（江西版）2013年高考数学总复习 第十一章11.4 直接证明与间接证明教案 理 北师大版

1 20132013 年高考第一轮复习数学北师年高考第一轮复习数学北师 江西版江西版 理第十一章理第十一章 11 411 4 直接证直接证 明与间接证明明与间接证明 考纲要求考纲要求 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过 程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 知识梳理知识梳理 1 直接证明中最基本的两种证明方法是 和 2 综合法是利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理 论证 最后推导出所要证明的结论成立 综合法简称为 3 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 分析法简 称为 4 反证法 假设原命题 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这样的证明方法叫反证法 应用反证法证明数学命题 一般有下面几个步骤 第一步 分清命题 p q 的 第二步 作出与命题结论q相矛盾的假设 第三步 由p与q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 基础自测基础自测 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 等价条件 2 用反证法证明 如果a b 那么 假设内容应是 3 a 3 b A B 3 a 3 b 3 a 3 b C 且 D 或 3 a 3 b 3 a 3 b 3 a 3 b 3 a 3 b 3 设t a 2b S a b2 1 则下列关于t和S的大小关系中正确的是 A t S B t S C t S D t S 4 因为某种产品的两种原料相继提价 所以生产者决定对产品分两次提价 现在有三 种提价方案 方案甲 第一次提价p 第二次提价q 方案乙 第一次提价q 第二次提价p 方案丙 第一次提价 第二次提价 p q 2 p q 2 其中p q 0 比较上述三种方案 提价最多的是 A 甲 B 乙 C 丙 D 一样多 思维拓展思维拓展 1 综合法与分析法有什么联系与差异 提示 综合法与分析法是直接证明的两种基本方法 综合法的特点是从已知看可知 逐 步推出未知 在使用综合法证明时 易出现的错误是因果关系不明确 逻辑表达混乱 分析 法是从未知看需知 逐步靠拢已知 当命题的条件与结论之间的联系不够明显 直接 证明 中需要用哪些知识不太明确具体时 往往采用从结论出发 结合已知条件 逐步反推 寻求 使当前命题成立的充分条件 把证明转化为判定这些条件是否具备的问题 2 综合法与分析法各有什么优点与缺点 提示 综合法与分析法各有优缺点 分析法思考起来比较简单 易找到解题的思路和方 2 法 缺点是叙述烦琐 综合法从条件推结论 较简洁地解决问题 但不便于思考 因此 通 常将它们结合起来使用 先用分析法探索证明途径 再用综合法叙述出来 3 在什么情况下可考虑利用反证法证明问题 提示 反证法是间接证明的一种方法 它适用于以下两种情形 1 要证的结论与条件 之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 2 若从正面证明 需要分成多 种情形进行讨论 而从反面证明 只需研究一种或很少的几种情形 一 综合法 例 1 1 2011 上海高考 理 15 若a b R R 且ab 0 则下列不等式中 恒成立的 是 A a2 b2 2ab B a b 2 ab C D 2 1 a 1 b 2 ab b a a b 例 1 2 如图 四边形ABCD是正方形 PB 平面ABCD MA 平面 ABCD PB AB 2MA 求证 1 平面AMD 平面BPC 2 平面PMD 平面PBD 方法提炼方法提炼 1 综合法是 由因导果 它是从已知条件出发 顺着推证 经过一系列的中 间推理 最后导出所证结论的真实性 用综合法证明题的逻辑关系是 A B1 B2 Bn B A为已知条件或数学定义 定理 公理 B为要证结论 它的常见书面 表达是 或 2 利用综合法证不等式时 是以基本不等式为基础 以不等式的性质为依据 进行推 理论证的 因此 关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质 3 综合法是一种由因导果的证明方法 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 这就 是保证前提正确 推理合乎规律 才能保证结论的正确性 请做请做 针对训练针对训练 1 1 二 分析法 例 2 1 ABC的三个内角A B C成等差数列 A B C的对边分别为a b c 求证 1 a b 1 b c 3 a b c 例 2 2 若a b c为不全相等的正数 求证 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 c a 2 方法提炼方法提炼 1 分析法是 执果索因 它是从要证的结论出发 倒着分析 逐渐地靠近已 知 2 用分析法证 若P 则Q 这个命题的模式是 为了证明命题Q为真 这只需证明命题P1为真 从而有 这只需证明命题P2为真 从而有 这只需证明命题P为真 而已知P为真 故Q必为真 特别警示 用分析法证题时 一定要严格按格式书写 否则极易出错 3 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去 3 转化结论 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论P 若由P可 以推出Q成立 就可以证明结论成立 一般情况下 用分析法寻找思路 用综合法完成证 明 请做请做 针对训练针对训练 2 2 三 反证法 例 3 设 an 是公比为q的等比数列 Sn是它的前n项和 1 求证 数列 Sn 不是等比数列 2 数列 Sn 是等差数列吗 为什么 