河北省张家口市2020届高三数学12月阶段检测试题 理（含解析）

1 河北省张家口市河北省张家口市 20202020 届高三数学届高三数学 1212 月阶段检测试题月阶段检测试题 理 含解析 理 含解析 第第 卷 选择题共卷 选择题共 6060 分 分 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 小题 每题小题 每题 5 5 分 共计分 共计 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一在每小题给出的四个选项中 只有一 个选项正确个选项正确 1 若集合 则 11 2 322 x ax 2 340bxnxx ab a b c d 1 4 1 4 1 2 3 2 3 答案 c 解析 分析 首先解不等式确定集合 再由交集定义求得交集 a b 详解 由题意 15 axx 14 0 1 2 3 bxnx 1 2 3 ab 故选 c 点睛 本题考查集合的交集运算 求解时需选确定集合中的元素 然后才可以求交 a b 集运算 2 在公差不为零的等差数列中 且 成等比数列 则 d n a 3 16a 1 a 3 a 7 a d a 1b 2c 3d 4 答案 d 解析 分析 由等差数列通项公式表示出再由等比数列性质可求得 18 a a d 详解 由题意 13 2162aadd 73 4164aadd 成等比数列 1 a 3 a 7 a 即 解得 2 317 aa a 2 16 162 164 dd 4d 2 故选 d 点睛 本题考查等差数列的通项公式 考查等比数列的性质 属于基础题 3 已知 则 3 sin 65 4 cos 3 a b c d 4 5 3 5 4 5 3 5 答案 b 解析 分析 由 用诱导公式求解 6 4 3 3 2 详解 4 cos 3 33 cos sin 2665 故选 b 点睛 本题考查诱导公式 解题时需分析 已知角 和 未知角 的关系 确定选用什 么公式 4 若直线 过点 则的最小值等于 1 xy ab 0a 0b 1 2 2 ab a 9b 8c d 32 2 42 2 答案 a 解析 分析 把代入直线方程得满足的等量关系 用 1 的代换把凑配出基本不等式 1 2 a b 2zab 中的定值 然后用基本不等式求最小值 详解 直线 过点 1 xy ab 0a 0b 1 2 12 1 ab 当且仅当 即 122222 2 2 5529 abab abab abbaba 22ab ba 3 时等号成立 的最小值为 9 3ab 2 ab 故选 a 点睛 本题考查基本不等式求最值 解题时要注意基本不等式求最值的条件 一正二定 三相等 常常需要凑配出定值 1 的代换是常用凑配方法 5 已知 则下列命题中必然成立的是 abcdr a 若 则b 若 则 ab 22 acbc ab cd ab cd c 若 则d 若 则 22 acbc ab ab cacb 答案 c 解析 分析 由不等式的性质判断每一个命题是否正确 可举反例不等式不成立 详解 若 则 a 错 满足 但 0c 22 0acbc 2 1 10 2abcd ab cd 是 b 错 若 则 c 正确 但 ab cd 22 acbc 2 0c ab 3 2ab 32 d 错 32cc 故选 c 点睛 本题考查不等式的性质 掌握不等式的性质成立的条件是解题基础 对不一定成 立的不等式可通过举反例说明 6 已知点为双曲线 上的动点 点 点 若 pc 22 1 3664 xy 10 0a 10 0b15pa 则 pb a 27b 3c 3 或 27d 9 或 21 答案 a 解析 分析 求出双曲线的半焦距 说明是双曲线的焦点 根据双曲线的定义计算 但要由 c a b pb 已知条件确定点是否可能在两支上 p 4 详解 由题意 则 是双曲线的焦点 6 8ab 366410c a b 又 点在双曲线的左支上 15210 12paca p 2152 627pbpaa 故选 a 点睛 本题考查双曲线的定义 在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时 可用双曲线的 定义求解 注意双曲线的定义是 解题时如不能确定双曲线上的点在哪 12 2pfpfa 支上 则两支都有可能 7 已知菱形的边长为 点是上靠近的四等分点 则 abcd260bad ebdd ae ac a b c d 8 3 4 36 42 3 答案 c 解析 分析 选取和为基底 菱形的边长为 则 ad ab abcd2 2adab 用基底 分别表示与即可求得 cos602ad