函数及其表示

第二章第二章 函函 数数 函数及其表示函数及其表示 导学目标 1 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的 概念 2 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法等 表示函数 3 了解简单的分段函数 并能简单应用 自主梳理 1 函数的基本概念 1 函数定义 设 A B 是非空的 如果按照某种确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的 在 集合 B 中 称 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 x 的取值范围 A 叫做 函数的 叫做函数的值域 2 函数的三要素 和 3 函数的表示法 表示函数的常用方法有 4 函数相等 如果两个函数的定义域和 完全一致 则这两个函数相等 这是判定两函数 相等的依据 5 分段函数 在函数的 内 对于自变量 x 的不同取值区间 有着不同的 这样的函数通常叫做分段函数 分段函数是一个函数 它的定义域是各段取值区间的 值域是各段值域的 2 映射的概念 1 映射的定义 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意 一个元素 x 在集合 B 中 确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f A B 为从集合 A 到集合 B 的 2 由映射的定义可以看出 映射是 概念的推广 函数是一种特殊的映 射 要注意构成函数的两个集合 A B 必须是 数集 自我检测 1 2011 佛山模拟 设集合 M x 0 x 2 N y 0 y 2 给出下列 4 个图形 其 中能表示集合 M 到 N 的函数关系的有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2 2010 湖北 函数 y 的定义域为 1 log0 5 4x 3 A 1 B 3 4 3 4 C 1 D 1 1 3 4 3 2010 湖北 已知函数 f x Error 则 f f 等于 1 9 A 4 B 1 4 C 4 D 1 4 4 下列函数中 与函数 y x 相同的函数是 A y B y 2 x2 xx C y lg 10 x D y 2log2x 5 2011 衡水月考 函数 y lg ax2 ax 1 的定义域是 R 求 a 的取值范围 探究点一 函数与映射的概念 例 1 教材改编 下列对应关系是集合 P 上的函数的是 1 P Z Q N 对应关系 f 对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应 y x2 x P y Q 2 P 1 1 2 2 Q 1 4 对应关系 f x y x2 x P y Q 3 P 三角形 Q x x 0 对应关系f 对P中三角形求面积与集合Q中元素对应 变式迁移 1 已知映射 f A B 其中 B 其中 A B R 对应关系 f x y x2 2x 对于实数 k B 在集合 A 中不存在元素与之对应 则 k 的取值范围是 A k 1 B k 1 C kf 2x 的 x 的范围 是 1 与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式 这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范 围 第二类是实际问题或几何问题 此时除要考虑解析式有意义外 还应考虑使实际问题或 几何问题有意义 第三类是不给出函数的解析式 而由 f x 的定义域确定函数 f g x 的定义域或由 f g x 的定义域确定函数 f x 的定义域 第四类是已知函数的定义域 求参数范围问题 常转化为恒成立问题来解决 2 解析式的求法 求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法 除此还有代入法 拼凑法和方程组 法 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 下列各组中的两个函数是同一函数的为 1 y1 y2 x 5 x 3 x 5 x 3 2 y1 y2 x 1 x 1 x 1 x 1 3 f x x g x x2 4 f x F x x 3 x4 x3 3 x 1 5 f1 x 2 f2 x 2x 5 2x 5 A 1 2 B 2 3 C 4 D 3 5 2 函数 y f x 的图象与直线 x 1 的公共点数目是 A 1B 0 C 0 或 1D 1 或 2 3 2011 洛阳模拟 已知 f x Error 若 f x 3 则 x 的值是 A 1B 1 或 3 2 C 1 或 D 3 233 4 