用面积法求解几何问题

人教版 初中 用面积法求解几何问题用面积法求解几何问题 江西省会昌县第二中学 342600 王德平 1960907007 江西会昌珠兰示范学校 342606 王晋芳 873642732 解决几何问题有很多方法 在这些方法中很容易被大家忽略的是面积法 面积法既能解决题目中直接涉及面积的问题 也可解决一些题目中不涉及面积 的问题 在平时的学习 解题过程中 如果有意识的使用面积法 可以使有些 几何图形性质的证明 几何问题的解决等起到事半功倍的作用 对有些几何题 如果单纯用图形的几何性质 全等三角形或相似三角形等 知识来解答 会使计算或证明过程很复杂 而用面积法却可以轻松得到解决 下 面举例说明 例例 1 如图 1 E F 分别为 ABCD 的边 CD AD 上的点 且 AE CF 设 AE CF 交于 P 求证 BP 平分 APC 证明证明 连 BE BF AE CF 三角形 ABE 的面积等于三角形 FBC 的面积 即 ABEFBC SS 点 B 到 AE FC 的距离相等 即点 B 到 APC 的两边 PA PC 的距离相等 BP 平分 APC 例例 2 如图 2 已知 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 求证 ABBD ACCD 分析分析 由于 AD 是 A 的平分线 且在 ABD 与 ADC 中 BD DC 边上的 高相等 因此可利用三角形面积公式来证明 证明证明 设 ABC 中 BC 边上的高为 h 则 1 2 ABD SBD h 1 2 ACD SCD h 又 过 D 分别作 DE AB 于 E DF AC 于 F 则 1 2 ABD SAB DE 1 2 ACD SAC DF 于是 11 22 11 22 ABD ADC BD hAB DE S S CD hAC DF 1 2 DE DF 故 1 ABBD ACCD 例例 3 如图 3 P 为 ABC 内任意一点 连 AP BP CP 并分别延长交对边 于 D E F 求证 1 PDPEPF ADBECF 分析分析 本题应用了线段的比转化为面积的比来解决 证明证明 设 P 到 BC CA AB 三边的距离分别为 三边上的高为xyz abc hhh 显然有 BPC aABC SPDx ADhS APC bABC SPEy BEhS APB cABC SPFz FChS 三式相加得 1 PDPEPF ADBECF 例例 4 如图 4 矩形 ABCD 中 M 是 BC 的中点 ABa BCb DEAM 于 E 求证 22 2 4 ab DE ab 证明证明 连 DM M 是 BC 的中点 1 22 AMDABCD ab SS 矩形 1 2 AMD SAM DE AM DEab 又 22 1 4 2 AMab 22 2 4 ab DE ab 例例 5 如图 5 E F 分别在矩形 ABCD 的边 BC CD 上 若 则 3 4 5 CEFABEADF SSS AEF S 解析解析 连 AC 设 则 ACF Sx ACE Sy 45yx 1yx 又 5 3 xCD yAB xCFCF 5 3 xy x 由 联立方程组 解得 5 6 xy 35638 AEF Sxy 例例 5 如图 6 梯形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 设梯 ADBC 2 形 ABCD 的面积为 S AOD 的面积为 AOD 的面积为 AOD 的面 1 S 2 S 积为 试证 是方程的两根 3 S 12 SS 2 3 0 xSxS 分析分析 利用面积之比可以转化为线段之比的办法 可以解决这一问题 证明证明 12 33 SSDOOC SOB SAO 12 2 3 SSDO OC SOB AO ADBC DOAO OBOC 即 12 2 3 1 SS S 123 SSS 又 123 2SSSS 1212 2SSSS 2 12 SS 12 SSS 由 可知 是方程的两根 12 SS 2 3 0 xSxS 以上几个例子 若