人教版五年级下册数学《最大公因数和最小公倍数》知识点和精选练习题

人教版五年级下册数学人教版五年级下册数学 最大公因数和最小公倍数最大公因数和最小公倍数 知识知识 点及重点题分析点及重点题分析 最大公因数最大公因数 一 基础知识一 基础知识 1 定义 几个数公有的因数中 其中最大的公因数叫做它们的最大公定义 几个数公有的因数中 其中最大的公因数叫做它们的最大公 因数 因数 2 2 求最大公因数的方法 求最大公因数的方法 列举法 列举法 短除法 短除法 把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数 连续去除这几 个数 一直除到各个商是互质数为止 也可以用较大的合数质公因数去 除 然后把左半圈所有除数相乘 所得的积就是这几个数的最大公因数最大公因数 例如 求 36 24 48 的最大公因数 2 36 24 48 2 18 12 24 3 9 6 12 3 2 4 此时 3 与 2 4 都互质 这三个数的公因数只有 1 停止短除 即用 短除法求最大公因数时 要使所有的数最后所得的商没有公因数就可 如 果其中几个商有公因数 也不再除 因此 36 24 48 的最大公因数是 2 2 3 12 3 3 求两个数最大公因数的特殊情况 求两个数最大公因数的特殊情况 当两个数成倍数关系时 较小数就是这两个数的最大公因数 互质的两个数最大公因数是 1 如连续的非零自然数 不同的质数等 4 4 最大公因数和公因数的关系 最大公因数和公因数的关系 所有的公因数都是这两个数的因数 最大公因数是这些公因数中最大的 所有的公因数都是这两个数的因数 最大公因数是这些公因数中最大的 2 2 求最大公因数在计算中的应用求最大公因数在计算中的应用 作用 最大公因数在计算中的最重要的作用是约分 即把分数的分子和分 母约成最大公因数为 1 的最简分数 化最简分数最简捷的方法 短除法求出最大公因数 用划线法分别约去分子分母的最大公因数 分别写出分子 分母被最大 公因数除的商 练习 1 填空 A b 都是非 0 自然数 如果 a b 10 那么 b 的最大公因数是 最小公 倍数是 解题分析 由题可知 是 b 的倍数 此时两数的最大公因数是其中的较小数 b 最 小公倍数是其中的较大数 B 甲 2 3 5 乙 2 3 7 甲和乙的最大公因数是 2 化最简分数 63 18 98 24 75 45 50 36 3 判断 A比的分数单位小 所以比小 63 18 21 6 63 18 21 6 B 分子分母是不同的质数 分子 分母的最大公因数一定是 1 C 分子分母分别是不同的合数 分子 分母的最大公因数一定不是 1 D 分子分母是两个连续的非零自然数 分子 分母的最大公因数一定是 1 E 两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小 三 求最大公因数的实际问题三 求最大公因数的实际问题 1 五年级 2 班男生有 48 人 女生有 36 人 男 女生分别排队 要使 每排的人数相同 每排最多有多少人 解题分析 解题分析 由题意得 要使每排的人数相同 每排最多有多少人 就是 求同时能整除五年级 2 班男生 女生的非零自然数 即问题 每排最 多有多少人 就是求男生 女生的最大公因数 关键点 关键点 每排人数相同 意味着每排人数是 48 和 36 的公因数 最多 就是求 48 和 36 的最大公因数 解答过程解答过程 2 36 48 3 18 24 2 6 8 3 4 36 48 的最大公因数为 2 3 2 12 36 48 的最大公因数为 12 答 每排最多有 12 人 2 将 48 本练习本和 64 支铅笔平均分给若干名同学 如果练习本和铅笔都 没有剩余 且保证分到铅笔和练习本的人数相同 最多能分给多少名同学 解题分析解题分析 由题意得 分到铅笔和练习本的人数相同 最多能分给多少名 同学 此时铅笔分得的人数和练习本分得的人数分别是 48 和 64 的公 因数 要求最多能分给多少同学 就是求 48 和 64 的最大公因数 关键点关键点 练习本和铅笔分别单独平均分 保证分到铅笔和练习本的人数 相同 即分到铅笔和练习本的同学数是 48 和 64 的最大公因数 解题过程 解题过程 2 48 64 4 24 32 2 6 8 3 4 48 64 的最大公因数为 2 4 2 16 48 64 的最大公因数为 16 答 最多能分得有 16 人 3 用 48 