2012高考数学知识考点精析16 平面向量与空间向量

1 第十六讲平面向量与空间向量第十六讲平面向量与空间向量 1 向量 既有大小又有方向的量 注意向量和数量的区别 向量常用有向线段来表示 有 向线段的长度叫向量的模 注意不能说向量就是有向线段 长度为 0 的向量叫零向量 记 作 注意零向量的方向是任意的 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 常用0 表示 表示 BAC 的e AB AB AB 表示与同向的单位向量 C 0 C ABA ABA 角平分线上的向量 共线向量 也叫平行向量 方向相同或相反的非零向量 平行于a 记作 bab 规定零向量和任何向量平行 注意 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定相等 表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上 向量可以平移 共线向量的方向不一定相同或相反 因为零向量的方程是任意的 相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是 aa 2 向量加法 设 ABa BCbACababABBCAC 那么向量叫做与的和 即 作向量的加法有 三角形法则 和 平行四边形法则 其中 平行四边形法则 只适用于 不共线的向量 作向量减法有 三角形法则 设由减向量 ABa ACbabABACCA 那么 和终点指向被减向量和终点 注意 此处减向量与被减向量的起点相同 3 向量共线定理 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数 使得ba b a0a 4 平面向量的基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线的向量 那么对这一平 1 e 2 e 面内的任一向量存在唯一的一对有序实数使成立 不共线向量a 12 1 122 aee 表示这一平面内所有向量的一组基底 1 e 2 e 5 向量平行的坐标表示 对空间向量 1221 0abx yx y 111222121212 ax y zbxyza babxxyyzz 6 空间直线的向量参数方程 如图 A B P 三点共线aAB P B A O 2 特别当 t 时 此时 P 为BtOAOPA OBtOAt 1 2 1 OBOAOP 2 1 AB 的中点 O 为空间任一点 即P A B 三点共线 1OPxOAyOB xy 7 两个向量的夹角 对于非零向量 作ab 称为向量 的夹角 当 0 时 同向 0OAa OBbAOB ab ab 当 时 反向 当 时 垂直 ab 2 ab 向量的数量积 如果两个非零向量 它们的夹角为 我们把数量叫做ab cosa b 与的数量积 或内积或点积 记作 即 规定 零向量aba ba bcosa b 与任一向量的数量积是 0 注意数量积是一个实数 不再是一个向量 向量数量积的性质 设两个非零非零向量 ab 2 22 1cos 20 3 4 cos e aa eaa eaba b a ba ba b aa aaaa a b a b 5 当 同向时 当与反向时 当为锐角时 aba ba b aba ba b 为正且 不同向 当为钝角时 为负且 不反向 a baba ba b a bab a ba b 当为锐角时 0 且不同向 是是为锐角的必要非充分为锐角的必要非充分 a b a b 0a b 条件条件 当为钝角时 0 且不反向 是是为钝角的必要非充分为钝角的必要非充分 a b a b 0a b 条件条件 如 如 1 1 已知 如果与的夹角为锐 a ba b 2 a 2 3 b a b 3 角 则的取值范围是 答 或且 4 3 0 1 3 数量积的的运算律 已知向量实数 下面 1 2 3 分别叫做交换律 数乘 a b c 和 结合律 分配律 2 3a bb aaba bababca cb c 注意下列式子是错误的 12ab ca bca bb cac 2233 304 5000 a b a babaa bbaba bab b 或 平面向量数量积的坐标表示 11221212 ax ybxya bx xy y 那么 空间向量数量积的坐标表示 11122212121 2 ax y zbxyza bx xy yz z 那么 8 向量的长度和两点间的距离公式 2 2222 22 11222121 1 2 ax yaxyaxy A x yB xyABxxyy 那么 若那么 2 222222 222 111222212121 3 4 ax y zaxyzaxyz A x y zB xyzABxxyyzz 那么 若那么 9 两向量垂直的充要条件 非零非零向量 0 11221212 ax ybxya bx xy y 那么ab 非零向量 0 11122212121 2 ax y zbxyza bx xy yz z 那么ab 10 叫在上的投影 的几何意义是它等于的模与在上的投影的cosb baa baaba 积 注意 投影也叫射影 是一个数 可正可负也可为 0 不再是一个向量 有两种计算方式 cos a b abaa b b 在上的投影 11 向量与平面平行 如果向量所在直线在平面内或与平面平行 则称向量与平面平行 注意与直线与平面平行的区别 共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量 空间任意两个向量都共面 包括两条异面 直线上的向量 空间三个向量不一定共面 不共面的三个向量可构成空间的一个基底 共面向量定理 如果两个向量 不共线 则向量与向量 共面的充要条件是存abpab 4 在实数对 x y 使得 x y pab 共面向量定理的推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x y 使 或对空间任一点 O 有MByMAxMP MByMAxoMop m n k 1 这也是证四点共面的方法 OBkOAnOMm 12 空间向量基本定理 如果三个向量 不共面 那么对空间任一向量 存在abcp 一个唯一的有序组 x y z 使 x y z 其中 叫做空间的一个基底 pabcabc 都叫做基向量 abc 13 空间直角坐标系 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直 且长度都为 1 则这 个基底叫做单位正交基底 常用 i j k 表示 而空间坐标系的建立是 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 i j k 以 O 为原点 分别以 i j k 的方向为正方向建立三条数 轴 x 轴 y 轴 z 轴 它们都叫坐标轴 O xyz 为空间坐标系 向量 i j k 为坐标向量 通过每两条数轴的平面叫做坐标平面 分别叫做 xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面 作空间坐 标系时 一般使 xOy 135 或 45 yOz 90 在空间坐标系中 让右手拇指指向 x 轴的正方向 食指指向 y 轴的正方向 如果中指指向 z 轴的正方向 则称此坐标系为右手 直角坐标系 14 向量与平面垂直 如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面 则称这个向a 量垂直于平面 此时向量叫做平面 的法向量 a 15 线段的定比分点 设点 P 是直线 P P 上异于 P P 的任意一点 若存在一个实数 1212 使 P P PP 叫做点 P 分有向线段所成的比 P 点叫做有向线段的以定 1 2 12 PP 12 PP 比为的定比分点 当 P 点在线段 P P 上时 0 当 P 点在线段 P P 的延长线上时 12 12 1 当 P 点在线段 P P 的延长线上时 1 0 21 若点 P 分有向线段所成的比为 则点 P 分有向线段所成的比为 12 PP 21 P P 1 定比分点的坐标公式 设 12 11122212 12 1 1 xx x P x yP xyP x yPPPP yy y 在使用定比分点的坐标公式时 应明确 x y x y x y 的意义 即分别 1122 为分点 起点 终点的坐标 一般在计算中应根据题设 自行确定起点 分点和终点并根 5 据这些点确定对应的定比 当 1 时 就得到 P P 的中点公式 12 12 12 2 2 xx x yy y 16 在中 若 则其重心的坐标为ABC 112233 A x yB xyC xy 123123 33 xxxyyy G 为的重心 特别地 1 3 PGPAPBPC GABC 为的重心 0PAPBPCP ABC 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在 0 ACAB ABAC ABC BAC 直线 的内心 0AB PCBC PACA PBP ABC S AOB ABBA yxyx 2 1 如 1 1 若 O 是所在平面内一点 且满足 则ABC 2OBOCOBOCOA 的形状为 答 直角三角形 2 2 若为的边的中点 ABC DABC BC 所在平面内有一点 满足 设 则的值为ABC P0APBPCP AP PD 答 2 3 3 若点是的外心 且 则的内角为OABC 0OAOBCO ABC C 答 120 17 平移公式 将点 P x y 按