第18讲等腰三角形与直角三角形

第 18 讲 等腰三角形与直角三角形 基础过关 一 精心选一选 1 2014 广东 一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7 则它的周长为 A A 17 B 15 C 13 D 13 或 17 2 2014 滨州 下列四组线段中 可以构成直角三角形的是 B A 4 5 6 B 1 5 2 2 5 C 2 3 4 D 1 3 2 3 2013 龙岩 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 A 0 2 B 0 6 动点 C 在直线 y x 上 若以 A B C 三点为顶点的三角形是等腰三角形 则点 C 的个数是 B A 2 B 3 C 4 D 5 4 2014 威海 如图 在 ABC 中 ABC 50 ACB 60 点 E 在 BC 的延 长线上 ABC 的平分线 BD 与 ACE 的平分线 CD 相交于点 D 连接 AD 下列结论中 不正确的是 B A BAC 70 B DOC 90 C BDC 35 D DAC 55 5 2014 南充 如图 在 ABC 中 AB AC 且 D 为 BC 上一点 CD AD AB BD 则 B 的度数为 B A 30 B 36 C 40 D 45 6 2013 天门 如图 在 ABC 中 AB AC A 120 BC 6 cm AB 的垂直 平分线交 BC 于点 M 交 AB 于点 E AC 的垂直平分线交 BC 于点 N 交 AC 于点 F 则 MN 的长为 C A 4 cm B 3 cm C 2 cm D 1 cm 7 2013 淄博 如图 ABC 的周长为 26 点 D E 都在边 BC 上 ABC 的平分线 垂直于 AE 垂足为 Q ACB 的平分线垂直于 AD 垂足为 P 若 BC 10 则 PQ 的长 为 C A B C 3 D 4 3 2 5 2 二 细心填一填 8 2013 黔西南州 如图 已知 ABC 是等边三角形 点 B C D E 在同一直线上 且 CG CD DF DE 则 E 15 度 第 8 题图 第 9 题图 9 2014 天津 如图 在 Rt ABC 中 D E 为斜边 AB 上的两个点 且 BD BC AE AC 则 DCE 的大小为 45 度 10 2013 莆田 如图是一株美丽的勾股树 其中所有的四边形都是正方形 所有的三 角形都是直角三角形 若正方形 A B C D 的面积分别为 2 5 1 2 则最大的正方形 E 的面积是 10 11 如图 梯形 ABCD 中 AB DC ADC BCD 90 且 DC 2AB 分别以 DA AB BC 为边向梯形外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 则 S1 S2 S3之间的关 系是 S1 S3 S2 第 11 题图 第 12 题图 12 2014 凉山州 如图 圆柱形容器高 18 cm 底面周长为 24 cm 在杯内壁离杯底 4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜 此时已知蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿 2 cm 与蜂蜜相对的 A 处 则蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为 20 cm 13 2013 锦州 在 ABC 中 AB AC AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交 于点 E 垂足为 D 连接 BE 已知 AE 5 tan AED 则 BE CE 6 或 16 3 4 14 2013 沈阳 已知等边三角形 ABC 的高为 4 在这个三角形所在的平面内有一点 P 若点 P 到 AB 的距离是 1 点 P 到 AC 的距离是 2 则点 P 到 BC 的最小距离和最大距 离分别是 1 或 7 三 用心做一做 15 在 ABC 中 AB AC 点 E F 分别在 AB AC 上 AE AF BF 与 CE 相交 于点 P 求证 PB PC 并请直接写出图中其他相等的线段 解 AE AF AC AB A A ACE ABF SAS ABF ACE AB AC ABC ACB PBC PCB PB PC 其他 相等线段 BE CF PE PF BF CE 16 2014 温州 如图 在等边三角形 ABC 中 点 D E 分别在边 BC AC 上 DE AB 过点 E 作 EF DE 交 BC 的延长线于点 F 1 求 F 的度数 2 若 CD 2 求 DF 的长 解 1 ABC 是等边三角形 B 60 DE AB EDC B 60 EF DE DEF 90 F 90 EDC 30 2 ACB 60 