贵州省遵义市2020届高三数学9月第一次统一考试试题 理（含解析）

1 贵州省遵义市贵州省遵义市 20202020 届高三数学届高三数学 9 9 月第一次统一考试试题月第一次统一考试试题 理 含解析 理 含解析 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合要求的 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合要求的 1 已知集合 集合 则 110 axx lg1 bxx ab a b 110 xx 110 xx c d 010 xx 010 xx 答案 c 解析 分析 对集合内的不等式进行计算 然后根据交集运算得到答案 b 详解 集合中 解不等式 得 b 1lg x 010 x 所以集合 010bxx 而集合 110 axx 所以 ab 010 xx 故选 c 项 点睛 本题考查对数不等式的计算 集合交集的运算 属于简单题 2 在复平面内 复数满足 则复数在复平面内对应的点在 z 1 4zi z a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 答案 a 解析 分析 对条件中的式子进行计算化简 得到复数 从而得到其在复平面对应的点的坐标 得到答 z 案 详解 由 得 1 4zi 4 22 1 zi i 2 所以在复平面对应的点为 所以对应的点在第一象限 z 2 2 故选 a 项 点睛 本题考查复数的计算 复平面的相关概念 属于简单题 3 已知两个单位向量和的夹角为 则的最小值为 a b 120 k r kab a b c 1d 3 4 3 2 3 2 答案 b 解析 分析 对平方 然后将单位向量和的模长和夹角带入 得到关于的函数 然后得到 kab a b k 其最小值 从而得到答案 详解 2 22 2 2kabk aa bb 因为和是单位向量 且夹角为 a b 120 所以 2 22 2 2kabk aka bb 22 2 2cos aabbakkb 2 1kk 2 13 24 k 3 4 所以 kab 3 2 所以的最小值为 kab 3 2 点睛 本题考查向量模长的表示 求模长的最小值 属于简单题 4 已知 则 tan3 2 sincos 3 a b c d 13 2 13 2 13 2 13 2 答案 a 解析 tan3 2 2 3 31 sin cos 22 13 sincos 2 故选 a 5 已知 则下列结论正确的是 6 log 5a 0 3 b 1 ln 2 c a b c d abc bac cba cab 答案 d 解析 分析 分别将与特殊值进行比较 然后判断出其大小关系 得到答案 a b c0 1 详解 因为 6 log 501a 0 3 1 b 1 ln 0 2 c 所以 cab 故选 d 项 点睛 本题考查比较指数值和对数值的大小 属于简单题 4 6 执行如图所示程序框图 若输入的 则输出的 4k s a b c d 3 4 4 5 5 6 6 7 答案 c 解析 分析 根据程序框图的要求 得到每次循环对应的的值 再根据判断语句 结束循环 输出 s n 的值 得到答案 s 详解 根据程序框图的循环语句可知 第一次循环 此时 4 0 0kns nk 1n 1 1 2 s 第二次循环 此时 1 4 1 1 2 kns nk 2n 11 1 22 3 s 第三次循环 此时 11 4 2 1 22 3 kns nk 3n 111 1 22 33 4 s 第四次循环 此时 111 4 3 1 22 33 4 kns nk 4n 1111 1 22 33 44 5 s 第五次循环 此时 1111 4 3 1 22 33 44 5 kns nk 5n 5 11111 1 22 33 44 55 6 s 第六次循环 不满足 循环停止 4 5kn nk 输出 11111 1 22 33 44 55 6 s 1111111111 1223344556 5 6 故选 c 项 点睛 本题考查根据输入值求程序框图的输出值 裂项相消求数列的和 属于简单题 7 已知函数 则不等式的解集是 sinf xxx 2 1 33 0fxfx a 4 1 b 1 4 c 1 4 d 4 1 答案 c 解析 分析 由题意 根据函数的解析式 求解函数是定义域上的单调递增函数 且为奇函数 把 f x 不等式转化为 进而借助一元二次不等式的解法 即可求解 2 1 33 xx 详解 由题意 函数 则 