江苏省扬州市2016届高三四模（5月）数学试卷含答案

数学试题第 1页（共 11页） x x5 y 10x y f y 扬州市 2015年度高三第四次模拟测试 数 学 试 题 （ 全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟 ） 2016 5 注意事项： 1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1已知集合 | 1 2 A x x ， Z 是整数集，则 2若复数 z 满足 1iz i （ i 为虚数单位），则 z 3 命题 “ 2, 1 0x R x x ”的否定 4已知 中， 21, 2 ,3a b C ，则边 c 的长度为 5 下面是一个算法的伪代码如果输出的 y 值是 20， 则输入的 x 值是 6 在区间 2,1 内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 7在三棱锥 P 中， 两垂直，且 3 , 2 , 1P A P B P C ，则三棱锥 P 体积为 8 已知 且 为锐角，则 9在平面直角坐标系 ，如果直线 l 将圆 22 4 2 0x y x y 平分，且不经过第四象限，那么 l 的斜率的取值范围是 10 已知等边 中，若 1 ()3A P A B A C， A Q A P t A B，且 Q ，则实数 t 的值为 11 设双曲线 )0,0(12222 ，右准线 l 与两条渐近线交于 P、 果 是等边三角形，则双曲线的离心率是 （第 5 题图） 数学试题第 2页（共 11页） 12 设函数2l o g ( ) ( 0 )() 2 ( 0 )x x ，若关于 x 的方程 2 ( ) ( ) 0f x a f x恰有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为 13 已知数列 n 项和，且21（ n ）若不等式 2016对任意 n 恒成立，则实数 的最小值为 14 已知函数 32()f x a x b x c x d 在 O、 A 两点处取得极值，其中 O 是坐标原点， A 在曲线 2s i n ( , )33y x x x 上，则曲线 ()y f x 的切线斜率的最大值为 二、解答题 （ 本大题共 6 小题，计 90 分 解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤 ） 15（本小题 满分 14 分） 已知向量 ( s i n ( ) , 1 )2， (1, c o s ( ) )2( 0 , 0 )4 ， 记 函数( ) ( ) ( )f x a b a b 若 函数 ()y f x 的周期为 4，且经过点 1(1, )2M （ 1）求 的值； （ 2）当 11x 时，求函数 () 16（本小题 满分 14 分） 在三棱锥 P A， D 分别为边 中点，且 3 , 8 , 5 B C C D （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若平面 面 l ，求证： /l 16 题图） 数学试题第 3页（共 11页） 17 （本小题 满分 14 分） 某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为 30 元，并且每百 支 水笔的加工费为 中 m 为常数，且 36m）设该工厂黑色水笔的出厂价为 x 元 /百支（ 35 40x ），根据市场调查，日销售 量与 反比例，当每百支水笔的出厂价为 40 元时，日销售量为 10万支 （ 1） 当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润 y 最大，并求 y 的最大值 （ 2） 已知工厂 日利润达到 1000元才能保证工厂的盈利若 该 工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利， 则每百 支 水笔的加工费 m 最多为多少元？（精确到 ） 18（本小题 满分 16 分） 已知椭圆 22 1 ( 0 )xy 的长轴长为 4，椭圆的离心率为 32设点 M 是椭圆 上不在坐标轴上的任意一点，过点 M 的直线分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B 两点 上，且满足13B （ 1）求证：线段 长是一定值； （ 2）若点 关于原点的对称点，一过原点 O 且与直线 行的直线与椭圆交于 P、 Q 两点（如图），求四边形 积的最大值，并求出此时直线 y Q P N M B A O x （ 第 18 题图） 数学试题第 4页（共 11页） 19（本小题 满分 16 分） 数列 d ( 0)d 的等差数列，它的前 n 项和记为列 1)q 的等比数列，它的前 n 项和记为 若 110，且存在不小于 3 的正整数 , （ 1）若1 1a， 2d ， 3q ， 4m ，求 （ 2）若1 1a， 2d ，试比较2说明理由； （ 3）若 2q ，是否存在整数 , 86若存在，求出 ,不存在，说明理由 20（本小题 满分 16 分） 已知函数 ()1 a x R （ 1）求函数 () （ 2）当 1,2x 时， () ，求 实数 a 的值； （ 3）试问过点 (02)P ， 可作多少条直线与曲线 ()y f x 相切？