最全高中三角函数总结

1 三角函数做题技巧与方法总结三角函数做题技巧与方法总结 知识点梳理 1 正弦函数 余弦函数 正切函数的图像 1 1 y sinx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x 1 1 y cosx 3 2 5 2 7 2 7 2 5 2 3 2 2 2 4 3 2 4 3 2 o y x y tanx 3 2 2 3 2 2 o y x y cotx 3 2 2 2 2 o y x 2 三角函数的单调区间 xysin 的递增区间是 2 2 2 2 kk Zk 递减区间是 2 3 2 2 2 kk Zk xycos 的递增区间是 kk22 Zk 递减区间是 kk22 Zk xytan 的递增区间是 22 kk Zk 3 三角函数的诱导公式 sin 2k sin sin sin sin sin cos 2k cos cos cos cos 2 cos tan 2k tan tan tan tan tan sin sin sin 2 cos sin 2 cos cos cos cos 2 sin cos 2 sin tan tan tan 2 cot tan 2 cot sin2 cos2 1 4 两角和差公式 5 二倍角的正弦 余 弦和正切公式 sin sin cos cos sin sin2 2sin cos sin sin cos cos sin cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 cos cos cos sin sin tan2 2tan 1 tan2 cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 6 半角公式 2 cos1 2 sin 2 cos1 2 cos sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan 7 函数 BxAy sin 其中00 A 最大值是BA 最小值是AB 周期是 2 T 其图象的对称轴是直线 2 Zkkx 凡是该图象与直线By 的交点都是该图象的对称中心 8 由 y sinx 的图象变换出 y sin x 的图象一般有两个途径 只有区别 开这两个途径 才能灵活进行图象变换 3 利用图象的变换作图象时 提倡先平移后伸缩 但先伸缩后平移也经常出 现 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头无论哪种变形 请切记每一个变换总是对字母 x 而言 即图象变换要看 变 量 起多大变化 而不是 角变化 多少 途径一 先平移变换再周期变换 伸缩变换 先将 y sinx 的图象向左 0 或向右 0 平移 个单位 再将图 象上各点的横坐标变为原来的 1 倍 0 便得 y sin x 的图象 途径二 先周期变换 伸缩变换 再平移变换 先将 y sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍 0 再沿 x 轴向 左 0 或向右 0 平移 个单位 便得 y sin x 的图象 9 对称轴与对称中心 sinyx 的对称轴为 2 xk 对称中心为 0 kkZ cosyx 的对称轴为x k 对称中心为 2 0 k 对于 sin yAx 和 cos yAx 来说 对称中心与零点相联系 对 称轴与最值点联系 10 求三角函数的单调区间 一般先将函数式化为基本三角函数的标准式 要特别注意A 的正负 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头利用 单调性三角函数大小一般要化为同名函数 并且在同一单调区间 11 求三角函数的周期的常用方法 经过恒等变形化成 sin yAx cos yAx 的形式 在利用 周期公式 另外还有图像法和定义法 12 经常使用的公式 升 降 幂公式 2 1 cos2 sin 2 2 1 cos2 cos 2 1 sincossin2 2 辅助角公式 22 sincossin abab 由 a b具体的值确定 4 2 典型例题 弦切互化 例 1 已知 求 1 2tan sincos sincos 解 1 223 21 21 tan1 tan1 cos sin 1 cos sin 1 sincos sincos 练习 的值 22 cos2cos sinsin 解 22 22 22 cossin