江苏省2016届高考数学预测试卷(三)含答案

1 开始 输入 w w 50 N Y 输出 c 结束 （第 4 题） c 25+( c 苏省 2016 届高考预测卷 三 一、填空题：本大题共 14 题，每小题 5分，共 70分请把答案填写在 答题纸相应位置上 1. 已知集合 1 3 5 9U ， ， ， ， 1 3 9A ， ， ， 1 9B ， ，则 ()U 5 2. 已知 实数 a ， b 满足 ( 9 + 3 i ) ( i ) 1 0 4 （其中 i 是虚数单位），则 65 3 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 14 4 如图，是 某 铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c （单位：元）与行李重量 w （单位：千克）之间的流程图 假定某旅客的托运费为 10 元，则该旅客托运的行李重量为 20 千克 5. 命题：“若 0a ，则 2 0a ”的否命题是“ 若 0a ，则 2 0a ” 6. 在 平面 直角坐标系 ， 曲线 x x 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 7. 如图 ，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 62 8. 已知 0x ， 0y ，且 2 5 2 0，则 l g l 的最大值为 1 9. 设 a ， b ， c 为三条不同的直线，给出如下两个命题： 若 /，则 ；若 ， ，则 / 试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设 ， ， 为三个不同的平面， 若 /， ，则 10. 在 锐角 ， 若 次成等差数列，则 1 11. 设向量 a c o s 2 5 s i n 2 5 ，b s i n 2 0 c o s 2 0 ，若 t 是实数，且 tu a b ，则 u 的最小值为 22 12. 如图 ，三次 函数 32y a x b x c x d 的零点为 1 1 2, , ，则该函数 的 单调减区间为 2 7 2 733, 13. 已知角 ， 满足 3 若 2)3，则 ) 的值为 15 14. 如图，点 O 为 重心，且 B ， 6，则 C值为 72 二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 请在 答题纸指定区域 内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （第 7 题） O 20 40 60 80 100 成绩 6 4 2 10 8 人数 （第 12 题） 1 1 2O x y 2 B A （ 第 16 题 ） C E F G D 15. （本题满分 14分） 在平面直角坐标系中，设向量 m 3 c o s s i ， ， n c o s 3 s i ， ， 其中 A， B 为 两个内角 （ 1） 若 求 证： C 为 直角 ； （ 2） 若 /求 证： B 为锐角 【解】（ 1）易得 3 c o s c o s s i n s i n 3 c o s ( )A B A B A B （ 3 分 ） 因为 所以 ，即 c o s ( ) c o 因 为 0 ，且函数 在 (0 )， 内是单调减函数， 所以 2，即 C 为 直角 ； （ 6 分 ） （ 2） 因为 /所以 3 c o s 3 s i n s i n c o s 0A B A B ， 即 s i n c o s 3 c o s s i n 0A B A B （ 8 分 ） 因为 A， B 是三角形内角，所以 ， 于是 ,因而 A， B 中恰有一个是钝角 （ 10 分 ） 从而22t a n t a n 3 t a n t a n 2 t a nt a n ( ) 01 t a n t a n 1 3 t a n 1 3 t a B B B ， 所以 B ，即证 B 为锐角 （ 14 分 ） 16. （本题满分 14 分） 如图，在四面体 ， 90，点 E， F 分别为棱 的点， 点 G 为棱 中点，且平面 平面 证： （ 1） 12 （ 2） 平面 平面 证明：（ 1） 因为 平面 平面 平面 平面 面 平面 所以 (4 分 ) 又 G 为 中点， 故 E 为 中点， 同理可得， F 为 中点， 所以 12(7 分 ) 3 北 北 A B C （第 18 题） 45 165 （ 2）因为 由（ 1）知， E 为 中点， 所以 又 90，即 由（ 1）知， 以 又 E， 面 所以 平面 (12 分 ) 又 面 故平面 平面 (14 分 ) 17. （本题满分 14 分） 如图， 缉私船在 A 处测出某走私船在方位角为 45，距离为 10 海里的 C 处，并测得 走私船 正沿 方位角 165的方向以 9 海里 /时的速度沿直线方向航行 我缉私船立即以 v 海里 /时的速度沿直 线方向前去截获 （ 1）若 v 21 ，求缉私船的航向和 截获 走私船所需的时间；（参考结论： 2 3314） （ 2）若缉私船有两种不同的航向均能 成功截获 走私船 ，求 v 的 取值范围 解： （ 1）设缉私船 截获 走私船所需的时间为 t h， 依题意，得 60， 在 ，由正弦定理， 得， 9s i n s i n s i B A C t 60 3314， 所以 22， 从而方位角为 4522 67 ， (3 分 ) 在 ，由余弦定理得 ， 2 2 2( ) ( 9 ) 1 0 2 9 1 0 c o sv t t t 60 ， 当 v 21 