所以函数是定义域 sinf xxx 1 cos0fxx f x 上的单调递增函数 又由 即函数定义域上的奇函数 sin sin fxxxxxf x f x 又由不等式可转化为 2 1 33 0fxfx 2 1 33 33 fxfxfx 即 即 解得 2 1 33 xx 2 340 xx 14x 6 即不等式的解集为 故选 c 1 4 点睛 本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题 其中解答中根据函数的解析式 利用导数求得函数的单调性和奇偶性 把不等式转化为一元二次不等式是解 2 340 xx 答的关键 着重考查了转化思想 以及分析问题和解答问题的能力 属于基础题 8 如图 在正方形区域内任取一点 则此点取自阴影部分的概率是 a b c d 21 2 421 2 421 1 6 答案 b 解析 分析 利用定积分先求出阴影部分的面积 再由几何概型的计算公式计算即可 详解 阴影部分的面积 正方形面积为 4 4 0 0 cossinsincos21sxx dxxx 所以所求概率为 2 4 22 421 21 4 点睛 本题主要考查与面积有关的几何概型 9 已知函数 是的导函数 则下列结论中错误的是 sincosf xxx g x f x a 函数的值域与的值域相同 f x g x b 若是函数的极值点 则是函数的零点 0 x f x 0 x g x 7 c 把函数的图像向右平移个单位 就可以得到函数的图像 f x 2 g x d 函数和在区间上都是增函数 f x g x 4 4 答案 c 解析 分析 先求出的导数 结合解析式的特点来判断 f x 详解 所以选项 a 正确 由极值点定义可知选项 b 正确 把的 sing xcosxx f x 图像向右平移个单位 得到与不相等 2 sin sincos 22 ycos xxxx g x 故选 c 点睛 本题主要考查三角函数的图像和性质 三角函数的图像变换主要平移方向和系数的 影响 10 杨辉三角 又称帕斯卡三角 是二项式系数在三角形中的一种几何排列 在我国南宋数 学家杨辉所著的 详解九章算法 1261 年 一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展 开式的系数规律 现把杨辉三角中的数从上到下 从左到右依次排列 得数列 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 记作数列 若数列的前 n n a n a 项和为 则 n s 47 s a 265b 521c 1034d 2059 8 答案 b 解析 分析 先计算出杨辉三角中第 47 个数在第几行 然后根据每行规律得到这一行的和 然后再求其 前 47 项的和 详解 根据题意杨辉三角前 9 行共有1 2345678945 故前 47 项的和为杨辉三角前 9 行的和再加第 10 行的前两个数 1 和 9 所以前 47 项的和 47 s 0128 22221 9 9 21 1 9521 故选 b 项 点睛 本题考查杨辉三角的特点 等比数列求和 属于中档题 11 已知边长为 4的等边三角形 d为的中点 以为折痕 将三角形折成 abcbcadabc 直二面角 则经过a b c d球的表面积为 badc a b c d 12 16 20 24 答案 c 解析 分析 首先对平面图形进行转换 将三棱锥补齐成长方体 进一步求出长方体外接球体的半径 最 后求出所求球的表面积 详解 如图所示 边长为 4 的等边三角形 abc d为的中点 以为折痕 将三角形折成直二面角 bcadabcbadc 则 2 3ad 2bdcd 将三棱锥可补成一个长方体 dabc 则经过a b c d球为长方体的外接球 设球的半径为r 故 2 222 2radbdcd 9 124420 所以 5r 所以其表面积 2 420sr 故选 c 项 点睛 本题考查通过补齐图形求三棱锥的外接球半径及表面积 属于中档题 12 已知分别是双曲线的左 右焦点 若关于渐近线的对称点恰落在 12 f f 22 22 c1 xy ab 2 f 以为圆心为半径的圆上 则双曲线的离心率为 1 f 1 of c a 3b c 2d 32 答案 c 解析 分析 求出到渐近线的距离 利用关于渐近线的对称点恰落在以为圆心 为半径的圆 2 f 2 f 1 f 1 of 上 可得直角三角形 由勾股定理得关于的方程 即可求出双曲线的离心率 c a 详解 由题意 