cos2cossinsin cos2cossinsin 3 24 12 222 1 cos sin 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 说明 利用齐次式的结构特点 如果不具备 通过构造的办法得到 进行弦 切互化 就会使解题过程简化 函数的定义域问题函数的定义域问题 例 2 求函数的定义域 1sin2 xy 解 由题意知需 也即需 在一周期上符合 01sin2 x 2 1 sin x 2 3 2 的角为 由此可得到函数的定义域为 6 7 6 6 7 2 6 2 kk Zk 说明 确定三角函数的定义域的依据 1 正 余弦函数 正切函数的定义域 2 若函数是分式函数 则分母不能为零 3 若函数是偶函数 则被开方式 不能为负 4 若函数是形如的函数 则其定义域由 1 0 log aaxfy a 确定 5 当函数是有实际问题确定时 其定义域不仅要使解析式有意义 xf 同时还要使实际问题有意义 函数值域及最大值 最小值函数值域及最大值 最小值 1 求函数的值域 一般函数的值域求法有 观察法 配方法判别式法等 而三角函数是函数 的特殊形式 其一般方法也适用 只不过要结合三角函数本身的性质罢了 例 3 求下列函数的值域 5 1 2 xy2sin23 2sin2 cos 2 xy x 分析 利用与进行求解 1cos x1sin x 解 1 12sin1 x 5 151 yy 2 0 4 1sin11sin1sin2sin2sin2 2 2 2 cos yxxxxxxy 说明 练习 求函数的值域 2 1 sincos sincos yxxxx 解 设 sincos2sin 22 4 txxx 则原函数可化为 22 13 1 24 yttt 因为 所以当时 当时 22 t 2t max 32y 1 2 t min 3 4 y 所以 函数的值域为 3 32 4 y 2 函数的最大值与最小值 求值域或最大值 最小值的问题 一般的依据是 1 sinx cosx 的有界性 2 tanx 的值可取一切实数 3 连续函数在闭区间上存在最大值和最小值 例 4 求下列函数的最大值与最小值 1 2 3 xysin 2 1 1 4sin5cos2 2 xxy 3 2 3 1cos4cos3 2 xxxy 分析 1 可利用 sinx cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围 2 3 可利用二次函数在闭区间上求最值得方法 cbxaxxf 2 nm 解 1 6 2 2 1sin 2 6 1sin1sin1 1sin1 0sin 2 1 1 minmax yxyxx x x 时当时 当 2 2 22 59 2cos5sin42sin5sin22 sin sin1 1 48 yxxxxxx 当 即时 有最小值 sin1x 2 2 xkkZ y9 当 即 有最大值 1 sin1x 2 2 xkkZ y 3 4 1 3 2 1 cos 4 15 y 3 2 2 1 cos 2 1 2 1 cos 3 2 3 3 1 3 2 cos31cos4cos3 minmax 22 yxxx xxxxxxy 时 即当时 即从而 函数的周期性函数的周期性 例 5 求下列函数的周期 xxf2cos 1 62 sin 2 2 x xf 分析 该例的两个函数都是复合函数 我们可以通过变量的替换 将它们归结为 基本三角函数去处理 1 把看成是一个新的变量 那么的最小正周期是 就是说 当x2uucos 2 且必须增加到时 函数的值重复出现 而 2 uu增加到 2 uucos 所以当自变量增加到且必须增加到时 2222 xxux x x 函数值重复出现 因此 的周期是 xy2sin 2 即 62 sin2 2 62 sin 2 xx 62 sin 2 6 4 2 1 sin2 x x 的周期是 62 sin 2 x xf 4 说明 由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关 x 一般地 函数或 其中为常数 sin xAy cos xAy A 的周期 0 0RxA 2 T 例 6 已知函数 2 4sin2sin22f xxxxR 7 求的最小正周期 的最大值及此时 x 的集合 f x f x 解 22 4sin2sin222sin2 1 2sin f xxxxx 2sin22cos22 2sin 2 4 xxx 所以的最小正周期 因为 f xT xR 