2014高考数学一轮总复习 2.7 幂函数与函数的图象教案 理 新人教A版

1 2 72 7 幂函数与函数的图象幂函数与函数的图象 典例精析 题型一 幂函数的图象与性质 例 1 点 2 在幂函数 f x 的图象上 点 2 在幂函数 g x 的图象上 2 1 4 1 求 f x g x 的解析式 2 问当 x 为何值时 有 g x f x f x g x f x g x 解析 1 设 f x xa 因为点 2 在幂函数 f x 的图象上 将 2 代入 f x 22 xa 中 得 2 a 解得 a 2 即 f x x2 2 设 g x xb 因为点 2 在幂函数 g x 的图象上 将 2 代入 g x xb 中 得 1 4 1 4 2 b 解得 b 2 即 g x x 2 1 4 2 在同一坐标系中作出 f x 和 g x 的图象 如图所示 由图象可知 当 x 1 或 x 1 时 g x f x 当 x 1 时 f x g x 当 1 x 1 且 x 0 时 f x g x 点拨 1 求幂函数解析式的步骤 设出幂函数的一般形式 y xa a 为常数 根据 已知条件求出 a 的值 写出幂函数的解析式 本题的第 2 问采用了数形结合的思想 即在同一坐标系下画出两函数的图象 借助图象求 出不等式和方程的解 这一问也可用分类讨论的思想 x2 即 x4 1 x 1 以 1 x2 x 1 1 为分界点分 x 1 1 x 1 x 1 x 1 五种情况进行讨论 也能得到 同样的结果 变式训练 1 函数 f x m2 m 1 32 2 mm x 是幂函数 且当 x 0 时是减函数 求实数 m 解析 因为 f x 为幂函数 所以 m2 m 1 1 解得 m 2 或 m 1 当 m 2 时 f x x 3 在 0 上是减函数 当 m 1 时 f x x0 在 0 上不是减函数 所以 m 2 题型二 作函数图象 例 2 作下列函数图象 1 y 1 log2x 2 y 2 x 1 2 3 y x2 4 解析 1 y 1 log2x 的图象是 2 y 2 x 1 的图象是 3 y x2 4 的图象是 变式训练 2 在下列图象中 二次函数 y ax2 bx 与指数函数 y x 的图象只可能是 b a 解析 A 题型三 用数形结合思想解题 例 3 已知 f x x2 4x 3 1 求 f x 的单调区间 2 求 m 的取值范围 使方程 f x mx 有 4 个不同实根 解析 递增区间为 1 2 3 递减区间为 1 2 3 2 设 y mx 与 y f x 有四个公共点 过原点的直线 l 与 y f x 有三个公共点 如图所 示 令它的斜率为 k 则 0 m k 由 34 2 xxy kxy 3 x2 k 4 x 3 0 令 k 4 2 12 0 k 4 2 3 当 k 4 2时 方程 的根 x1 x2 1 3 舍去 当 k 4 2时 方程 333 的根 x1 x2 1 3 符合题意 故 0 m 4 2 33 点拨 1 作出 f x 的图象 2 利用 1 的图象 研究函数 y mx 与 y f x 的交点情况 变式训练 3 若不等式 x2 logax 0 对 x 0 恒成立 则实数 a 的取值范围是 1 2 A 0 a 1 B a 1 1 16 C a 1 D 0 a 1 16 解析 原不等式为 x2 logax 设 f x x2 g x logax 因为 0 x 1 而 logax x2 0 所以 0 a 1 作出 f x 在 x 0 内 1 2 1 2 的图象 如图所示 因为 f 所以 A 当 g x 图象经过点 A 时 1 2 1 4 1 2 1 4 loga a 因为当 x 0 时 logax x2 g x 图象按如图虚线位置变化 所 1 4 1 2 1 16 1 2 以 a 1 故答案为 B 1 16 题型四 有关图象的对称问题 例 4 设函数 f x x x 0 0 的图象为 C1 C1 关于点 A 2 1 对 1 x 称的图象为 C2 C2 对应的函数为 g x 1 求函数 y g x 的解析式 并确定其定义域 2 若直线 y b 与 C2 只有一个交点 求 b 的值 并求出交点的坐标 解析 1 设 P u v 是 y x 上任意一点 所以 v u 1 x 1 u 设 P 关于 A 2 1 对称的点为 Q x y 所以 2 4 yv xu 2 4 yv xu 代入 得 2 y 4 x y x 2 1 4 x 1 x 4 所以 g x x 2 其定义域为 4 4 1 x 4 2 联立方程得 4 1 2 x xy by x2 b 6 x 4b 9 0 所以 b 6 2 4 4b 9 b2 4b 0 b 0 或 b 4 所以 当 b 0 时 交点为 3 0 当 b 4 时 交点为 5 4 4 变式训练 4 函数 f x 的定义域为 R 且满足 f x 是偶函数 f x 1 是奇函数 若 f 0 5 9 则 f 8 5 等于 A 9B 9 C 3 D 0 解析 因为 f x f x f x 1 f x 1 所以 f 2 x f x f x 则 f 4 x f x 2 f x 即 4 是函数 f x 的一个周期 所以 f 8 5 f 0 5 9 故应选 B 本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题 合理进行转化是解题 的关键 总结提高 掌握描绘函数图象的两种基本方法 描点法和图象变换法 函数图象为研究函数的性质 解决方程 不等式中的问题提供了一种直观方法