时， 23 6 9 1 0 0 ， 解得 512t（负值已舍）， 答：缉私船的航向 约 为 方位角 67 ， 截获 走私船所需时间为 512h (7 分 ) （ 2）由（ 1） 知， 2 2 2( ) ( 9 ) 1 0 2 9 1 0 c o sv t t t 60 ， 即2 21 0 0 9 081v ， 令 1 0，因为缉私船有两种不同的航向均能 成功截获 走私船， 所以关于 x 的方程 221 0 0 9 0 8 1 0x x v 必有两不同的正实根， (11 分 ) 4 所以 2228 1 09 0 4 0 0 8 1 0 ，解得 93 92 v (14 分 ) 18. （本题满分 16 分） 在平面直角坐标系 ， 设 椭圆 C ： 2222 1 ( 0 )yx 的焦距为 26，且过点 2 5， （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2）设点 P 是椭圆 C 上横坐标大于 2 的一点，过点 P 作圆 22( 1) 1 的两条切线分别与 y 轴交于点 A ， B ，试确定点 P 的坐标，使得 面积最大 解： （ 1）由题意得， 2 2 6c ，且22251，（ 2 分） 又 2 2 2c a b， 故 2 12a ， 2 6b ， 所以 椭圆 C 的方程为 22 112 6；（ 5 分） （ 2）设 点00( )P x y，其中 0 2 2 3x ，且 2200112 6，又设 (0 )， (0 )，不妨 ， 则直线 方程为：0 0 0( ) 0y m x x y x m ， 则圆心 (1 0)， 到直线 距离为0022 1()y m x my m x ， 化简得 20 0 0( 2 ) 2 0x m y m x ， （ 8 分） 同理， 20 0 0( 2 ) 2 0x n y n x ， 所以 m ， n 为方程 20 0 0( 2 ) 2 0x x y y x 的两根， 则 220 0 0202 4 ( 2 )( 2 )y x ， （ 10 分） 又 面积为 )2 m n x， 所以 2220 0 0 020( 2 )( 2 )y x 2 20020( 2 ) 82 ( 2 )x ， （ 12 分） 令 0 2 0 2 3 2 ，记 222( 8 ) ( 2 )() 2t， 5 则 324( 2 ) ( 1 6 )( ) 0t t t 在 0 2 3 2，恒成立， 所以 () 0 2 3 2，上单调递增， 故 2 3 2t ，即0 23x 时， ()大， 此时 面积最大 （ 16 分） 19 （本题满分 16 分） 已知函数 32()f x a x b x c x b a (a0， b， cR ) （ 1）设 0c 若 ， ()0 的切线过点 (1， 0)，求0 若 ，求 ()区间 0 1， 上的最大值； （ 2）设 ()2处取得极值，求证：11()f x x，22()f x x不同时成立 解 ： （ 1）当 0c ， 0a 时， 32()f x a x b x b a ， 0 1x ， ， 若 ，则 32()f x ax ，从而 20 0 0( ) 3 2f x a x a x ， 故 ()0 的切线方程为 3200y ax 20 0 03 2 ( )a x a x x x， 将点 (1， 0)代入上式并整理得， 2001 0 0 0(1 ) 3 2x x x， 解得0 0x 或0 1x；（ 5 分） 若 ，则由 2 2( ) 3 2 3 03 bf x a x b x a x x a 得， 0x 或 2 13bx a， 若 0b ，则 ( ) 0 ，所以 () 0 1x ， 上的增函数，从而 ()最大 值为 (1) 0f ；（ 7 分） 若 0b ，列表： x 0 20 3 23 2 13 1 () 0 ()0 极小值 0 所以 ()最大值为 (1) 0f ， 综上， ()最大值为 0 ；（ 10 分） 6 （ 2）证明：假设 存在实数 a， b， c，使得11()f x x与22()f x x同时成立， 不妨设12则1()2() 因为1212为 ()两个极值点， 所以 212( ) 3 2 3 ( ) ( )f x a x b x c a x x x x (a0)， 因为 12 x x x ，时， ( ) 0 ，所以 ()区间 12 的减函数， 从而1()2()与1()2() 故假设不成立，即不 存在实数 a， b， c，使得11()f x x与22()f x x同时成立 (16 分 ) 20 （本题满分 16 分） 已知有穷数列 n N ，都有1 2 1 3 2 1 2 1n n n n na b a b a b a b a b 122n n 成立 （ 1）若 首项和公差相等，求证： （ 2） 若 证： 12b n 证明：（ 1）依题意，1na 且111（ 2 分） 因为1 2 1 3 2 1 2 1n n n n na b a b a b a b a b 122n n ， 所以1 1 2 2 3 3 2 2 1 1n n n n na b a b a b a b a b 2 ( 1) 2n n （ 2n ）， 得， 1 1 2 2 1( ) 2 1nn n na b b b b b （ 2n ）， （ 4 分） 所以 11 1 2 2 1( ) 2 1b b b b （ 3n ）， 得， 11 2（ 3n ），即 112a （ 3n ），（ 6 分） 中，令 2n 得，1 2 2 1 4a b a b，即1 2 1 124a b a b，所以2 12b a， 所以 112a ， n *N ， 从而1 2 ，即证 等比数列；（ 8 分） 7 （ 2）因为 妨设公比为 q ， 因为1 2 1 3 2