方法提炼方法提炼反证法是间接证明问题的一种常用方法 它不是从已知条件去直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上进行演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实 性 用反证法证明要把握三点 1 反设 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 归谬 必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 推 导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实矛盾等 但 推导出的矛盾必须是明显的 3 结论 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 的谬误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立 请做请做 针对训练针对训练 3 3 考情分析考情分析 本节在高考中一般不会直接命题 仍然是以其他知识为载体 作为一种方法考查有关内 容 因此 从该角度说它是每年高考的重点 几乎涉及数学的各方面知识 代表着研究性命 题的发展趋势 在选择题 填空题 解答题中都可能涉及 该部分命题的方向主要在函数 三角恒等变换 数列 立体几何 解析几何等方面 以考查 直接证明 中的综合法为主 偶尔也会出现利用反证法证明的题目 重点考查运算能力与逻辑推理能力 针对训练针对训练 1 已知a b c R R 且a b c 1 求证 8 1 a 1 1 b 1 1 c 1 2 已知a b 0 求证 11 3322 32 abab 3 已知p3 q3 2 求证 p q 2 4 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 综合法 分析法 2 由因导果 3 执果索因 4 不成立 假设错误 原命题成立 条件和结论 q 基础自测基础自测 1 A 2 D 解析 解析 假设结论不成立 即 的否定为 3 a 3 b 3 a 3 b 3 D 解析 解析 S t a b2 1 a 2b b 1 2 0 S t 4 C 解析 解析 设产品的原价为a 则按方案甲可得提价后的价格为A a 1 p 1 q 按方案乙可得提价后的价格为B a 1 q 1 p A 按方案丙可得提价后的价格为 C a 1 p q 2 1 p q 2 a 2 1 p q 2 则C B a 2 a 1 p 1 q p q 2 0 故应选 C 1 p q 2 a 4 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 D 解析 解析 当a b时 a b 2 0 即a2 b2 2ab 故 A 不成立 当a 0 且b 0 时 B C 不成立 对于 D 由ab 0 知 0 0 故 2 恒成立 等号成立的条件为a b b a a b b a a b 例 1 2 证明 1 因为PB 平面ABCD MA 平面ABCD 所以PB MA 因为PB 平面BPC MA 平面BPC 所以MA 平面BPC 同理 DA 平面BPC 又MA 平面AMD AD 平面AMD MA AD A 所以平面AMD 平面BPC 2 连接AC 设AC BD E 取PD的中点F 连接EF MF 因为四边形ABCD为正方形 所以E为BD的中点 因为F为PD的中点 所以EFPB 1 2 又AM PB 1 2 所以四边形AEFM为平行四边形 所以MF AE 因为PB 平面ABCD AE 平面ABCD 所以PB AE 5 所以MF PB 因为四边形ABCD为正方形 所以AC BD 所以MF BD 所以MF 平面PBD 又MF 平面PMD 所以平面PMD 平面PBD 例 2 1 证明 要证 即证 3 1 a b 1 b c 3 a b c a b c a b a b c b c 也就是 1 c a b a b c 只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 又 ABC三内角A B C成等差数列 故B 60 由余弦定理 有 b2 c2 a2 2accos 60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2得证 于是原等式成立 例 2 2 证明 要证 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 c a 2 只需证 lg lg abc 即证 abc a b 2 b c 2 c a 2 a b 2 b c 2 c a 2 因为a b c为不全相等的正数 所以 0 0 0 a b 2ab b c 2bc c a 2ac 且上述三式中等号不能同时成立 所以 abc成立 a b 2 b c 2 c a 2 所以 lg lg lg lg a lg b lg c成立 a b 2 b c 2 c a 2 例 3 1 证明 若 Sn 是等比数列 则 S1 S3 即 1 q 2 a1 a1 1 q q2 2 2 S 2 1 a a1 0 1 q 2 1 q q2 解得q 0 这与q 0 相矛盾 故数列 Sn 不是等比数列 2 解 解 当q 1 时 Sn 是等差数列 当q 1 时 Sn 不是等差数列 假设q 1 时 S1 S2 S3成等差数列 即 2S2 S1 S3 2a1 1 q a1 a1 1 q q2 由于a1 0 2 1 q 2 q q2 即q q2 q 1 q 0 这与q 0 相矛盾 综上可知 当q 1 时 Sn 是等差数列 当q 1 时 Sn 不是等差数列 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 证明 1 a 1 1 b 1 1 c 1 a b b c a c abc 8 2ab 2bc 2ac abc 8abc abc 当且仅当a b c时等号成立 6 不等式成立 2 证 明 因为a b 0 要证原不等式成立 只需证 11 336226 32