【三维设计】2013届高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第二章 函数的图象教学案（含解析）新人教A版

1 第五节第五节函数的图象函数的图象 知识能否忆起 一 利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表 描点 连线 首先 确定函数的定义域 化简函数解析式 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 其次 列表 尤其注意特殊点 零点 最大 值点 最小值点 与坐标轴的交点 最后 描点 连线 二 利用基本函数的图象作图 1 平移变换 1 水平平移 y f x a a 0 的图象 可由y f x 的图象向左 或向右 平 移a个单位而得到 2 竖直平移 y f x b b 0 的图象 可由y f x 的图象向上 或向下 平 移b个单位而得到 2 对称变换 1 y f x 与y f x 的图象关于y轴对称 2 y f x 与y f x 的图象关于x轴对称 3 y f x 与y f x 的图象关于原点对称 4 要得到y f x 的图象 可将y f x 的图象在x轴下方的部分以 x轴为对称轴 翻折到x轴上方 其余部分不变 5 要得到y f x 的图象 可将y f x x 0 的部分作出 再利用偶函数的图象 关于y轴的对称性 作出x 0 时的图象 3 伸缩变换 1 y Af x A 0 的图象 可将y f x 图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍 横 坐标不变而得到 2 y f ax a 0 的图象 可将y f x 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍 纵坐 1 a 标不变而得到 小题能否全取 1 一次函数f x 的图象过点A 0 1 和B 1 2 则下列各点在函数f x 的图象上的是 2 A 2 2 B 1 1 C 3 2 D 2 3 解析 选 D 一次函数f x 的图象过点A 0 1 B 1 2 则f x x 1 代入验证 D 满足条件 2 函数y x x 的图象大致是 解析 选 A 函数y x x 为奇函数 图象关于原点对称 3 教材习题改编 在同一平面直角坐标系中 函数f x ax与g x ax的图象可能 是下列四个图象中的 解析 选 B 因a 0 且a 1 再对a分类讨论 4 教材习题改编 为了得到函数y 2x 3的图象 只需把函数y 2x的图象上所有的 点向 平移 个单位长度 答案 右 3 5 若关于x的方程 x a x只有一个解 则实数a的取值范围是 解析 由题意a x x 令y x x Error 图象如图所示 故要使a x x只有一解 则a 0 答案 0 1 作图一般有两种方法 直接作图法 图象变换法 其中图象变换法 包括平移 变换 伸缩变换和对称变换 要记住它们的变换规律 注意 对于左 右平移变换 可熟记口诀 左加右减 但要注意加 减指的是 自变量 否则不成立 2 一个函数的图象关于原点 y轴 对称与两个函数的图象关于原点 y轴 对称不 同 前者是自身对称 且为奇 偶 函数 后者是两个不同的函数对称 3 作函数的图象 典题导入 例 1 分别画出下列函数的图象 1 y lg x 2 y 2x 2 3 y x2 2 x 1 自主解答 1 y Error 图象如图 1 2 将y 2x的图象向左平移 2 个单位 图象如图 2 3 y Error 图象如图 3 由题悟法 画函数图象的一般方法 1 直接法 当函数表达式 或变形后的表达式 是熟悉的基本函数时 就可根据这些函 数的特征直接作出 2 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移 翻折 对称得到 可 利用图象变换作出 但要注意变换顺序 对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形 并 应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 以题试法 1 作出下列函数的图象 1 y x x2 2 y x 2 x 1 解 1 y Error 即y Error 其图象如图 1 所示 实线部分 4 2 y 1 先作出y 的图象 再将其向右平移 1 个单位 并向 x 1 3 x 1 3 x 1 3 x 上平移 1 个单位即可得到y 的图象 如图 2 x 2 x 1 识图与辨图 典题导入 例 2 2012 湖北高考 已知定义在区间 0 2 上的函数y f x 的图象如图所示 则y f 2 x 的图象为 自主解答 法一 由y f x 的图象知 f x Error 