朵红花和 36 多黄花做成花束 两种花都没有剩下 如果每个花束 的红花朵数相同 黄花朵数相同 每一束最少有几朵花 此时一共能扎几 束 解题分析解题分析 由题意 每个花束的红花朵数相同 黄花朵数相同 每一束最 少有几朵花 可知此时花束的数量分别是 48 和 36 的最大公因数 解答过程 2 48 36 2 24 18 3 12 9 4 3 48 36 的最大公因数为 2 2 3 12 红花 48 12 4 朵 36 12 3 朵 答 每一束最少有 7 朵花 此时一 共能扎几 12 束 同步练习 将一块长 80 米 宽 56 米的长方形土地划分成面积相等的小正方形 小 正方形的面积最大是多少平方米 关键点 关键点 小正方形的面积是 80 56 的最大公因数 一张长方形木板 长 56 厘米 宽 40 厘米 如果把它剪成若干个同样大 的正方形 使边长是整厘米数且没有剩余 最少能剪多少个 关键点 关键点 小正方形的边长是 40 56 的最大公因数 求出小正方形的边长 后 还需用长方形的面积除以小整形的面积 才可以求出最少减去小正方 形的个数 有三根木棒 分别长 12 厘米 16 厘米 44 厘米 要把它们截成同样长 的小棒 不能有剩余 每根小棒最长是多少厘米 关键点 小棒长是关键点 小棒长是 12 16 44 的最大公因数 的最大公因数 最小公倍数最小公倍数 1 基础知识基础知识 一 最小公倍数 一 最小公倍数 1 1 最小公倍数 最小公倍数 几个数共有的倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公 倍数 2 2 求最小公倍数的方法 求最小公倍数的方法 列举列举 短除法 短除法 把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数 连 续去除这几个数 一直除到各个商是互质数为止 然后把所有除数相乘 再乘以每个数除完以后所得的商 所得的积就是这几个数的最小公倍数 最小公倍数 例如 求 36 24 48 的最大公因数 2 36 24 48 2 18 12 24 3 9 6 12 3 2 4 此时 3 与 2 互质 但 2 与 4 还有公因数 2 需再除一次 直到两两互 质为止 否则三个数的最小公倍数就大了 2 36 24 48 2 18 12 24 3 9 6 12 2 3 2 4 3 1 2 这时三个数的公因数只有 1 停止短除 36 24 48 的最小公倍数是 2 2 3 2 3 2 144 注意 当几个数较小时 求最小公倍数就是想哪个数是这几个数的倍数 注意 当几个数较小时 求最小公倍数就是想哪个数是这几个数的倍数 而且这个数最小 而且这个数最小 当几个数较大时或不容易思考得出最小公倍数时 适合用列举法或短除法 当几个数较大时或不容易思考得出最小公倍数时 适合用列举法或短除法 二 基础练习 二 基础练习 1 填空 填空 几个数公有的倍数 叫做这几个数的 其中 的一个叫 做这几个数的 两个连续自然数的最小公倍数是 20 这两个自然数是 和 把 分数化成和原来相等的 分母分数 叫做通 分 通分的依据是 通分时 先求出原来几个分母的 然后把各数分别化成用 这个 做分母的分数 两个不同质数的和是 10 他们的最小公倍数是 54 可能是哪两个数的最小公倍数 请你任意写出满足条件的两个数 和 和 甲 2 2 5 乙 2 3 5 那么甲 乙 的最小公倍数是 2 写出下列各组数的最小公倍数 写出下列各组数的最小公倍数 3 和 6 8 和 10 3 和 9 6 和 5 9 和 4 2 和 7 8 和 6 27 和 54 100 和 25 3 判断 判断 相邻两个自然数 0 除外 的积一定是它们的最小公倍数 自然数 a 是自然数 b 的 5 倍 则 a 和 b 的最小公倍数是 4 思维提升思维提升 两个数的最大公因数是 15 最小公倍数是 90 这两个数是 和 或 和 解析 设这两个数分别是 A 和 B 15 A B 最小公倍数 90 15 有两种组合 90 15 2 3 15 1 6 所以这两个数是 15 1 15 15 6 90 或 15 2 30 15 3 45 二 求最小公倍数在计算中的应用二 求最小公倍数在计算中的应用 1 1 作用 作用 通分通分 1 通分 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数 叫做通分 通分时 公分母一般为几个数的最小公倍数 