abadab ad ab ae ac ae ac 详解 画出几何图像 选取和为基底 菱形的边长为 ad ab abcd2 2adab 60bad 5 cos602ad abadab 点是上靠近的四等分点 bdadab ebdd 1111 4444 edbdadabadab 由 adaeed 可得 1131 4444 aeadedadadabadab acabad 31 44 ae acadababad 223311 4444 ab adadabab ad 2231 44 ab adadab 31 244 44 23 16 故选 c 点睛 本题考查平面向量基本定理的运用 考查数形结合思想 求解过程中要注意基底选 择的合理性 即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底 8 已知函数 若 则实数的取值范围 xx xx ee f x ee 11 22 log1 2log0fmfm m 是 a b c d 1 2 1 2 1 2 2 1 0 2 答案 d 解析 分析 因为函数 判断的奇偶性和单调性 即可求解 xx xx ee f x ee f x 6 进而求得实数的取值范围 11 22 log1 2log0fmfm m 详解 则定义是 xx xx ee f x ee r 又 可得 xx xx ee fx ee fxf x 是奇函数 f x 则 xx xx ee f x ee 2 xxxxxxxx xx eeeeeeee fx ee 2222 2 22 xxxx xx eeee ee 2 4 0 xx ee 是单调增函数 f x 11 22 log1 2log0fmfm 11 22 log1 2logfmfm 11 22 log12logfmfm 故 11 22 log12logmm 化简可得 即 2 111 2 1 22 1 2 logloglogmm 2 11 22 loglog 2mm 根据是单调减函数 1 2 logyx 7 得 2 2 0 mm m 1 0 2 m 故选 d 点睛 本小题主要考查函数的单调性 考查函数的奇偶性 解题关键是掌握利用单调性和 奇偶性解函数不等式 属于基础题 9 已知三棱锥中 则 dabc 1ab 3acad 2bd 2bc bcad 三棱锥的外接球的表面积为 a b c d 8 6 4 8 6 答案 b 解析 分析 根据三棱锥中 构建 dabc 1ab 3acad 2bd 2bc bcad 长方体 即长方体体对角线是外接球的直径 即可求得外接球的表面积 详解 在中 abca1ab 2bc 3ac 故是直角三角形且为直角 222 acbcab abcaabc 中 adb 3ad 2bd 1ab 故是直角三角形且为直角 222 bdabad adb bad 可得ab ad 结合已知 可得 面 bcad ad abc 可构建长方体 如图 dc 则三棱锥的外接球的直径是长方体体对角线 22 2 3 2 1 6dc 8 外接球的 6 2 r 根据球的表面积公式 2 2 6 446 2 sr 故选 b 点睛 本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题 其中解答中根据几何体的结 构特征 构建长方体 得到长方体的外接球是三棱锥的外接球是解答的关键 着重 dabc 考查了数形结合思想 以及推理与运算能力 10 已知抛物线的焦点为 准线为 是 上一点 是直线与抛物线的 2 4xy flpl q pfc 一个交点 若 则 4pqfq pf a 或b 或c 或d 34 24 58828 答案 d 解析 分析 因为抛物线的准线为 是 上一点 所以设点 利用 2 4xy lpl 1p t q x y 求得 即可求得答案 4pqfq t 详解 抛物线的准线 的方程为 焦点为 cl 1y 0 1f 设点 1p t q x y 即 4pqfq 1 4 1 xt yx y 可得 即 代入 4 144 xtx yy 3 5 3 t x y 2 4xy 解得 即 2 5 4 93 t 2 60t 由两点间距离公式可得 2 22 0 1 1 4648pftt 故选 d 9 点睛 本题考查抛物线定义的应用 同时也考查了共线向量的坐标运算 解题的关键就是 求出点 的纵坐标 考查运算求解能力 属于中等题 q 11 定义在上的运算 若不等式对 r 1xyxy 2 1 35xxaa 恒成立 则实数的取值范围是 2 5x a a b 16 16 c d 23 23 答案 a 解析 分析 由新定义把不等式转化为 然后由 2 1 35xxaa 2 1 1 3 