并说明理由 数学试题第 5页（共 11页） 2015年度 高三第四次模拟 测试 数 学 试 题 参 考 答 案 2016 5 一、填空题 1 0,1 2 1i 3 “ 2, 1 0x R x x ” 4 7 5 2 或 6 6 237 1 8 359 10, 210 2311 2 12 1, ) 13 1201714 32二、解答题 （ 本大题共 6 小题，计 90 分 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15解：（ 1） 2222( ) ( ) ( ) s i n ( ) c o s ( ) c o s ( 2 )22f x a b a b a b x x x 4 分 由题意得：周期 2 4T ，故26 分 （ 2） 图象过点 1(1, )2M， 1c o s ( 2 )22 即 1，而 04，故 26，则 ( ) c o s ( )26f x x 10 分 当 11x 时， 23 2 6 3x 1 c o s ( ) 12 2 6x 当 13x时，) 1，当 1x 时，() 2 14 分 16 证：（ 1） A， D 分别为边 中点，且 8 /C 且 4 3,A 5D 2 2 2S A A D S D 90 即 D B 3 分 C ， B A ， 平面 平面 平面 平面 平面 7 分 （ 2） /C ， 平面 平面 平面 10 分 平面 平面 面 l /l 14 分 17 解：（ 1）设日销量为40 1000401000 则日售量为 401000 日利润 401000( 3 0 )x m e 即 401 0 0 0 ( 3 0 )xe x my e ，其中 35 40x 3 分 令 0y 得 31 当 34m时， 34 31 35m 当 35 40x 时， 0y 数学试题第 6页（共 11页） 当 35x 时， y 取最大值，最大 值为 51000(5 ) 5 分 当 46m时， 35 31 37m ，函数 y 在 35,31 m 上单调递增，在 31 ,40m 上单调递减 当 31时， y 取最大值 91000 7 分 当 34m时， 35x 时，日利润最大值为 51000(5 )元 当 46m时， 31时，日利润最大值为 91000 元 8 分 （ 2）由题意得： 401 0 0 0 ( 3 0 ) 1000xe x 对 35, 40x 恒成立 10 分 则4030 对 35, 40x 恒成立 设40( ) 3 0x ， 35,40x 404 0 4 0( ) 1e 则 ()35,40 上单调增，则m i n 51( ) ( 3 5 ) 5h x h e ， 即515m e 每百 支 水笔的加工费 m 最多约为 答：每百 支 水笔的加工费 m 最多约为 14 分 18解：（ 1）由题意得： 2432 ，则 231b 椭圆方程为： 2 2 14x y 3 分 设00( , )M x y，则 220 0 14x y13B 且 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上 003( , 0 ) , ( 0 , 3 )2A x B y 22 2 2 200 0 09 9 9 ( ) 944 x y y 3为定值 7 分 （ 2）方法（一）设11( , )P x y / A x ， 220044 则直线 02 9 分 0022214y 22 01 220022 01 22004161616 2222 002 2 2 20 0 0 04 1 6 6444 1 6 1 6 O P x y x y 点 M 到直线00: 2 0P Q y x x y的距离：0 0 0 0 0 02200| 2 | | 3 |24x y x y x 12 分 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2 222 0 0 0 0003 | | ( 4 4 )182 2 1 2 1 22 2 1 6 4 4 1 616四 边 形 M P N Qx y x y y P Q dx y y 数学试题第 7页（共 11页） 42002012 31 ，令 203 1, 1t y t ，则 242002011() 1 4 133 ( 5 )3 1 9 9t t 当且仅当 2t 时，取等号；即 203 1 2y 时，m a x( ) 4四 边 形 M P N ，此时220018,3324 16 分 方法（二）设直线 k ，则003 232P Q A k ，则直线 y ， 直线 y ， 9 分 解方程组 22,1,4y y 2214Mx k ，用 2k 代 k 得，221 1 6Px k ， 由椭圆的对称性知 2 2 2002 2 2 1 | | O M x y k x ， 点 P 到直线 2| | | ( 2 ) | 3 | |1 1 1p p p p pk x y k x k x k k k ， 12 分 由椭圆的对称性知，四边形 面积 12 2 6 | | | |2P M N M M N d x k x 2 2 2 2 2222 22 4 | | 2 4 2 4 2 4 4,11 4 1 1 6 ( 1 4 ) ( 1 1 6 ) 16 4 2 0 2 6 4 2 0kk k k k k k 当且仅当 221 64 ，即 24k 时 取等号， 所以，四边形 面积的最大值为 4，此时直线 4k 16 分 19 解：（ 1） 34 3 2 7 ，即 2 1 27k ， 14k ，14 196A 3 分 （ 2）依题意， 22 4且 1 21，显然 1q 又 2222 11 ( 2 1 ) 1 mm qB k ， 所以2 2 222 1 ( 2 1 ) 1 41 k q 2 2 2 21 ( 2 1 ) 4 ( 4 1 ) 1 k q k q ， 6 分 设 2 2 2 2( ) ( 2 1 ) 4 ( 4 1 )f x k x k x k ， 2(1 ) ( 2 1 ) 1 0 它是关于 x 