河北省邯郸市2016年提前招生考前模拟数学密卷（二）含答案解析

第 1 页（共 33 页） 2016 年河北省邯郸一中提前招生考前模拟数学密卷（二） 一、选择题 1 .设 a 为 的小数部分， b 为 的小数部分则 的值为（ ） A + 1 B +1 C 1 D + +1 2如图，将足够大的等腰直角三角板 锐角顶点 P 放在另一个等腰直角三角板 直角顶点处，三角板 点 P 在平面内转动，且 两边始终与斜边 交， 点 M， 点 N，设 ， AN=x， BM=y，则能反映 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 3如图，两个边长相等的正方形 方形 顶点 E 固定在正方形 对称中心位置，正方形 点 E 顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为 S，旋转的角度为， S 与 的函数关系的大致图象是（ ） 第 2 页（共 33 页） A B C D 4如图， A、 B 是双曲线上的点， A、 B 两点的横坐标分别是 a、 2a，线段 延长线交 x 轴于点C，若 S 则 k 的值是（ ） A 9 B 6 C 5 D 4 5已知抛物线 y=bx+c 的图象如图所示，则下列结论： 0； a+b+c=2； a ； b 1其中正确的结论是（ ） A B C D 6如图，在平面直角坐标系中，直线 l： y= x+1 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 在 x 轴上，点 在直线 l 上若 均为等边三角形，则 周长是（ ） A 24 B 48 C 96 D 192 第 3 页（共 33 页） 7如图，一次函数 y=ax+b 与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点，与反比例函数 y= 相交于 C、 D 两点，分别过 C、 D 两点作 y 轴、 x 轴的垂线，垂足为 E、 F，连接 有下列三个结论： 面积相等； D其中正确的结论个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 8如图， 正方形， O 为 交点， 0， 0，若，则正方形的面积为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 9如图，在 ， A=90， ， ，以 O 为圆心的半圆分别与 相切于D、 E 两点，且 O 点在 上，则图中阴影部分面积 S 阴 =（ ） A B C 5 D 10若实数 a， b 满足 a ab+=0，则 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a4 C a 2 或 a4 D 2a4 11在下列图形中，各有一边长为 4正方形与一个 8长方形相重叠问哪一个重叠的面积最大（ ） 第 4 页（共 33 页） A B C D 12有四张正面分别标有数字 2， 6， 2， 6 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同 现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为 a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为 b，则使关于 x 的不等式组 的解集中有且只有 3 个非负整数解的概率（ ） A B C D 二、填空题 13 y= 的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为 5，则 k 的值为 14已知 |2|+|a 1|=0，则 + + = 15若 3x+1=0，则 的值为 16已知实数 a， b， c 满足 a+b+c=10，且 ，则 的值是 17若 +b+1=0，则 |b|= 18已知 M、 N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 上，点 N 在直线 y= x+3 上，设点 a， b），则 y= a+b） x 的顶点坐标为 三、解答题 19如 图， ， 5， 点 G，现将 叠得到 F 折叠得到 长 交于点 C （ 1）求证：四边形 正方形； （ 2）连接 别交 点 M、 N，将 点 A 逆时针旋转，使 合，得到 判断线段 间的数量关系，并说明理由 （ 3）若 ， ， ，求 长 第 5 页（共 33 页） 20为深化 “携手节能低碳，共建碧水蓝天 ”活动，发展 “低碳经济 ”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用今年 1 月份，再生资源处理量为 40 吨，从今年 1 月 1 日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高 10 吨月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为： p=5000x+450，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为 100 元若该单位每月再生资源处理量为 y（吨），每月的利润为 w（元） （ 1）分别求出 y 与 x， w 与 x 的函数关系式； （ 2）在今年内该单位哪个月获得利润达到 5800 元？ 