所以 当 即时 最大值为 22 42 xk 3 8 xk f x2 2 函数的奇偶性函数的奇偶性 例 7 判断下列函数的奇偶性 sin 1 xxxf x xx xf sin1 cossin1 2 2 分析 可利用函数奇偶性定义予以判断 解 1 函数的定义域关于原点对称 R 是偶函数 sin sin sin sin xfxfxxxxxfxxxxxf 2 函数应满足 2 3 20sin1 ZkkxRxxx 且函数的定义于为 函数的定义域不关于原点对称 函数既不是奇函数又不是偶函数 评注 判断函数奇偶性时 必须先检查定义域是否关于原点对称的区间 如果是 再验 证是否等于 xf xf 或 进而判断函数的奇偶性 如果不是 则该函数必为非奇非偶函数 xf 练习 已知函数的定义域 判断它的奇偶性 2cos sin8cos23 42 xf x xx xf求 并求其值域 解 x xx x xx xf 2cos sin8sin21 2cos sin8 sin1 23 4242 8 9 7 42 42 2 2 02cos 4 1 sin4 2cos sin21 sin41 2 22 分是偶函数且的定义域关于原点对称因为 分且所以函数的定义域为 解得得由 分 xfxfxfxf zk k xRxx zk k xkxx x x xx 12 3 51 42 1sin4 2 分且的值域为 且又 yyyxf zk k xxxf 函数的单调性函数的单调性 例 8 下列函数 在上是增函数的是 2 xyAsin xyBcos xyC2sin xyD2cos 分析 判断 在各象限的单调性作出与可根据xxxxcossin 22 2 解 与在上都是减函数 排除 sinyx cosyx 2 A B 2 x 知在内不具有单调性 又可排除 应选 22 x sin2yx 2 2x C D 例 9 已知函数 2 35 cos35cossin5 2 xxxxf 求 f x 的最小正周期 求 f x 的递增区间 解 2 35 cos35cossin5 2 xxxxf 3 sin2cos 3 cos2 sin5 2cos352sin 2 5 2 35 2 2cos1 352sin 2 5 xx xx x x 3 2sin 5 x 9 最小正周期 T 2 2 由题意 解不等式 kxk2 23 22 2 得 12 5 12 Zkkxk 的递增区间是 xf 12 5 12 Zkkk 小结 求形如的函数的单 0 0 cos sin AxAyxAy其中或 调区间 可以通过解不等式的方法去解答 列不等式的原则是 式的方向相同 反 的单调区间对应的不等 与时 所列不等式的方向 视为一个整体 把 cos sin 0 02 0 1 RxxyRxx yAAx 三角函数思想方法归纳解析 一 数形结合思想 由数想形 以形助数的数形结合思想 具有可以使问题直观呈现的优点 有利于加深 同学们对知识的识记和理解 在解答数学题时 数形结合 有利于分 析题中数量之间的关系 丰富表象 引发联想 启迪思维 拓宽思路 迅速找到解决问题的方法 从而提高分析问题和解决问题的能力 例 1 求不等式在上的解集 xxcossin 解析 设 在同一坐标系中作出在xysin 1 xycos 2 上两函数图像 如图 1 在上解得的解为 0 0 xxcossin 或 4 x 故由图像得要使得 即 由于 在 4 3 x 21 yy 4 3 4 xxysin 1 xycos 2 上为偶函数 故在上的解为 得原不等式的解集为 0 44 3 x 4 3 44 4 3 二 分类讨论思想 分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类 即根据对象的共同性与差异 性 把具有相同属性的归入一类 把具有不同属性的归入另一类 分类讨论是数学解题的 重要手段 如果对学过的知识恰当地进行分类 就可以使大量纷繁的知识具有条理性 o x y 图 1 2 4 4 3 y1y2 10 例 2 设 且恒成立 求的取值范围 2 0 022sin2cos2 mm m 解析 令 12sin2sin22sin2cos 22 mmmmf 令 由 得 则 sin t 2 0 10 t 在 12122 2 2 2 mmmtmmtttf 1 0 t 0 f 上恒成立 在上恒成立 由二次函数图像分类讨论得 2 0 tf 1 0 t 1 当时 需得 10 m 0 mf10 m 2 当时 需 得 1 m 01 f1 m 3 当时 需得0 m 00 f0 2 1 m 综上所述 得 2 1 