当x 0 2 时 2 x 0 2 所以f 2 x Error 故y f 2 x Error 法二 当x 0 时 f 2 x f 2 1 当x 1 时 f 2 x f 1 1 观察各选项 可知应选 B 答案 B 由题悟法 看图说话 常用的方法 1 定性分析法 通过对问题进行定性的分析 从而得出图象的上升 或下降 的趋势 利用这一特征分析解决问题 2 定量计算法 通过定量的计算来分析解决问题 3 函数模型法 由所提供的图象特征 联想相关函数模型 利用这一函数模型来分析 解决问题 5 以题试法 2 1 如图 函数f x 的图象是曲线OAB 其中点O A B的坐 标分别为 0 0 1 2 3 1 则f的值等于 1 f 3 2 2012 东城模拟 已知函数对任意的x R 有f x f x 0 且当x 0 时 f x ln x 1 则函数f x 的图象大致为 解析 1 由图象知f 3 1 1 f f 1 2 1 f 3 1 f 3 2 对 x R 有f x f x 0 f x 是奇函数 f 0 0 y f x 的图象关于 原点对称 当x 0 时 f x f x ln x 1 ln 1 x 由图象知符合上述 条件的图象为 D 答案 1 2 2 D 函数图象的应用 典题导入 例 3 2011 新课标全国卷 已知函数y f x 的周期为 2 当x 1 1 时f x x2 那么函数y f x 的图象与函数y lg x 的图象的交点共有 A 10 个 B 9 个 C 8 个 D 1 个 自主解答 根据f x 的性质及f x 在 1 1 上的解析式可作图如下 6 可验证当x 10 时 y lg 10 1 0 x 10 时 lg x 10 时 lg x 1 结合图象知y f x 与y lg x 的图象交点共有 10 个 答案 A 若本例中f x 变为f x x 其他条件不变 试确定交点个数 解 根据f x 的性质及f x 在 1 1 上的解析式可作图如下 由图象知共 10 个交点 由题悟法 1 利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出在给定区间上图象的函数 其性质 单调性 奇偶性 周期性 最值 值域 零点 常借助于图象研究 但一定要注意性质与图象特征的对应关系 2 利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时 可以通过函数图象来研究方程的根 方程f x 0 的根就 是函数f x 图象与x轴的交点的横坐标 方程f x g x 的根就是函数f x 与g x 图象 的交点的横坐标 以题试法 3 已知函数f x 2 x2 g x x 若f x g x min f x g x 那么f x g x 的最大值是 注意 min 表示最小值 解析 画出示意图 实线部分 f x g x Error 其最大值为 1 答案 1 1 函数f x 2x3的图象 A 关于y轴对称 B 关于x轴对称 C 关于直线y x对称 D 关于原点对称 7 解析 选 D 显然函数f x 2x3是一个奇函数 所以其图象关于原点对称 2 函数y Error 的图象大致是 解析 选 B 当x 0 时 函数的图象是抛物线 当x 0 时 只需把y 2x的图象在y 轴右侧的部分向下平移 1 个单位即可 故大致图象为 B 3 2012 北京海淀二模 为了得到函数y log2 x 1 的图象 可将函数y log2x 1 2 的图象上所有的点的 A 纵坐标缩短到原来的 横坐标不变 再向右平移 1 个单位长度 1 2 B 纵坐标缩短到原来的 横坐标不变 再向左平移 1 个单位长度 1 2 C 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向右平移 1 个单位长度 D 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向左平移 1 个单位长度 解析 选 A 本题考查图象的平移和伸缩 将y log2x的图象横坐标不变 纵坐标缩 短到原来的 得y log2x的图象 再将y log2x的图象向右平移 1 个单位长度即可 1 2 1 2 1 2 4 2011 陕西高考 设函数f x x R 满足f x f x f x 2 f x 则 y f x 的图象可能是 解析 选 B 表达式 f x f x 说明函数是偶函数 表达式 f x 2 f x 说明函数的周期是 2 再结合选项图象不难看出正确选项为 B 5 2012 济南模拟 函数y lg的大致图象为 1 x 1 8 解析 选 D 由题知该函数的图象是由函数y lg x 的图象左移一个单位得到的 故其图象为选项 D 中的图象 6 2011 天津高考 对实数a和b 定义运算 a b Error 设函数f x x2 2 x