21已知 关于 x 的一元二次方程（ a 1） 2 3a） x+3=0 （ 1）求证：当 a 取不等于 1 的实数时，此方程总有两个实数根； （ 2）若 m， n（ m n）是此方程的两根，并且 直线 l： y=mx+n 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O在反比例函数 的图象上，求反比例函数 的解析式； （ 3）在（ 2）成立的条件下，将直线 l 绕点 A 逆时针旋 转角 （ 0 90），得到直线 l， l交 ，过点 P 作 x 轴的平行线，与上述反比例函数 的图象交于点 Q，当四边形 面积为 时，求 的值 第 6 页（共 33 页） 22如图，在平面直角坐标系 ，直线 y=x+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A、 B 两点的抛物线 y= x2+bx+c 交 x 轴于另一点 C，点 D 是抛物线的顶点 （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）点 P 是直线 方的抛物线上一点，（不与点 A、 B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，交直线 点 F，作 点 G求出 周长最大值； （ 3）在抛物线 y=bx+c 上是否存在除点 D 以外的点 M，使得 面积相等？若存在，请求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 33 页） 2016 年河北省邯郸一中提前招生考前模拟数学密卷（二） 参考答案与试题解析 一、选择题 1.设 a 为 的小数部分， b 为 的小数部分则 的值为（ ） A + 1 B +1 C 1 D + +1 【考点】 二次根式的化简求值 【分析】 首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出 a、 b 对应的小数部分，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题 【解答】 解： = = = = ， a 的小数部分 = 1； = = = ， b 的小数部分 = 2， = = = = 故选 B 第 8 页（共 33 页） 【点评】 该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答 2如图，将足够大的等腰直角三角板 锐角顶点 P 放在另一个等腰直角三角板 直角顶点处，三角板 点 P 在平面内转动，且 两边始终与斜边 交， 点 M， 点 N，设 ， AN=x， BM=y，则能反映 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 【专题】 数形结合 【分析】 作 H，根据等腰直角三角形的性质得 A= B=45， H= ，则可判断 是等腰直角三角形，得到 B= ， 5，由于 两边始终与斜边 交， 点 M， 点 N，而 5，所以 1x2，再证明 2= 样可判断 用相似比得 = ，则 y= ，所以得到 y 与 x 的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为 1x2 【解答】 解：作 H，如图， 等腰直角三角形， A= B=45， H= ， 是等腰直角三角形， B= ， 5， 两边始终与斜边 交， 点 M， 点 N， 而 5， 1，即 1x2， 第 9 页（共 33 页） 2= 1+ B= 1+45， 1+ 1+45， 2= 而 A= B， = ，即 = ， y= ， y 与 x 的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为 1x2 故选： A 【点评】 本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围 3如图，两个边长相等的正方形 方形 顶点 E 固定在正方形 对称中心位置，正方形 点 E 顺时针 方向旋转，设它们重叠部分的面积为 S，旋转的角度为， S 与 的函数关系的大致图象是（ ） A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 【专题】 压轴题；动点型 