m 三 整体思想 整体思想方法是一种常见的数学方法 它把研究对象的某一部分 或全部 看成一个 整体 通过观察与分析 找出整体与局部的有机联系 从而在客观上寻求解决问题的新途 径 往往能起到化繁为简 化难为易的效果 例 3 求函数的最大 最小值 xx xx xf cossin1 cossin 解析 由条件和问题联想到公式 可实施整体代换 xxxxcossin21cossin 2 求最值 令 则 2 2 4 sin2cossin xxxt1 0cossin1 txx 2 1 cossin 2 t xx 故当时 有最大值 且为 2 11 2 2 1 1 2 1 2 t t t t y2 ty 当时 有最小值 且为 2 12 2 ty 2 12 四 方程思想 11 方程是研究数量关系的重要工具 我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相 等关系 通过建立方程或方程组 并求出未知量的值 从而使问题得到解决的思想方法称 为方程思想 例 4 已知 求的值2sin3sin cossin cossin 解 令 则 x cossin cossin 0cos1sin1 xx 故解得 2sin3sin 解得 2 1 cos 2 1 sin x x x x 1 2 1 2 1 22 x x x x 62 x 62 cossin cossin 五 化归转化思想 化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法 处理数学问题的实质就是实现新 问题向旧问题的转化 复杂问题向简单问题转化 未知问题向已知问题转化 抽象问题向 具体问题转化等 例 5 若 试确定的大小 4 0 nm cossin cossinnm 解析 当一个问题直接难以入手或相对比较困难时 我们可以等价转化为我们熟知或 容易解答的题型 要比较的大小可转化为与比较大小就容易多了 nm 2 m 2 n 又 故 2sin1 2sin1 22 nm 2 220 2sin2sin 22 nm 0 nm nm 六 函数思想 函数思想就是在解决问题的过程中 把变量之间的关系抽象成函数关系 把具体问题 转化为函数问题 通过对函数相应问题的解决 达到解决变量之间具体问题的目的 例 6 已知 求证 1sinsinsin 222 222sin2sin2sin 解析 由得 构造函数 1sinsinsin 222 2coscoscos 222 2sinsin2sincossincossincossin 2 222 xxxxxxf 显然 故 即得 0 xf 08sinsin2sin 2 222sin2sin2sin 12 七 逆向思想 逆向思想通常是指从问题的反向进行思考 运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种 解题思维策略 正确使用这种策略 往往能问题绝处逢生 找到求解的新途径 例 7 将函数的图像向右平移个单位后 再作关于轴的对称变换 xxfysin 4 x 得到函数的图像 求的解析式 xy 2 sin21 xf 解析 我们可以采用倒推的方法 即将整个变化过程逆过来考虑 关于轴的对称变换为 然后再向左平移个单xxy2cossin21 2 xxy2cos 4 位得 对照比较原函数得 xxxxysincos22sin 4 2cos xxfysin 商业策划书 xxfcos2 项目可行性报告 可行性研究报告 招股说三角函数常见题型三角函数常见题型 一 运用同角三角函数关系 诱导公式 和 差 倍 半等公式进行化简求值一 运用同角三角函数关系 诱导公式 和 差 倍 半等公式进行化简求值 类 类 例例 1 已知向量 33 cos sin cos sin 22222 xx xxx 且ab 1 若 求的取值范围 3 abx 2 函数 若对任意 恒有 f x a bab 12 2 x x 12 f xf xt 求 的取值范围 t 解 解 1 1 cos2 22cos22cos3xxx aba bab 即 35 cos 226 xxx 2 2 13 cos22cos2 cos 22 f xxxx a bab 又 maxmin 1cos0 3 1xf xf x 12maxmin 4 4f xf xf xf xt 二 运用三角函数性质解题 通常考查正弦 余弦函数的单调性 周期性 最二 运用三角函数性质解题 通常考查正弦 余弦函数的单调性 周期性 最 值 对称轴及对称中心 值 对称轴及对称中心 