5xxaa 不等式恒成立求得的范围 a 详解 由题意 即 2 1 1 3 3 51 xxaxax 对恒成立 22 345xxaa 2 5x 当时 解得 2 5 x 22 37 34 24 xxx 6 2 56aa 或 1a 6a 故选 a 点睛 本题考查新定义 考查不等式恒成立问题 解题关键是利用新定义把 新不等式 转化为我们熟悉的不等式 然后转化为求函数的最值并解不等式得参数范围 12 已知函数 若存在实数 满足 2 1 6 4 2 4 x xx x f x x 1 x 2 x 3 x 其中 则的取值范围是 123 f xf xf x 321 xxx 123 xxx a b c d 8 9 48 54 2 4 12log 3 2 24 6 12log 3 答案 d 解析 10 分析 因为且 由图像可知在二次函数图像上且 321 xxx 123 f xf xf x 12 x x 数形结合求出的取值范围 即可求得的取值范围 12 6xx 3 x 123 xxx 详解 画出图像 如图 2 1 6 4 2 4 x xx x x x 且 321 xxx 12 f xf x 由图像可知在二次函数图像上且 12 x x 12 6xx 由图可知 即 32 4log 9 1x 32 43log 3 1x 2123 2412 log 36xxx 的取值范围是 123 xxx 2 24 6 12log 3 故选 d 点睛 本题主要考查分段函数的图像与性质 考查了二次函数指数函数的性质以及数形结 合思想的应用 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决 数学问题的一种重要思想方法 函数图像是函数的一种表达形式 它形象地揭示了函数的性 质 第第 卷 非选择题共卷 非选择题共 9090 分 分 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 小題 每题小題 每题 5 5 分 共计分 共计 2020 分分 请把正确答案填写在答题纸相应的位请把正确答案填写在答题纸相应的位 置上置上 13 已知的内角 的对边分别为 且 abcaabcabc 11 则的面积为 22 2 42abcabccab 30b 2a abca 答案 3 解析 分析 将化简可得 由余弦定理 22 2 42abcabccab 222 abcab 解得 结合已知 由三角面积公式 222 1 cos 22 abc c ab 120c 即可求得的面积 1 sin 2 abc sa bc a abca 详解 22 2 42abcabccab 2222222 22222242abcabbcacabcabbcaccab 2222 222442abcabcab 可得 即 222 ababc 222 abcab 222 1 cos 22 abc c ab 可得 120c 又 故 30b 30a 是等腰三角形 abc a2ab 由三角形面积公式 113 sin2 23 222 abc sa bc a 故答案为 3 点睛 本题主要考查解三角形的问题 熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解 属于基 础题型 14 已知圆 和点 是圆上一点 线段的垂直平分线交 c 2 2 536xy 5 0b pbp 12 于点 则点的轨迹方程是 cpmm 答案 22 1 916 xy 解析 分析 根据双曲线的定义求轨迹方程 详解 在的中垂线上 mbp mpmb 6mcmbmcmppc 又 点轨迹是以为焦点 实轴长为 6 的双曲线 106bc m c b5 3ca 又关于原点对称 2222 534bca c b 点轨迹方程为 m 22 1 916 xy 故答案为 22 1 916 xy 点睛 本题考查用双曲线的定义求轨迹方程 属于基础题 根据双曲线定义确定动点轨 迹是双曲线 然后求出得标准方程 要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方 a b 程 15 已知 将 按从小到大的顺序排列 0 7 0 6a 0 6 0 7b ln0 6c abc 答案 cab 解析 分析 根据指数函数是减函数 可得 根据幂函数是增函数可 0 6xy 0 70 6 00 60 6 0 6 yx 得 即可求得 按从小到大关系 0 60 6 00 60 7 abc 详解 指数函数是减函数 0 6xy 可得 0 70 6 00 60 6 13 幂函数是增函数 0 6 yx 可得 0 60 6 00 60 7 即 0 70 6 0 60 