0， 3），可知 c=3即抛物线的解析式为 y= 把点 A（ 1， 0）、点 B（ 3， 0）代入，得 解得 a= 1， b= 2 抛物线的解析式为 y= 2x+3 y= 2x+3=（ x+1） 2+4 顶点 D 的坐标为（ 1， 4）； （ 2） 直角三角形 理由如下：解法一：过点 D 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为 E、 F 在 ， ， ， 8 在 ， ， F 3=1， 在 ， ， B 1=2， 0 直角三角形 解法二：过点 D 作 y 轴于点 F 在 ， ， C 5 在 ， ， F 3=1 F 5 80 0 直角三角形 （ 3） 三边， = =，又 =，故当 P 是原点 O 时， 当 直角边时，若 对应边，设 P 的坐标是（ 0， a），则 a， = ，即 = ， 解得： a= 9，则 P 的坐标是（ 0， 9），三角形 是直角三角形，则 成立； - 25 - 当 直角边，若 对应边时，设 P 的坐标是（ 0， b），则 b，则 = ，即 = ，解得： b=，故 P 是（ 0，）时，则 定成立； 当 P 在 x 轴上时， 直角边， P 一定在 B 的左侧，设 P 的坐标是（ d， 0） 则 d，当 对应边时， = ，即 = ，解得： d=1 3 ，此时，两个三角形不相似； 当 P 在 x 轴上时， 直角边， P 一定在 B 的左侧，设 P 的坐标是（ e， 0） 则 e，当 对应边时， = ，即 = ，解得： e= 9，符合条件 总之，符合条件的点 P 的坐标为： 对应练习 13 如图，已知抛 物线 y= 与 x 轴交于 A、 B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点C，其中 A 点的坐标是（ 1， 0）， C 点坐标是（ 4， 3） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在（ 1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使 周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （ 3）若点 E 是（ 1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 下方，试求 最大面积及 E 点的坐标 - 26 - 考点：二次函数综合题 . 专题：代数几何综合题；压轴题 分析： （ 1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； （ 2）利用待定系数法求出直线 解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线 ； （ 3）根据直线 解析式 ，设出过点 E 与 行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式 =0 时， 面积最大，然后求出此时与 行的直线，然后求出点 E 的坐标，并求出该直线与 x 轴的交点 F 的坐标，再求出 根 据直线 l 与 x 轴的夹角为 45求出两直线间的距离，再求出 的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解 解答： 解：（ 1） 抛物线 y= 经过点 A（ 1， 0），点 C（ 4， 3）， ，解得 ，所以，抛物线的解析式为 y=4x+3； （ 2） 点 A、 B 关于对称轴对称， 点 D 为 对称轴的交点时 周长最小， 设直线 解析式为 y=kx+b（ k0）， 则 ，解得 ， 所以，直线 解析式为 y=x 1， y=4x+3=（ x 2） 2 1， 抛物线的对称轴为直线 x=2， 当 x=2 时， y=2 1=1， 抛物线对称轴上存在点 D（ 2， 1），使 周长最小； （ 3）如图，设过点 E 与直线 行线的直线为 y=x+m， 联立 ，消掉 y 得， 5x+3 m=0， =（ 5） 2 41（ 3 m） =0， 即 m= 时，点 E 到 距离最大， 面积最大， - 27 - 此时 x=， y= =， 点 E 的坐标为（，）， 设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F（ ， 0）， 1=， 直线 解析式为 y=x 1， 5， 点 F 到 距离为 = ， 又 =3 ， 最大面积 =3 = ，此时 E 点坐标为（，） 14如图，已知抛物线 y= x2+ 与 x 轴相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知A 点的坐标为 A（ 2， 0） （