例例 2 若 在函数 3sin 0 cos sin 0 xxx mn 13 的图象中 对称中心到对称轴的最小距离为 且当时 f xt mmn 4 0 3 x 的最大值为 1 f x 1 求函数的解析式 2 若 求实数 f x 13 0 2 f xx 的值 x 解 解 由题意得 3sincos sin xxx mn 3sin 0 3sincos sin f xtxxxxt mmn 2 3sin 3sincos 3sin3sincosxxxtxxxt 3333 cos2sin23sin 2 22232 xxtxt 1 对称中心到对称轴的最小距离为 的最小正周期 4 f xT 23 1 3sin 2 232 f xxt 当时 0 3 x 33 2 sin 2 33 3322 xx 3 f xtt max 1 1 31 2 3sin 2 32 f xttf xx 2 由 得 由 得 13 2 f x 1 sin 2 32 x 0 x 5 2 333 x 故 73 2 366124 xx 或或 例例 3 已知向量 sin a 2 1 1 b cos2 5 1 ba 2 0 1 求的值 sin2sin及 2 设函数 求 x 为何值时 取xxxf 2 cos2 2 2sin 5 2 24 x xf 得最大值 最大 值是多少 并求的单调增区间 xf 14 解 解 1 5 1 cossin ba 25 1 2sin1 cos sin 2 25 24 2sin 25 49 2sin1 cos sin 2 5 7 cossin 5 3 cos 5 4 sin 2 12cos sin2sincos2 cos52cos1 2cos 5 xxxxxxf 12sin42cos412cos 2sin 5 4 2cos 5 3 5 xxxxx1 4 2sin 24 x 224 x 当时 要使单调递增 4 5 4 2 3 x 24 x621 24 max fxf xfy 又 的 kxk2 24 22 2 Z 88 3 kkxk 2 24 x xfy 单调增区间为 8 24 例例 4 设向量 2 0 2 3 cos 2 3 sin 2 sin 2 cos xxxb xx a向量 求 若函数 求的最 baba 及 2 babaxf xf 小值 最大值 解 解 I 2sin 22 3 sin 2 3 cos 2 sin 2 3 sin 2 cosx xxxxxx ba 2sin222 22 22 xbabababa 2 cos sin2 2sin1 22sin22 xxxxba 2 0 cos sin2 xxx II 由 I 得 cos sin2cossin2 cos sin22sin xxxxxxxxf 令 1cossin2 2 1 2 0 cossin 2 txxtxtxx 时 2 1 2 1 21 22 tttty2 2 1 min tyt当时当 221 max y 三 解三角形问题 判断三角形形状 正余弦定理的应用 三 解三角形问题 判断三角形形状 正余弦定理的应用 例例 5 已知函数 2 sincos3cos 333 xxx f x I 将写成的形式 并求其图象对称中心的横坐标 f xsin AxBwj II 如果 ABC 的三边 a b c 满足 b2 a c 且边 b 所对的角为 试求的范围及此xx 时函数的 f x 值域 15 解 解 I f x 1 12x sin 23 3 2 2 cos 3 x12x sin 23 3 2 2 cos 3 x3 2 sin 由 sin 0 即 k k Z 得 x k Z 即对称中 2 3 x 3 p3 2 2x 33 p2x 33 p3k 1 2 p 心的横坐标为 k Z 3k 1 2 p II 由已知 b2 ac 得 cosx cosx 1 0 x 22222 ac bac ac 2ac2ac 2ac ac1 2ac2 1 23 p sin sin 1 sin 3 p2 3 x 3 p5 9 p 32 pp 5 92 pp 3 p2 3 x 3 p3 2 3 2 2 3 x 3 p 即 f x 的值域为 3 2 3 2 3 3 2 例例 6 在 中 角 A B 的对边分别为 a c 已知向量 ABCCb ac ba m ac b n 且 mn 1 求角的大小 2 若 求角 A 的值 C 6 sinsin 2 AB 解解 1 由得 整理得 mn 0ac acba b 222 0abcab 即 又 又因为 所 222 abcab 222 1 cos 222 abcab