7 ab 有 ln0 60c 综上所述 c ab 故答案为 cab 点睛 本题考查比较数值大小 这类大小比较一般是借助中间值 与中间值比较后可得它 们的大小关系 16 已知双曲线 的右焦点为 是双曲线的一 c 22 22 1 xy ab 0a 0b fab 条渐近线上关于原点对称的两点 且线段的中点落在另一条渐近线上 0af bf afm 则双曲线的离心率为 c 答案 2 解析 分析 由得 从而有 因此可得坐标 于是 0af bf afbf oaobofc a b 有中点坐标 代入渐近线方程可得的等式 转化后可求得离心率 m a c e 详解 如图 设在渐近线上 a b b yx a 0af bf afbf oaobofc 而 是中点 由已知在渐近线 aab c 0 f maf 22 cab m m 上 b yx a 22 bbca a caa 2ca 2 c e a 故答案为 2 14 点睛 本题考查求双曲线的离心率 考查渐近线方程 考查向量的数量积与垂直的关 系 解题关键是寻找关于的等式 然后转化后可求得 题中用到一个结论 a b c c e a 在渐近线上在第一象限内的点 且 则有 b obc b a b 三 解答题 本题共三 解答题 本题共 6 6 小题 共计小题 共计 7070 分分 17 若数列的前项和为 且 n a nn s21 nn sa nn 1 求数列的通项公式 n a 2 设 求数列的前项和 1 21 n n n b a n b n n t 答案 1 2 1 2n n a 23 3 2n n 解析 分析 1 时 由可得数列的递推关系 从而确定数列是等 11 as 2n 1nnn ass n a 比数列 易得其通项公式 2 数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得 因此用错位相减法求 n b 和 详解 1 数列 的前 项和为 且 n a nn s21 nn sa 当时 1n 111 21asa 1 1a 当时 2n 11 21 nn sa 15 得 即 常数 1 2 nn aa 1 2 n n a a 故数列是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 n a 所以 1 2n n a 2 由于 所以 1 2n n a 1 2121 2 n n n nn b a 所以 2 1321 222 n n n t 231 11321 2222 n n n t 得 整理得 21 1111121 2 222222 n nn n t 23 3 2 n n n t 点睛 本题考查由与的关系求通项公式 考查错位相减法求数列的和 在由 n s n a 时 要注意 与它们的求法不同 要分类求解 数列求和问题中有 1nnn ass 2n 1 a 两类数列的求和法一定要掌握 数列是等差数列 数列是等比数列 则数列 n a n b 的和的求法是裂项相消法 数列的和的求法是错位相减法 1 1 nn a a nn a b 18 在中 内角 所对的边分别为 已知 abcaabcabc 2 3sin2cos0 2 ac b 1 求角的大小 b 2 若 求的周长的取值范围 3b abca 答案 1 2 2 3 b 2 3 2 3 解析 分析 1 逆用二倍角公式将原式降幂 将化简为 2 3sin2cos0 2 ac b 根据辅助角公式 3sincos1bb 22 sincossinaxbxabx 16 即可求得角的大小 tan b a b 2 由余弦定理 得 故 222 2cosbacacb 2 3acac 可得 即可求得的周长的取值范围 2 2 33 4 ac acac 2ac abca 详解 1 2 3sin2cos0 2 ac b 可得 3sincos10bac 即 3sincos10bb 根据辅助角公式 22 sincossinaxbxabx tan b a 3sincos1bb 由于 2sin1 6 b 0b 解得 2 3 b 2 由余弦定理 222 2cosbacacb 得 2 22 3acacacac 即 2 3acac 由得 2 4 ac ac 2 2 33 4 ac acac 解得 当且仅当时取等号 2ac ac 又得 acb 3ac 所以 32ac 周长的取值范围为 abca 2 3 2 3 点睛 本题主要考查由辅助角公式和余弦定理解三角形 解题关键是掌握辅助角公式 17 考查了分析能力和计算能力 属于 22 sincossinaxbxabx tan b a 基础题 19 如图 1 在直角梯形中 过点 abcdabcd abbc 