一条渐近线方程为 12 0 0fcfc b yx a 则到渐近线的距离为 2 f 22 bc b ba 设关于渐近线的对称点为与渐近线交于 2 f 2 m f m a 为的中点 2 2 mfb a 2 f m 又是的中点 为直角 o12 ff 112 oafmfmf 为直角三角形 12 mff 由勾股定理得 222 44ccb 22222 34 4ccaca 故选 c 2 2cae 10 点睛 本题主要考查双曲线的渐近线与离心率 属于难题 离心率的求解在圆锥曲线的考 查中是一个重点也是难点 一般求离心率有以下几种情况 直接求出 从而求出 a c e 构造的齐次式 求出 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解 根据圆锥曲 a c e 线的统一定义求解 二 填空题二 填空题 把答案填在题中横线上 把答案填在题中横线上 13 直线与圆 其中 无公共点 则实数a的取值 3410lxy 222 c xya ar 范围是 答案 11 0 0 55 解析 分析 直线与圆无公共点 则圆心到直线的距离大于半径 将圆的圆心和半径表示出来 然后利用 公式 得到关于的不等式 解出答案 a 详解 圆 其中 圆心为 半径为 且 222 c xya ar 0 0 a 0a 因为直线与圆无公共点 3410lxy 222 c xya 则圆心直线 的距离大于半径 0 0 l 即 且 22 1 34 a 1 5 a 0a 解得的范围为 a 11 0 0 55 点睛 本题考查圆的标准方程 直线与圆的位置关系 点到直线的距离 属于简单题 14 甲几何体 上 与乙几何体 下 的组合体的三视图如图所示 甲 乙几何体的体积分 别为 则等于 12 vv 12 v v 11 答案 1 3 解析 分析 由三视图可知 该几何体是由上下两部分组成的 上面是一个球 下面是一个圆锥 利用体 积计算公式即可得出 详解 由三视图可知 该几何体是由上下两部分组成的 上面是一个球 下面是一个圆 锥 3 1 44 1 33 v 2 2 1 234 3 v 12 1 3v v 点睛 本题考查三视图还原几何体 求球和圆锥的体积 属于简单题 15 已知数列 均为等差数列 且前n项和分别为和 若 则 n a n b n s n t 32 1 n n sn tn 4 4 a b 答案 23 8 解析 分析 根据等差数列中等差中项的性质 将所求的 再由等差数列的求和公式 转化 174 417 aaa bbb 为 从而得到答案 7 7 s t 12 详解 因为数列 均为等差数列 n a n b 所以 74 7414 14 2 2 aa bb aa bb 17 7 17 7 7 2 7 2 aa s bbt 3 7223 718 点睛 本题考查等差中项的性质 等差数列的求和公式 属于中档题 16 已知函数 且 的图象恒过定点a 若点a在直线 log 3 1 a f xx 0a 1a 上 其中 则的最小值为 40mxny 0mn 12 1mn 答案 4 3 解析 分析 先由函数得到定点坐标 再把代入直线 得到的关系 再由基本不等式得到 f x aa m n 答案 详解 函数 且 的图象恒过定点 log 3 1 a f xx 0a 1a 2 1 所以 2 1a 将代入到直线中 得到 2 1a 40mxny 24mn 即 216mn 所以 12 1mn 1 11 16 2 2 mn mn 411 22 61 mn mn 13 14 22 22 63 当且仅当时 等号成立 1 3 2 mn 所以答案为 4 3 点睛 本题考查对数函数过定点 基本不等式求最小值 属于中档题 三 解答题三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 设函数 2 sin 2 2cos1 6 f xxx 当时 求函数的值域 0 2 x f x 中 角a b c的对边分别为a b c 且 abc 1 2 f a 22 23ab 求的面积 13c abc 答案 1 1 2 33 2 解析 分析 对进行化简 得到正弦型函数 然后根据的范围 求出的范围 得到 f x x 2 6 x 的值域 由得到的值 根据和正弦定理得到的值 再 f x 1 2 f a a 22 23ab b 由求出 根据和正弦定理 得到 由面积公式求出 sinsincab sinc13c b 的面积 abc 详解 解 2 sin 2 2cos1 6 f xxx sin2 coscos2 