2009 江西 函数 y 的定义域为 ln x 1 x2 3x 4 A 4 1 B 4 1 C 1 1 D 1 1 5 2011 台州模拟 设 f x x2是从集合 A 到集合 B 的映射 如果 B 1 2 则 A B 为 A B 1 C 或 2 D 或 1 题号12345 答案 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 下列四个命题 1 f x 有意义 2 函数是其定义域到值域的映射 x 21 x 3 函数 y 2x x N 的图象是一条直线 4 函数 y Error 的图象是抛物线 其中正确的命 题个数是 7 设 f x Error g x Error 则 f g 3 g f 1 2 8 2010 陕西 已知函数 f x Error 若 f f 0 4a 则实数 a 三 解答题 共 38 分 9 12 分 1 若 f x 1 2x2 1 求 f x 的表达式 2 若 2f x f x x 1 求 f x 的表达式 3 若函数 f x f 2 1 又方程 f x x 有唯一解 求 f x 的表达式 x ax b 10 12 分 已知 f x x2 2x 3 用图象法表示函数 g x 并写出 g x 的 f x f x 2 解析式 11 14 分 2011 湛江模拟 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销 售的统计规律 每生产产品 x 百台 其总成本为 G x 万元 其中固定成本为 2 万元 并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入 R x 万元 满足 R x Error 假定该产品产销平衡 那么根据上述统计规律 1 要使工厂有盈利 产品 x 应控制在什么范围 2 工厂生产多少台产品时盈利最大 此时每台产品的售价为多少 答案答案 自主梳理 1 1 数集 任意一个数 x 都有唯一确定的数 f x 和它对应 定义域 函数值的集合 f x x A 2 定义域值域 对应关系 3 解析法 列表法 图象法 4 对应关系 5 定义域 对应关系 并集 并集 2 1 都有唯一 一个映射 2 函数 非空 自我检测 1 B 对于题图 1 M 中属于 1 2 的元素 在 N 中没有象 不符合定义 对于题图 2 M 中属于 2 的元素的象 不属于集合 N 因此它不表示 M 到 N 的函数 4 3 关系 对于题图 3 符合 M 到 N 的函数关系 对于题图 4 其象不唯一 因此也不表示 M 到 N 的函数关系 2 A 3 B 4 C 5 解 函数 y lg ax2 ax 1 的定义域是 R 即 ax2 ax 1 0 恒成立 当 a 0 时 1 0 恒成立 当 a 0 时 应有Error 0 a 4 综上所述 a 的取值范围为 0 a 4 课堂活动区 例 1 解题导引 函数是一种特殊的对应 要检验给定的两个变量之间是否具有函数 关系 只需要检验 定义域和对应关系是否给出 根据给出的对应关系 自变量在其定 义域中的每一个值 是否都有唯一确定的函数值 2 解析 由于 1 中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中没有对应元素 并且 3 中集合 P 不是数集 所以 1 和 3 都不是集合 P 上的函数 由题意知 2 正确 变式迁移 1 A 由题意知 方程 x2 2x k 无实数根 即 x2 2x k 0 无实数 根 4 1 k 1 时满足题意 例 2 解题导引 在 2 中函数 f 2x 1 的定义域为 0 1 是指 x 的取值范围还是 2x 1 的取值范围 f x 中的 x 与 f 2x 1 中的 2x 1 的取值范围有什么关系 解 1 要使函数有意义 应有Error 即Error 解得Error 所以函数的定义域是 x 1 x 1 或 1 x 2 2 f 2x 1 的定义域为 0 1 1 2x 1 3 所以 f x 的定义域是 1 3 变式迁移 2 1 9 10 9 102 解析 由Error 得 10 时 由 f x x 得 x 2 方程 f x x 有 3 个解 方法二 由 f 4 f 0 且 f 2 2 可得 f x x2 bx c 的对称轴是 x 2 且顶 点为 2 2 于是可得到 f x 的简图 如图所示 方程 f x x 的解的个数就是函数图象 y f x 与 y x 的图象的交点的个数 所以有 3 个解 变式迁移 4 1 1 2 解析 函数 f x Error 的图象如图所示 f 1 x2 f 2x Error 解得 1 x 1 2 课后练习区 1 C 1 定义域不同 2 定义域不同 3 对应关系不同 4 定义域相同 且对应关系相 同 5 定义域不同 2 C 有可能是没有交点的 如果有交点 那么对于 x 1 仅有一个函数值 3 D 该分段函数的三段各自的值域为 1 0 4 4 而 3