第 10 页（共 33 页） 【分析】 过点 E 作 点 M， 点 N，则可证明 而得出重叠部分的面积不变，继而可得出函数关系图象 【解答】 解：如右图，过点 E 作 点 M， 点 N， 点 E 是正方形的对称中心， M， 由旋转的性质可得 在 ， ， 故可得 阴影部分的面积始终等于正方形面积的 故选 B 【点评】 此题考查了动点问题的函数图象，证明 出阴影部分的面积始终等于正方形面积的 是解答本题的关键 4如图， A、 B 是双曲线上的点， A、 B 两点的横坐标分别是 a、 2a，线段 延长线交 x 轴于点C，若 S 则 k 的值是（ ） A 9 B 6 C 5 D 4 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【专题】 计算题 第 11 页（共 33 页） 【分析】 作 x 轴于 D， x 轴于 E，设反比例函数解析式 为 y= （ k 0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得 A、 B 两点的纵坐标分别是 、 ，再证明 用相似比得到 = = = ，则 E，由 OE=a： 2a=1： 2，则 E，所以 据三角形面积公式得到 S S 9=3，然后利用反比例函数 y= （ k0）系数 k 的几何意义得 |k|=3，易得 k=6 【解答】 解：作 x 轴于 D， x 轴于 E，如图， 设反比例函数解析式为 y= （ k 0）， A、 B 两点的横坐标分别是 a、 2a， A、 B 两点的纵坐标分别是 、 ， = = = ， E， OE=a： 2a=1： 2， E， S S 9=3， |k|=3， 而 k 0， k=6 故选 B 第 12 页（共 33 页） 【点评】 本题考查了反比例函数 y= （ k0）系数 k 的几何意义：从反比例函数 y= （ k0）图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 |k|也考查了三角形相似的判定与性质 5已知抛物线 y=bx+c 的图象如图所示，则下列结论： 0； a+b+c=2； a ； b 1其中正确的结论是（ ） A B C D 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【专题】 压轴题 【分析】 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】 解： 抛物线的开口向上， a 0， 与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上， c 0， 对称轴为 x= 0， a、 b 同号，即 b 0， 0， 故本选项错误； 当 x=1 时，函数值为 2， a+b+c=2； 第 13 页（共 33 页） 故本选项正确； 对称轴 x= 1， 解得： a， b 1， a ， 故本选项错误； 当 x= 1 时，函数值 0， 即 a b+c 0，（ 1） 又 a+b+c=2， 将 a+c=2 b 代入（ 1）， 2 2b 0， b 1 故本选项正确； 综上所述，其中正确的结 论是 ； 故选 D 【点评】 二次函数 y=bx+c 系数符号的确定： （ 1） a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a 0；否则 a 0 （ 2） b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x= 判断符号 （ 3） c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c 0；否则 c 0 （ 4） 4符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定： 2 个交点， 40； 1 个交点， 4；没有交点， 40 （ 5）当 x=1 时，可确定 a+b+c 的 符号，当 x= 1 时，可确定 a b+c 的符号 （ 6）由对称轴公式 x= ，可确定 2a+b 的符号 第 14 页（共 33 页） 6如图，在平面直角坐标系中，直线 l： y= x+1 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 在 x 轴上，点 在直线 l 上若 均为等边三角形，则 周长是（ ） A 24 B 48 C 96 D 192 【考点】 一次函数综合题 【专题】 规律型 【分析】 首先求得点 A 与 B 的坐标，即可求得 度数，又由 为等边三角形，易求得 A= ， 1A， 2A，则可得规律： 2n 1） 根据 得 而求得周长 【解答】 解： 点 A（ ， 0），点 B（ 0， 1）， ， ， = ， 0， 为等边三角形， 0， 0， A= ， 1A， 2A， ， 11+2 =3 ， 同理： ， 5 ， 1 ， 3 ， 则 2 则 周长是 96 ， 故选 C 【点评】 此题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的知识此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用 第 15 页（共 33 页） 7如图，一次函数 y=ax+b 与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点，与反比例函数 y= 相交于 C、 D 两点，分别过 C、 D 两点作 y 轴、 x 轴的垂线，垂足为 E、 F，连接 有下列三个结论： 面积相等； D其中正确的结论个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 反比例函数综合题 【分析】 设 D（ x， ），得出 F（ x， 0），根据三角形的面积求出 面积，同法求出 可判断 ；根据全等三角形的判定判断 即可；证出平行四边形 平行四边形到 C 即可 【解答】 解： 设 D（ x， ），则 F（ x， 0）， 由图象可知 x 0， k 0， 面积是 x= k， 同理可知： 面积是 k， 面积等于 面积， 正确； 条件不足，无法证出两三角形全等的条件， 错误； 面积等于 面积， 边 的高相等， 四边形 平行四边形， F， 第 16 页（共 33 页） 同理 C， D， 正确；正确的有 2 个 故选： C 【点评】 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定等知识点的运用，关键是检查学生综合运用定理进行推理的能力，题目具有一定的代表性，有一定的难度，是一道比较容易出错的题目 8如图， 正方形， O 为 交点， 0， 0，若，则正方形的面积为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质 【分析】 过点 O 作 M，作 延长线于 N，判断出四边形 矩形，根据矩形的性质可得 0，再求出 据正方形的性质可得 D，然后利用 “角角边 ”证明 等，根据全等三角形对应边相等可得 N，然后判断出四边形 正方形，设正方形 边长为 2a，根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 利用勾股定理列式求出 据正方形的性质求出 D= a，然后利用四边形 面积列出方程求出 根据正方形的面积公式列式计算即可得解 【解答】 解：如图，过点 O 作 M，作 延长线于 N， 0， 四边形 矩形， 0， 四边形 正方形， 第 17 页（共 33 页） D， 在 ， N， 四边形 正方形， 设正方形 边长为 2a， 0， 0 DE=a， a， 设 DN=x， x+E x，解得： x= ， NE=x+a= ， = ， a=1， S 正方形 故选 B 【点评】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直 角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点 9如图，在 ， A=90， ， ，以 O 为圆心的半圆分别与 相切于D、 E 两点，且 O 点在 上，则图中阴影部分面积 S 阴 =（ ） 第 18 页（共 33 页） A B C 5 D 【考点】 切线的性质；扇形面积的计算 【分析】 首先连接 O 与 于 M、 N 两点，易得四边形 正方形，即可得 0，然后设 OE=x，由 据相似三角形的对应边成比例，即可求得 x 的值，继而由 S 阴影 =S S 正方形 S 扇形 扇形 得答案 【解答】 解：连接 O 与 于 M、 N 两点， 以 O 为圆心的半圆分别与 相切于 D、 E 两点， 即 0， 在 ， A=90， 四边形 矩形， E， 四边形 正方形， 0， 0， 设 OE=x，则 D=OD=x， C x， ， 即 ， 解得： x= ， S 阴影 =S S 正方形 S 扇形 扇形 = 34（ ） 2 = 第 19 页（共 33 页） 故选 D 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定与性质以及扇形的面积此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用 10若实数 a， b 满足 a ab+=0，则 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a4 C a 2 或 a4 D 2a4 【考点】 根的判别式 【分析】 根据题意得到其根的判别式为非负数，据此求得 a 的取值范围即可 【解答】 解： b 是实数， 关于 b 的一元二次方程 a+2=0， =（ a） 2 41（ a+2） 0 解得： a 2 或 a4； a 的取值范围是 a 2 或 