的二次函数，它的图象的开口向上， 数学试题第 8页（共 11页） 它的对称轴方程 224 12 ( 2 1)kx k ，故 ()1, ) 上的增函数， 所以当 1x 时 ( ) (1) 0f x f，即220，所以22 9 分 （ 3）依题 意： 11 2 b a ， 由 86：118621a a q ak q ， 即11 111 22 862 1 2mm k ， 4 8 6 2 1 2 8 6224 8 6 4 8 6m ， 12 分 所以1516344 21 ， 因为 92 512 ，故 19m ，且 5 1 6 4 1 2 9 4 3 4 3 ， 且 121m 为奇数 则其中 12 1 129m 时，151621m 是整数， 故 17m ， 8m 且 340k 16 分 20 解：（ 1）2211( ) a a x x x ， 0a 时， ( ) 0在 (0, ) 上恒成立，则 ()调递减区间 (0, ) ， 0a 时， 令 10 则 1即 10 时， ( ) 0，则 () 单调递减区间1(0, )a 3 分 （ 2） 12a， ()1,2 上 单调递减，m i n 1( ) ( 2 ) l n 2 02f x f a ， 解得： 112 2a ，适合题意； 1a ， ()1,2 上 单调递增，m i n( ) (1 ) 1 0f x f ，无解； 1 12 a， ()1, 调递减 ， 1 ,2调递增 ，m i n 11( ) ( ) l n 0f x f a ，解得 ： ，舍去； 综上 可得： 12 8 分 （ 3） 0a 时， 有 1 条 切线； 0a 时， 有 2 条 切线 设切点坐标是00( , ( )x f x，依题意：002( ) 2 10f x a 即00011l n 2a x ， 化简得：002 l n 2 0a x 设 2( ) l n 2F x a x ， 0x 故函数 ()0, ) 上零点个数，即是曲线切线的条数 10 分 22( ) a a x x x 数学试题第 9页（共 11页） 当 0a 时， 2( ) 2，在 (0, ) 上恰有一个零点 1； 11 分 当 0a 时，2 2( ) 0x在 (0, ) 上恒成立， ()0, ) 上单调递减， 且 (1) 0 ， 2( ) 2 0Fe e 故 ()1, )e 上 有且只有一个 零点， 当 0a 时， ()0, ) 上恰有一个零点； 12 分 0a 时， ()(0, )a 上递减，在 2( , )a 上递增， 故 ()0, ) 上至多有两个零点，且 (1 ) 2 2 0F a a 又函数 在 (1, ) 单调递增，且值域是 (0, ) ， 故对任意实数 a ，必存在0 (1, )x ，使0 2ln ax a，此时 0 0 0002 2 2( ) l n 2 ( l n ) 0aF x a x a a xx x a 由于 2 1， 即函数 (), ) 14 分 1 1 1( 1 ) 1 1 21( ) 2 ( 1 ) 2 2 ( 2 3 )a a aa a aF e e a a a e a 先证明当 0a 时， 11 2( 2 )a ，即证 11 2 l n ( 2 ) 若 (0,2)a ， 113 ，而 2 2 ) 2 a ，由于 2 6 3 若 2, )a ，构建函数 1( ) 1 2 l n ( 2 )x x ， 322 2 21 2 2 ( 1 ) 2 ( ) 1 02 ( 2 ) ( 2 )x x x x x x x x ()x 在 2, ) 为增函数， 1( ) ( 2 ) 3 2 l n 4 02a 综上 0a 时， 11 2( 2 )a ，所以 11 2 2 2 22 2 ( 2 ) 2 3 ( 2 5 ) 2 3a ae a a a a a a a ，故 1(1 )( ) 0a 又 1( 1 )(1 ) 0 , 1a ，所以在 1(1 )( ,1)a 必有一零点 当 0a 时， ()0, ) 上 有两 个零点 综上： 0a 时， 有 1 条 切线； 0a 时， 有 2 条 切线 16 分 数学试题第 10页（共 11页） 数 学 试 题 参考答案 21（ B） 解：因为 2 1 131 11 ， 则 2313，解得 12所以 1221A 5 分 由212( ) ( 1 ) 4 021f ， 所以 ( 1)( 3) 0 21 1, 3 1 所 以 另 一 个 特 征 值 是 10 分 21（ C） 解： 直线 l 的参数方程为 12a t（ t 为参数） 所以直线的直角坐标系方程是： 2 2 0x y a 2 分 圆的 直角坐标系方程是： 2224 （ ） ，圆心（ 2， 0），半径 2r 4 分 设圆心到直线的距离为 d， 22 11 42d ， 所以 52d 7 分 又 4 2 2 5255 所以 9122a 或 10 分 22 解：（ 1）设 “恰 有一个数据为过度上网 ” 为事件 A，则 213 1 2 4( ) ( )3 3 9P A C 3 分 （ 2） 甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网 ，则 224222666( 0 ) 225C 1 1 2 1 1 24 2 2 2 4 4226656( 1 ) 225C C C C C C 1 1 1 1 2 2 2 24 2 4 2 4 4 2 22266101( 2 ) 225C C C C C C C C 2 1 1 2 1 12 4 2 4 4 2226656( 3 ) 225C C C C C C 222422666( 4 ) 225C 8 分 X 0 1 2 3 4 P 6225 56225 101225 56225 6225 5 6 1 0 1 5 6 6( ) 2 3 4 2