EDC 60 EDC 是等边三角形 ED DC 2 DEF 90 F 30 DF 2DE 4 17 2014 杭州 把一条 12 个单位长度的线段分成三条线段 其中一条线段长为 4 个单 位长度 另两条线段长都是单位长度的整数倍 1 不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形 用尺规作出这些三角形 用给定的单位长度 不写作法 保留作图痕迹 2 求出 1 中所作三角形外接圆的周长 解 1 3 4 5 4 4 4 2 R1 2 5 外接圆周长为 5 R2 外接圆周长为 4 3 3 8 3 3 18 如图 在 ABC 中 ABC 45 CD AB BE AC 垂足分别为 D E 点 F 是 BC 的中点 BE 与 DF DC 分别交于点 G H ABE CBE 1 线段 BH 与 AC 相等吗 若相等 给予证明 若不相等 请说明理由 2 求证 BG2 GE2 EA2 解 1 相等 证 DBH DCA 得 BH AC 2 连接 CG 证 ABE CBE 得 EC EA 在 Rt CGE 中 由勾股定理得 CG2 GE2 EC2 可证 GF 垂直平分 BC BG CG BG2 GE2 EA2 挑战技能 19 2013 泸州 如图 在等腰直角 ABC 中 ACB 90 O 是斜边 AB 的中点 点 D E 分别在直角边 AC BC 上 且 DOE 90 DE 交 OC 于点 P 则下列结论 图形中全等的三角形只有两对 ABC 的面积等于四边形 CDOE 的面积的 2 倍 CD CE OA AD2 BE2 2OP OC 其中正确的结论有 C 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 20 2014 珠海 如图 在等腰 Rt OAA1中 OAA1 90 OA 1 以 OA1为直角边 作等腰 Rt OA1A2 以 OA2为直角边作等腰 Rt OA2A3 则 OA6的长度为 8 21 2014 金华 如图 等边三角形 ABC 的边长为 6 在 AC BC 边上各取一点 E F 连接 AF BE 相交于点 P 若 AE CF 1 求证 AF BE 并求 APB 的度数 2 若 AE 2 试求 AP AF 的值 解 1 由 SAS 可证 ABE CAF AF BE ABE CAF ABE BAF CAF BAF BAC 60 APB 180 60 120 2 由 1 得 AFC AEP 又 PAE CAF APE ACF AP AF AE AC 2 6 12 AP AC AE AF 22 2014 重庆 如图 ABC 中 BAC 90 AB AC AD BC 垂足是 D AE 平分 BAD 交 BC 于点 E 在 ABC 外有一点 F 使 FA AE FC BC 1 求证 BE CF 2 在 AB 上取一点 M 使 BM 2DE 连接 MC 交 AD 于点 N 连接 ME 求证 ME BC DE DN 解 1 BAC 90 AB AC B ACB 45 FC BC BCF 90 ACF 90 45 45 B ACF BAC 90 FA AE BAE CAE 90 CAF CAE 90 BAE CAF 又 AB AC ABE ACF ASA BE CF 2 过点 E 作 EH AB 于 H 则 BEH 是等腰直角三角形 HE BH BEH 45 AE 平分 BAD AD BC DE HE DE BH HE BM 2DE HE HM HEM 是等腰直角三角形 MEH 45 BEM 45 45 90 ME BC 由题 意得 CAE 45 45 67 5 CEA 180 45 67 5 67 5 1 2 CAE CEA 67 5 AC CE 由 HL 可证 Rt ACM Rt ECM ACM ECM 45 22 5 又 DAE 45 22 5 1 2 1 2 DAE ECM BAC 90 AB AC AD BC AD CD BC 由 ASA 1 2 可证 ADE CDN DE DN 23 1 操作发现 如图 D 是等边 ABC 边 BA 上一动点 点 D 与点 B 不重合 连 接 DC 以 DC 为边在 BC 上方作等边 DCF 连接 AF 你能发现 AF 与 BD 之间的数量关 系吗 并证明你发现的结论 2 类比猜想 如图 当动点 D 运动至等边 ABC 边 BA 的延长线时 其他作法与 1 相 同 猜想 AF 与 BD 在 1 中的结论是否仍然成立 3 深入探究 如图 当动点 D 在等边 ABC 边 BA 上运动时 点 D 与 B 不重合 连接 DC 以 DC 为边在 BC 上方 下方分别作等边 DCF 和等边 DCF 连接 AF BF 探究 AF BF 与 AB 有何数量关系 并证明你探究的结论 如图 当动点 D 在等边 ABC 的边 BA 的延长线上运动时 其他作法与图 相 同 中的结论是否成立 若不成立 是否有新的结论 并证明你得出