a4 故选 C 【点评】 此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式 的关系： 0方程有两个不相等的实数根； =0方程有两个相等的实数根； 0方程没有实数根是本题的关键 11在下列图形中，各有一边长为 4正方形与一个 8长方形相重叠问哪一个重叠的面积最大（ ） A B C D 【考点】 面积及等积变换 【专题】 转化思想 第 20 页（共 33 页） 【分析】 A、阴影部分是长方形，所以长方形的面积等于长和宽的乘积； B、如图，设阴影部分等腰直角的腰为 x，根据勾股定理求出 x 的值，所以，阴影部分的面积等于正方形的面 积减去俩个空白三角形的面积； C、图 C，逆时针旋转 90从后面看，可与图 D 对比，因为图 C 阴影部分的倾斜度比图 D 阴影部分的倾斜度小，所以，图 C 中四边形的底比图 D 中四边形的底小，两图为等高不等底，所以图 C 阴影部分的面积小于图 D 阴影部分的面积； D、图 D，设阴影部分平行四边形的底为 x，根据正方形的面积 =阴影部分的面积 +两个空白三角形的面积，求出 x 的值，再得出阴影部分的面积； 图 A、图 C、图 D 中阴影部分四边形为等高不等底，因为倾斜度不同，所以图 D 中阴影部分的底最大，面积也就最大；因此，只要比较图 B 和图 D 阴影的面积大 小，可得到图 B 阴影部分的面积最大 【解答】 解： A、 S 阴影 =24=8（ B、如图所示：根据勾股定理知， 2，所以 x= ， S 阴影 =44 2 （ 4 ）（ 4 ） = 2（ C、图 C，逆时针旋转 90，并从后面看，可与图 D 对比，因为图 C 的倾斜度比图 D 的倾斜度小，所以，图 C 的底比图 D 的底小，两图为等高不等底，所以图 C 阴影部分的面积小于图 D 阴影部分的面积 D、如图：设阴影部分平行四边形的底为 x，所以，直角三角形的短直角边是 因为正方形的面积 =阴影部分的面积 +两个空白三角形的面积， 所以， 4 2+2x=16，解得 x= ， S 阴影 =2 = 因为， 以， 2 即 2 ，图 B 阴影的面积大于图 D 阴影的面积； 又因为图 A、图 C、图 D 中阴影部分四边形为等高不等底，因为图 D 阴影的倾斜度最大，所以图 故选 B 第 21 页（共 33 页） 【点评】 本题考查了矩形、三角形面积的计算，找出图 A、图 B、图 D 阴影部分四边形等高不等底的特征，倾斜度越大的面积越大，是解答本题的关键 12有四张正面分别标有数字 2， 6， 2， 6 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为 a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为 b，则使关于 x 的不等式组 的解集中有且只有 3 个非负整数解的概率（ ） A B C D 【考点】 列表法与树状图法；一元一次不等式组的整数解 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与使关于 x 的不等式组的解集中有且只有 3 个非负整数解的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：根据题意列出树状图得： 则（ a， b）的等可能结果有：（ 2， 6），（ 2， 2），（ 2， 6），（ 6， 2），（ 6， 2），（ 6， 6），（ 2， 2），（ 2， 6），（ 2， 6），（ 6， 2），（ 6， 2），（ 6， 6）共 12 种； 解 得： x 7，当 a 0， 解 得： ， 根据不等式组的解集中有且只有 3 个非负整数解， 则 3 x 7 时符合要求，故 ， 即 b=6， a=2 符合要求，当 a 0，解 得： ， 根据不 等式组的解集中有且只有 3 个非负整数解， 则 x 3 时符合要求，故 ，即 b= 6， a= 2 符合要求， 故所有组合中只有 2 种情况符合要求， 第 22 页（共 33 页） 使关于 x 的不等式组 的解集中有且只有 3 个非负整数解的概率为： 故选 A 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率以及不等式组的解集用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 二、填空题 13 数 y= 的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为 5，则 k 的值为 或 【考点】 待定系数法求一次函数解析式 【专题】 压轴题 【分析】 首先求出一次函数 y= 与 y 轴的交点坐标；由于函数与 x 轴的交点的纵坐标是 0，可以设横坐标是 a，然后利用勾股定理求出 a 的值；再把（ a， 0）代入一次函数的解析式 y=，从而求出 k 的值 【解答】 解：在 y= 中令 