sincos2 66 xxx 14 31 sin2cos2sin 2 226 xxx 0 2 x 7 2 666 x 1 sin 2 1 26 x 函数的值域为 2 sin 2 2cos1 6 f xxx 1 1 2 0a 13 2 666 a 又 1 2 f a 1 sin 2 62 a 即 5 2 66 a 3 a 由 由正弦定理 22 23ab 23ab 2sin3sinab 2 sin 2 b 2 0 3 b 4 b 62 sinsin 4 cab 4 sinsin2 cb cb 2b 133 sin 22 abc sbca 点睛 本题考查三角函数的化简 求正弦型函数的值域 正弦定理解三角形 三角形面积 公式 属于简单题 18 未来创造业对零件的精度要求越来越高 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现 3d 的 常在模具制造 工业设计等领域被用于制造模型 后逐渐用于一些产品的直接制造 已 经有使用这种技术打印而成的零部件 该技术应用十分广泛 可以预计在未来会有发展空间 某制造企业向高校打印实验团队租用一台打印设备 用于打印一批对内径有较高 a3d3d 15 精度要求的零件 该团队在实验室打印出了一批这样的零件 从中随机抽取个零件 度量 10 其内径的茎叶图如图 单位 m 1 计算平均值与标准差 2 假设这台打印设备打印出品的零件内径服从正态分布 该团队到工厂 3dz 2 n 安装调试后 试打了个零件 度量其内径分别为 单位 5 m 8695103109 试问此打印设备是否需要进一步调试 为什么 118 参考数据 22 0 9544pz 33 0 9974pz 3 0 95440 87 4 0 99740 99 2 0 04560 002 答案 1 2 机器异常 需要进一步调试 105 m 6 m 解析 分析 1 由均值与方差的定义公式计算 2 由正态分布求得概率后知零件内径在外的概率只有 33 pz 87 123 0 0026 而在外 因此机器异常 86 87 123 详解 1 979798 102 105 107 108 109 113 114 10 105 m 2 2222 222222 8873023489 10 36 所以 6 m 2 结论 需要进一步调试 理由如下 如果机器正常工作 则服从正态分布 z 2 105 6n 16 33 pz 871230 9974pz 零件内径在之外的概率只有 87 123 0 0026 而 根据原则 知机器异常 需要进一步调试 8687 123 3 点睛 本题考查均值与方差公式 考查正态分布 解题时由相应公式计算即可 属于基础 题 19 如图所示 四棱锥中 底面 pabcd pa abcd2pa 90abc 为的中点 3ab 1bc 2 3ad 4cd ecd 1 求证 平面 aeapbc 2 求二面角的余弦值 bpcd 答案 1 详见解析 2 5 7 解析 分析 1 分别计算 bca和 cae得出两角相等 得出ae bc 故而ae 平面pbc 2 建立 空间坐标系 求出两个半平面的法向量 计算法向量的夹角得出二面角的大小 详解 1 证明 3 1 90abbcabc 2 60acbac 在中 acd 222 2 3 2 4 adaccdacadcd 是直角三角形 acd 又为的中点 ecd 1 tan3 2 ad aecdceacd ac 17 是等边三角形 60 acdace 60 caebcabcae 又平面平面 ae pbc bc pbc 平面 ae pbc 2 由 1 可知 以点为原点 以所在直线分别为轴 轴 90bae a ab ae ap x y 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 z 0 0 2 3 0 0 pb 3 1 0 3 3 0 cd 0 2 0 e 3 0 2 3 1 2 pbpc 3 3 2 0 2 2pdpe 设为平面的法向量 则即 111 nx y z pbc 0 0 n pb n pc 11 111 320 320 xz xyz 设 则 1 1x 11 33 0 1 0 22 yzn 设为平面的法向量 则即 222 mxyz pbc 0 0 m pe m pc 22 222 220 320 yz xyz 设 则 2 1y 22 33 1 1 1 33 zxn 33 5 32 cos 777 43 n m n m nm 二面角的余弦值为 bpcd 