22cdabbc a 作 垂足为 现将沿折叠 使得 如图 2 aecd eade aedeec 1 求证 平面平面 dab dae 2 求二面角的大小 dabe 答案 1 证明见解析 2 45 解析 分析 1 根据已知求证平面 即可求证 平面平面 ab daedab dae 2 设平面的法向量和平面的法向量 求出和 根据 dabn abem n m cos m n mn 即可求得二面角的大小 dabe 详解 证明 1 aecd abcd aeab deec abec deab 又 故 平面 aedee ab dae 平面 故 平面平面 ab dabdab dae 2 以为原点 为轴 为轴 为轴 建立空间直角坐标系 如图 eeaxec y edz 18 设 2deeced 2 0 0a 0 0 2d 0 0 0e 2 2 0b 可得 2 0 2ad 0 2 0ab 设平面的法向量 dab nx y z 则 取 得 220 20 n adxz n aby 1x 1 0 1n 平面的法向量 abe 0 0 1m 设二面角的大小为 dabe 则 12 cos 22 m n mn 45 二面角的大小为 dabe 45 点睛 本题考查立体几何的翻折问题和求二面角的计算 在处理翻折问题时 要注意翻折 前后相关直线的位置关系以及长度的变化 对于立体几何中角的计算问题 可以利用空间向 量法 利用向量的夹角公式求解 20 已知抛物线 上一点到其焦点的距离为 5 c 2 2 0 ypx p 4 rm f 1 求与的值 p m 2 设动直线与抛物线相交于 两点 问 在轴上是否存在与 2yk x ca bx 的取值无关的定点 使得 若存在 求出点的坐标 若不存在 kmamfbmf m 说明理由 19 答案 1 2 存在点 2p 4m 2 0m 解析 分析 1 由抛物线上点的焦半径为可求得 从 2 2 0 ypx p 00 r xy 0 2 p rfx p 而再求得 m 2 假设设存在点满足条件 令 条件 0m a 11 a x y 22 b xy 转化为 即 整理得 amfbmf ambm kk 12 12 0 yy xaxa 由直线方程与抛物线方程联立后消去 注意讨论的情 1212 40y yayy x0k 形 得的方程 由韦达定理得 代入它是与无 y 1212 yyy y 1212 40y yayy k 关的等式 从而可得 a 详解 1 根据抛物线定义 点到焦点的距离等于它到准线的距离 即 4 rm 解得 抛物线方程为 45 2 p 2p 2 4yx 点在抛物线上 得 4 rm 2 44m 4m 2 抛物线方程为 2 4yx 当 直线只与抛物线有一个交点 显然不成立 0k 当时 令 设存在点满足条件 0k 11 a x y 22 b xy 0m a 即 amfbmf ambm kk 即 12 12 0 yy xaxa 整理得 1212 40y yayy 整理得 2 2 4 yk x yx 2 4 80 y y k 20 12 4 yy k 12 8y y 4 480a k 解的 480a 2a 因此存在点满足题意 2 0m 点睛 本题考查抛物线的焦半径公式 考查直线与抛物线相交问题 对存在性命题 一 般是假设存在 然后根据这个存在性去推导计算 方法是设而不求思想方法 如果能求出 定点 说明真正存在 如果求不出说明假设错误 不存在定点满足题意 21 已知椭圆 的左 右焦点分别为 c 22 22 1 xy ab 0ab 1 2 0f 2 2 0f 且经过点 2 1m 1 求椭圆的标准方程 c 2 若斜率为的直线与椭圆交于 两点 求面积的最大值 为坐标原点 2cabaobao 答案 1 2 22 1 42 xy 2 解析 分析 1 由椭圆的定义 可知 解得 由 2 12 22 21 14aafaf 2a 即可求得椭圆的标准方程 222 abc c 2 设直线 的方程为 联立 消掉得得 l 2yxm 22 2 1 42 yxm xy y 根据韦达定理可得 根据弦长 22 98240 xmxm 12 8 9 m xx 2 12 24 9 m x x 公式求 由点到直线 的距离 求得的边上的高 ab 0 0o l 20 xym aobaab 21 即可求得面积的最大值 aoba 详解 1 由椭圆的定义 可知 2 12 22 21 14aafaf 解得 2a 又 2 22 22ba 椭圆的标准方程为 c 22 1 42 xy 2 设直线 的方程为 l 2yxm 联立 消掉得得 22 2 1 42 yxm xy y 22 98240 xmxm 得 22 64721440mm 3 23 2m 设 11 a x y