x=0，得 y=3， 则函数与 y 轴的交点 坐标是：（ 0， 3）； 设函数与 x 轴的交点坐标是（ a， 0）， 根据勾股定理得到 2=25， 解得 a=4； 当 a=4 时，把（ 4， 0）代入 y=，得 k= ； 当 a= 4 时，把（ 4， 0）代入 y=，得 k= 故 k 的值为 或 【点评】 解决本题的关键是求出函数与 y 轴的交点坐标， 然后根据勾股定理求得函数与 x 轴的交点坐标，进而求出 k 的值 14已知 |2|+|a 1|=0，则 + + = 【考点】 有理数的混合运算；非负数的性质：绝对值 【专题】 计算题；实数 第 23 页（共 33 页） 【分析】 由绝对值的结果为非负数，且两非负数之和为 0 可得两个绝对值同时为 0，可得 且 a=1，把 a=1 代入 可求出 b 的值为 2，把求出的 a 与 b 代入所求的式子中，利用拆项法把所求式子的各项拆项后，去括号合并即可求出值 【解答】 解： |2|0， |a 1|0，且 |2|+|a 1|=0， 2=0 且 a 1=0，解得 且 a=1， 把 a=1 代入 中，解得 b=2， 则原式 =（ 1 ） +（ ） +（ ） +（ ） =1 = 故答案为： 【点评】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 15若 3x+1=0，则 的值为 【考点】 分式的化简求值 【专题】 压轴题 【分析】 将 3x+1=0 变换成 x 1 代入 逐步降低 x 的次数出现公因式，分子分母同时除以公因式 【解答】 解：由已知 3x+1=0 变换得 x 1 将 x 1 代入 = = = = = 故答案为 【点评】 解本类题主要是将未知数的高次逐步降低，从而求解代入时机比较灵活 16已知实数 a， b， c 满足 a+b+c=10，且 ，则 的值是 【考点】 比例的性质 【分析】 根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案； 【解答】 解 a+b+c=10， 第 24 页（共 33 页） a=10（ b+c）， b=10（ a+c）， c=10（ a+b）， = + + = 1+ 1+ 1 = + + 3， ， 原式 = 10 3= 3= 故填： 【点评】 本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单 17若 +b+1=0，则 |b|= 0 【考点】 配方法的应用；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根 【分析】 首先利用完全平方公式变形得出 +（ b+1） 2=0，利用非负数的性质得出 a=1，b= 1，进一步代入求得答案即可 【解答】 解： +b+1=0， +（ b+1） 2=0， a 1=0， b+1=0， a=1， b= 1， |b|=0 故答案为： 0 【点评】 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 18已知 M、 N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 上，点 N 在直线 y= x+3 上，设点 a， b），则 y= a+b） x 的顶点 坐标为 （ ， ） 【考点】 二次函数的性质 第 25 页（共 33 页） 【分析】 根据反比例函数和一次函数的性质解题 【解答】 解： M、 N 两点关于 y 轴对称， M 坐标为（ a， b）， N 为（ a， b），分别代入相应的函数中得， b= ， a+3=b， ，（ a+b） 2=（ a b） 2+41， a+b= ， y= x， 顶点坐标为（ = ， = ），即（ ， ） 故答案为：（ ， ） 【点评】 主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法解题关键是先求出 a+体代入求出函数的解析式 三、解答题 19如图， ， 5， 点 G，现将 叠得到 F 折叠得到 长 交于点 C （ 1）求证：四边形 正方形； （ 2）连接 别交 点 M、 N，将 点 A 逆时针旋转，使 合，得到 判断线段 间的数量关系，并说明理由 （ 3）若 ， ， ，求 长 【考点】 翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用；勾股定理；正方形的判定 【专题】 探究型 【分析】 （ 1）由图形翻折变换的性质可知 0， D 即可得出结论； 第 26 页（共 33 页） （ 2）连接 H， H， 5，故 0，再证 H，由勾股定理即可得出结论； （ 3）设 AG=x，则 EC=x 4， CF=x 6，在 ，利用勾股定理即可得出 值，同理可得出 长，设 NH=y，在 用勾股定理即可得出 值 【解答】 （ 1）证明： 折而成， 0， G， 折而成， 0， G， 5， 