5 7 点睛 本题考查了线面平行的判定 空间向量与二面角的计算 属于中档题 一般证明线 18 面平行是从线线平行入手 通过构造平行四边形 三角形中位线 梯形底边等 找到线线平 行 再证线面平行 20 顺次连接椭圆的四个项点 怡好构成了一个边长为且面积 22 23 1 0 xy cab ab 3 为的菱形 2 2 求椭圆的方程 c 设 过椭圆c右焦点f的直线 交椭圆c于a b两点 若对满足条件的任 m 3 0 l 意直线 不等式恒成立 求的最小值 l ma mbr 答案 2 2 1 2 x y 31 2 解析 分析 根据题意列出的方程组 解出 得到椭圆方程 按斜率不存在和存在 a b a b 分别表示出直线 直线与椭圆联立 得到 将坐标表示出来 代入 l121 2 xx x x ma mb 得到关于斜率的不等式 从而求出其最大值 得到的范围 121 2 xx x x k 详解 解 由已知得 22 1 222 2 2 3 ab ab 解得 2a 1b 所以 椭圆c的方程为 2 2 1 2 x y 设 11 a x y 22 b xy 11221212 3 3 33ma mbxyxyxxy y 当直线 垂直于 x 轴时 且 l12 1xx 12 yy 2 1 1 2 y 19 此时 1 4 may 2 4 mby 31 2 ma mb 当直线 不垂直于x轴时 设直线 l 1 l yk x 由 22 1 22 yk x xy 得 2222 202142 xk xkk 2 12 2 4 12 k xx k 2 12 2 22 12 k x x k 2 121212 3911ma mbx xxxkxx 2 222 1212 2 317 139 21 k kx xkxxk k 2 11731 31 2212k 要使不等式恒成立 ma mb r 只需 即的最小值为 max 31 2 ma mb 31 2 点睛 本题考查求椭圆方程 直线与椭圆的交点 椭圆中的范围问题 属于中档题 21 已知 lnf xx 3 13 34 g xxax 讨论函数的单调性 g x 记表示m n中的最大值 若 且函数 max m n max 0 f xf xg xx 恰有三个零点 求实数a的取值范围 yf x 答案 当时 的单减区间为 当时 的单减区间为 0a g x 0a g x 和 单增区间为 a a aa 331 443 a 解析 20 分析 对求导 得到 然后分和 分别要求的正负 从而得到 g x gx 0a 0a gx 的单调区间 分和进行讨论 当时 可知证明至多有 g x 0a 0a 0a yf x 两个零点 不合题意 当时 先得出关于对称 所以要有 3 个 0a g x 3 0 4 f x 零点 则必须在上取到 2 个零点 得到关于的不等式组 解出的范围 得到 g x 0 1 aa 答案 详解 解 的定义域为r 3 13 34 g xxax 2 g xxa 当时 所以的单减区间为 0a 0g x g x 当时 令 得 0a 0g x xaa 令 得 0g x xaa 综上得 当时 的单减区间为 0a g x 当时 的单减区间为和 单增区间为 0a g x a a aa max 0 f xf xg xx 的唯一一个零点是 lnf xx 1x 2 0 g xxa x 由 1 可得 当时 的单减区间为 0a g x 此时至多有两个零点 不符合题意 yf x 当时 令 0a 3 4 g xg x 则的图象关于点对称 3 1 3 g xxax 0 0 即的图象关于中心对称 g x 3 0 4 21 注意到在上恒正 ln x 1 要有 3 个零点 则必须在上取到 2 个零点 f x g x 0 1 如图 极大值 且 0ga 1 0g 则有 3 13 0 1 0 34 0 13 0 34 a g ga aaa 331 443 a 综上 331 443 a 点睛 本题考查利用导数求函数的单调区间 极大值和零点问题 属于难题 22 在平面直角坐标系中 曲线的参数方程为 其中 为参数 以坐标原 xoy 1 c 1xt ymt t 点为原点 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 ox2 c 4 2sin 4 i 写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程 1 c 2 c ii 设点 分别在曲线 上运动 若 两点间距离的最小值为 求 p q 1 c 2 c p q 2 2