x2 x R 若函数y f x c的图象与x轴恰有两个公共点 则实数c 的取值范围是 A 2 1 3 2 B 2 1 3 4 C 1 1 4 1 4 D 1 3 4 1 4 解析 选 B 由题意可知 f x Error Error 作出图象 由图象可知y f x 与y c有两个交点 时 c 2 或 1 c0 时 函数g x logf x 有意义 2 由函数f x 的图象知满足f x 0 的x 2 8 答案 2 8 9 8 函数f x 图象的对称中心为 x 1 x 解析 f x 1 把函数y 的图象向上平移 1 个单位 即得函数f x 的图 x 1 x 1 x 1 x 象 由y 的对称中心为 0 0 可得平移后的f x 图象的对称中心为 0 1 1 x 答案 0 1 9 如图 定义在 1 上的函数f x 的图象由一条线段及抛物线的一部分组成 则f x 的解析式为 解析 当 1 x 0 时 设解析式为y kx b 则Error 得Error y x 1 当x 0 时 设解析式为y a x 2 2 1 图象过点 4 0 0 a 4 2 2 1 得a 1 4 答案 f x Error 10 已知函数f x Error 1 在如图所示给定的直角坐标系内画出f x 的图象 2 写出f x 的单调递增区间 3 由图象指出当x取什么值时f x 有最值 解 1 函数f x 的图象如图所示 2 由图象可知 函数f x 的单调递增区间为 1 0 2 5 3 由图象知当x 2 时 f x min f 2 1 当x 0 时 f x max f 0 3 11 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 求a的取 值范围 解 当 0 a 1 时 y ax 1 的图象如图 1 所示 由已知得 0 2a 1 即 0 a 1 2 10 当a 1 时 y ax 1 的图象如图 2 所示 由已知可得 0 2a 1 即 0 a 但a 1 故a 1 2 综上可知 a的取值范围为 0 1 2 12 已知函数f x 的图象与函数h x x 2 的图象关于点A 0 1 对称 1 x 1 求函数f x 的解析式 2 若g x f x g x 在区间 0 2 上的值不小于 6 求实数a的取值范围 a x 解 1 设f x 图象上任一点坐标为 x y 点 x y 关于点A 0 1 的对称点 x 2 y 在h x 的图象上 2 y x 2 1 x y x 1 x 即f x x 1 x 2 由题意g x x a 1 x 且g x x 6 x 0 2 a 1 x x 0 2 a 1 x 6 x 即a x2 6x 1 令q x x2 6x 1 x 0 2 q x x2 6x 1 x 3 2 8 x 0 2 时 q x max q 2 7 故a的取值范围为 7 1 2013 威海质检 函数y f x x R 的图象如图所示 下列说法正确的是 函数y f x 满足f x f x 函数y f x 满足f x 2 f x 函数y f x 满足f x f x 函数y f x 满足f x 2 f x A B 11 C D 解析 选 C 由图象可知 函数f x 为奇函数且关于直线x 1 对称 所以f 1 x f 1 x 所以f 1 x 1 f 1 x 1 即f x 2 f x 故 正确 2 若函数f x 的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与函数f x 的值域相同 则称变换T是函数f x 的同值变换 下面给出四个函数及其对应的变换T 其中变换T不 属于函数f x 的同值变换的是 A f x x 1 2 变换T将函数f x 的图象关于y轴对称 B f x 2x 1 1 变换T将函数f x 的图象关于x轴对称 C f x 2x 3 变换T将函数f x 的图象关于点 1 1 对称 D f x sin 变换T将函数f x 的图象关于点 1 0 对称 x 3 解析 选 B 对于 A 与f x x 1 2的图象关于y轴对称的图象对应的函数解析式 为g x x 1 2 x 1 2 易知两者的值域都为 0 对于 B 函数f x 2x 1 1 的值域为 1 与函数f x 的图象关于x轴对称的图象对应的函数解析 式为g x 2x 1 1 其值域为 1 对于 C 与f x 2x 3 的图象关于点 1 1 对称的图象对应的函数解析式为 2 g x 2 2 x 3 即g x 2x 3 易知 值域相同 对于 D 与f x sin的图象关于点 1 0 对称的图象对应的函数解析 x 3 式为g x sin 其值域为 1 1 易知两函数的值域相同 x 3 2 3 已知函数y f x 的定义域为 R 并对一切实数x 都满足f 2 x f 2 x 1 证明 函数y f x 的图象关于直线x 2 对称 2