0， 四边形 矩形， D， 四边形 正方形； （ 2） 理由：连接 转而成， H， H， 由（ 1） 0， D， 5， 0， ， H， （ 3）设 C=x，则 EC=x 4， CF=x 6， 在 ， 第 27 页（共 33 页） （ x 4） 2+（ x 6） 2=100， 2， 2（舍去） 2， B=2， 0， = =12 ， ， D 2 3 =9 ， 设 NH=y， 在 ， 9 y） 2+（ 3 ） 2，解得 y=5 ，即 【点评】 本题考查的是翻折变换及勾股定理，解答此类题目时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案 20为深化 “携手节能低碳，共建碧水蓝天 ”活动，发展 “低碳经济 ”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用今年 1 月份，再生资源处理量为 40 吨，从今年 1 月 1 日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高 10 吨月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为： p=5000x+450，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为 100 元若该单位每月再生资源处理量为 y（吨），每月的利润为 w（元） （ 1）分别求出 y 与 x， w 与 x 的函数关系式； （ 2）在今年内该单位哪个月获得利润达到 5800 元？ 【考点】 二次函数的应用 第 28 页（共 33 页） 【分析】 （ 1）根据 “今年 1 月份，再生资源处理量为 40 吨，从今年 1 月 1 日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高 10 吨 ”写出 y 与 x 的关系式；然后根据每月利润 =月销售额月处理成本，可得到 w 与 x 的函数关系式； （ 2）把 w=5800 代入（ 1）中 w 与 x 的函数关系式求得相应的 x 的值即可； 【解答】 解：（ 1）设 y=kx+b， 根据题意，将（ 1， 40），（ 2， 50）代入 y=kx+b， 得： ， 解得： ， 故每月再生资源处理量 y（吨）与 x 月份之间的关系式为： y=10x+30， w=100y p =100（ 10x+30）（ 5000x+450） = 5000x+2550； （ 2）由 5000x+2550=5800 得： 18x+65=0 3， x12， x=5， 在今年内该单位第 5 个月获得利润达到 5800 元 【点评】 本题主要考查了一次函数、二次函数解析式的求法和用方程解决实际应用题，根据题意理清变量间的联系是解题的根本，准确抓住相等关系列函数关系式是关键 21已知关于 x 的一元二次方程（ a 1） 2 3a） x+3=0 （ 1）求证：当 a 取不等于 1 的实数时，此方程总有两个实数根 ； （ 2）若 m， n（ m n）是此方程的两根，并且 直线 l： y=mx+n 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 O在反比例函数 的图象上，求反比例函数 的解析式； 第 29 页（共 33 页） （ 3）在（ 2）成立的条件下，将直线 l 绕点 A 逆时针旋转角 （ 0 90），得到直线 l， l交 ，过点 P 作 x 轴的平行线，与上述反比例函数 的图象交于点 Q，当四边形 面积为 时，求 的值 【考点】 根的判别式；根与系数的关系；坐标与图形性质；反比例函数的图象；旋转的性质 【专题】 综合题 【分析】 （ 1）由方程（ a 1） 2 3a） x+3=0 为一元二次方程，所以 a0；要证明方程总有两个实数根，即证明当 a 取不等于 1 的实数时， 0，而 =（ 2 3a） 2 4（ a 1） 3=（ 3a 4） 2，即可得到 0 （ 2）先利用求根公式求出两根 3， ，再代入 ，可得到 a=2，则 m=1， n=3，直线 l： y=x+3，这样就可得到坐标原点 O 关于直线 l 的对称点，代入反比例函数 ，即可确定反比例函数 的解析式； （ 3）延长 于点 G，设 P（ 0， p），则 Q（ ， p）四边形 面积 =S ，这样可求出 p；可得到 求出 0，这样就可求出 【解答】 （ 1）证明： 方程（ a 1） 2 3a） x+3=0 是一元二次方程， a 10，即 a1 第 30 页（共 33 页） =（ 2 3a） 2 4（ a 1） 3=（ 3a 4） 2，而（ 3a 4） 20， 0 所以当 a 取不等于 1 的实数时，此方程总有两个实数根； （ 2）解： m， n（ m n）是此方程的 两根， m+n= ， ， = ， = ， a=2，即可求得 m=1， n=3 y=x+3，则 A（ 3， 0） ， B（ 0，