2 通分的方法 1 用列举法或短除法求出几个分数的分母的最小公倍数 2 将每个分数用分数的基本性质 将分母化成它们的最小公倍数 分 母乘多少 分子乘多少 2 同步练习 同步练习 1 4 5 15 7 20 11 17 19 17 5 10 1 5 1 6 5 18 13 11 3 5 3 11 8 5 2 9 5 12 5 9 4 11 15 7 3 7 4 2 14 11 8 11 3 8 3 16 5 2 1 5 4 2 X 6 1 3 1 7 6 7 1 18 13 36 5 36 19 计算题方法解析 计算题方法解析 异分母分数分数单位不相同 不能直接相加减 通分就是把分数单位不同 的异分母分数化成分数单位相同的同分母分数 计算步骤 计算步骤 用列举法或短除法求出所有分母的最小公倍数 用分数的基本性质把分数化成以最小公倍数为分母的分数 用同分母分数加减法的法则计算 即分母不变 分子相加减 三 求最小公倍数在解决问题时的应用三 求最小公倍数在解决问题时的应用 1 月季每 4 天浇一次水 君子兰每 6 天浇一次水 2018 年 5 月 10 日 李 梨给月季和君子兰同时浇了水 下次给这两种花同时浇水是 2018 年几月 几日 解题分析解题分析 每 4 天浇一次月季 即有 1 个 4 天就给月季浇一次水 同理 每 6 天给君子兰浇一次水 即 1 个 6 天就给君子兰浇一次水 6 月 10 日李 阿姨同时给两种花浇水 那么从 10 日起 每多 1 个 4 给君子兰浇一次水 每多 1 个 6 天 就给君子兰浇一次水 若两花最近依次同时浇水 则一定 比 6 月 10 日多出的天数 是 4 和 6 的最公倍数 解答过程解答过程 求 6 4 的最小公倍数 2 6 4 3 2 6 4 的最小公倍数为 2 3 2 12 6 月 12 日 12 日 6 月 24 日 答 下次同时浇水在 2018 年 6 月 24 日 2 二年级 2 班同学的总人数在 50 以内 间操站队形 8 人一组 或 6 人一组 都正好分完 这个班可能是多少人 解题分析 求解题分析 求 8 和和 6 的最小公倍数 由题意的最小公倍数 由题意 三年级 1 班同学的总人 数在 50 以内 体育课上站队形 可以分成 8 人一组 也可以分成 6 人一 组 都正好分完 可知 三年 1 班的人数一定是 6 和 8 的最小公倍数 的倍数 而 6 和 8 的最小公倍数是 24 所以这个班在 50 以内的人数可能 是 24 或 48 同步练习 同步练习 小卖部有 70 多个松花蛋 装 4 个一排的蛋托或装进 6 个一 排的蛋托中 都正好装完 有多少个蛋 关键点 本题和上题的区别是松花蛋的总数是 70 多 即松花蛋总数的十 位数字是已知的 所以本题的答案唯一 同步练习同步练习 8 路车每 6 分钟发一次车 5 路车每 8 分钟发一次车 它们在 12 00 同时发车 至少过多少分钟两路车才第二次同时发车 3 一家三口在体育场跑步 爸爸跑一圈用 3 分钟 妈妈跑一圈用 4 分钟 小红跑一圈用 6 分钟 1 如果爸爸妈妈同时起跑 至少多少分钟后两人在起点再次相遇 此 时爸爸妈妈分别跑了多少圈 解题分析解题分析 在起点处再次相遇 意味着爸爸 妈妈分别跑了几个整圈后 都在起点处再次相遇 此时的时间一定是 3 和 4 的公倍数 解答 解答 3 和 4 的最小公倍数是 12 所以爸爸 妈妈至少 12 分钟后再次在 起点处相遇 2 如果三人同时起跑 多少分钟后又同时相遇 解题分析 解题分析 本题是求 3 4 12 的最小公倍数 4 一座喷泉共有内外两层喷泉构成 外层喷泉每隔 10 分钟喷一次 里层 喷泉每隔 6 分钟喷一次 晚上 5 45 同时喷过一次后 下一次同时喷水是 几时几分 解题分析 解题分析 每隔 10 分钟 是每 11 分喷泉喷一次 里面每隔 6 分钟喷一次 即每 7 分喷泉喷一次 所以下一次喷水的时间应该是 10 和 6 的最小公倍 数 解题过程 解题过程 11 和 7 的最小公倍数为 77 分 5 时 45 分 77 分 7 时 2 分 答 下一次喷水的时间为 7 时 2 分 5 有一种饮料 小瓶装的 6 元一瓶 大瓶装的 8 元一瓶 妈妈带的钱无论 买大瓶装还是小瓶装 都剩下 3 元 妈妈至少带了多少元 解题分析 解题分析 妈妈无论买 6 元的大瓶装或是 8 元的大瓶装 都剩 3 元 即妈 妈的钱去掉 3 元 一定是 6 元和 8 元的公倍数 6 和 8 的最小公倍数