C abab 0C 以 3 C 2 因为 所以 故 3 C 2 3 AB 2 3 BA 由 即 626 sinsin sinsin 232 ABAA 得 316 sincossin 222 AAA 所以 即 因为 所以 3sincos2AA 2 sin 62 A 2 0 3 A 5 666 A 故或 或 64 A 3 64 A 12 A 7 12 A 三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点 因此 熟练掌握公式和性质是解好小题 的必要条件 在日常训练中一定要改掉学生边做题边看公式的坏习惯 再者 填空题答案 书写的规范也需反复强调 明书引用 16 三 练习三 练习 1 函数的定义域为 x y sin 1 0 1 00 1 xxDCZkkxRxBRA 2 函数 的值域是 6 cos xy 2 0 x 1 2 1 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 DCBA 3 函数的周期为 则 0 4 sin xy 3 2 4 下列函数中是偶函数的是 1sinsinsin2sin xyDxyCxyBxyA 5 下列函数中 奇函数的个数为 1 2 3 4 xxysin 2 2 0 sin xxy sin xxyxxycos 432 1 DCBA 6 在区间上 下列函数为增函数的是 2 0 xyDxyC x yB x yAcossin cos 1 sin 1 7 函数的单调减区间是 xy2sin ZkkkDkkC kkBkkA 4 4 23 2 4 3 4 2 2 3 2 2 8 如果 则函数的最小值是 4 xxxysincos2 9 函数的值域为 24 3 4 tan xxxy且 11 11 1 1DCBA 17 10 求函数 的周期和单调增区间 6 cos sinsin2xxxy 解 sin 6 sincos 6 cossinsin2xxxxy xxxcossin 2 3 sin 2 3 2 xx2sin 4 3 2cos1 4 3 2cos 4 3 2sin 4 3 4 3 xx 3 2sin 2 3 4 3 x 函数的周期 2 2 T 当 即 x k Z 时函 2 2 k 3 2 x 2 2 k 12 5 k 12 k 数单调增加 即函数的增区间是 k Z 12 5 k 12 k 答案 B B 3 C C D B B 2 21 1 已知函数 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 求函数 f x的最小正周期 求函数 f x在区间 12 2 上的值域 2 已知函数 2 sin3sinsin 0 2 f xxxx 的最小正周期为 求 的值 求函数 f x 在区间 0 2 3 上的取值范围 3 本小题满分 12 分 已知向量 sin cos 1 2 mAA n 且0 m n A 求 tanA 的值 求函数 cos2tansin f xxAx x R 的值域 4 本小题满分 13 分 已知函数 sin 0 0 f xAxA x R的最大值是 1 其图像经过点 1 3 2 M 1 求 f x的解析式 2 已知 0 2 且 3 5 f 12 13 f 求 f 的值 18 5 已知函数 2 sincoscos2 222 xxx f x 将函数 f x化简成sin 0 0 0 2 AxB A 的形式 并指出 f x的周期 求函数 17 12 f x 在上的最大值和最小值 6 已知函数x xx xfsin 2 sin 2 cos 22 I 求函数 xf的最小正周期 II 当 4 0 0 x且 5 24 0 xf时 求 6 0 xf的值 7 已知 1 tan 3 5 cos 5 0 1 求tan 的值 2 求函数 2sin cos f xxx 的最大值 8 已知函数 3sin cos f xxx 0 0 为偶函 数 且函数 yf x 图象的两相邻对称轴间的距离为 2 求 8 f 的值 将函数 yf x 的图象向右平移 6 个单位后 得到函数 yg x 的图象 求 g x的单调递减区间 9 已知函数 2sincos3cos 442 xxx f x 求函数 f x的最小正周期及最值 令 3 g xfx 判断函数 g x的奇偶性 并说明理由 10 求函数 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 的最大值与最小值 17 本小题满分 12 分 已知函