【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 8.4直线与圆锥曲线的位置关系课时提能训练 文 新人教版

1 全程复习方略全程复习方略 广西专用 广西专用 20132013 版高中数学版高中数学 8 48 4 直线与圆锥曲线的位置关直线与圆锥曲线的位置关 系课时提能训练系课时提能训练 文文 新人教版新人教版 45 45 分钟分钟 100100 分分 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 2011 陕西高考 设抛物线的顶点在原点 准线方程为 x 2 则抛物线的方程是 A y2 8x B y2 4x C y2 8x D y2 4x 2 已知双曲线 E 的中心为原点 F 3 0 是 E 的焦点 过 F 的直线l与 E 相交于 A B 两点 且 AB 的中点 为 N 12 15 则 E 的方程为 A 1 B 1 x2 3 y2 6 x2 4 y2 5 C 1 D 1 x2 6 y2 3 x2 5 y2 4 3 若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则OP FP 的最大 x2 4 y2 3 值为 A 2 B 3 C 6 D 8 4 已知抛物线 y x2 3 上存在关于直线 x y 0 对称的相异两点 A B 则 AB 等于 A 3 B 4 C 3 D 4 22 5 易错题 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 过右焦点 F 且斜率为 k k 0 的直线与椭圆 C x2 a2 y2 b2 3 2 相交于 A B 两点 若AF 3FB 则 k A 1 B C D 2 23 6 已知直线l与椭圆 x2 2y2 2 交于 P1 P2两点 线段 P1P2的中点为 P 设直线l的斜率为 k1 k1 0 直线 OP 的斜率为 k2 则k1k2的值等于 A 2 B 2 C D 1 2 1 2 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 7 过双曲线 x2 1 的右焦点作直线l 交双曲线于 A B 两点 若 AB 4 则这样的直线有 条 y2 2 8 设抛物线 y2 2x 与过焦点的直线交于 A B 两点 则OA OB 的值为 9 设直线l 2x y 2 0 与椭圆 x2 1 的交点为 A B 点 P 是椭圆上的动点 则使得 PAB 的面积 y2 4 2 为 的点 P 的个数为 1 3 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 预测题 已知椭圆 C 1 a b 0 抛物线 x2 a2y 直线l x y 1 0 过椭圆的右焦点 x2 a2 y2 b2 F 且与抛物线相切 1 求椭圆 C 的方程 2 设 A B 为抛物线上两个不同的点 l1 l2分别与抛物线相切于 A B l1 l2相交于 P 点 弦 AB 的中 点为 D 求证 直线 PD 与 x 轴垂直 11 2012 梧州模拟 已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1 1 经过 A 1 0 点 且离心率为 y2 a2 x2 b2 3 2 1 求椭圆 C1的方程 2 过抛物线 C2 y x2 h h R 上 P 点的切线与椭圆 C1交于两点 M N 记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G H 当 GH 与 y 轴平行时 求 h 的最小值 探究创新 16 分 如图 ABCD 是边长为 2 的正方形纸片 沿某动直线l为折痕将 正方形在其 下方的部分向上翻折 使得每次翻折后点 B 都落在边 AD 上 记为 B 折痕与 AB 交于点 E 以 EB 和 EB 为邻边作平行四边形 EB MB 若以 B 为原点 BC 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系 如图 1 求点 M 的轨迹方程 2 若曲线 S 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的 等腰 梯形 A1B1C1D1的三边 A1B1 B1C1 C1D1分别与曲线 S 切于点 P Q R 求梯形 A1B1C1D1面积的最小值 答案解析答案解析 1 解析 选 C 准线方程为 x 2 2 p 4 p 2 3 y2 8x 2 解析 选 B 由于 AB 的中点为 N 12 15 所以直线l的斜率 k 1 所以直线l的方 15 0 12 3 程为 y x 3 由于 F 3 0 是 E 的焦点 可设双曲线的方程为 1 m 0 x2 m y2 9 m 设 A x1 y1 B x2 y2 联立Error Error 化简得 9 2m x2 6mx m2 18m 0 因为 AB 的中点为 N 12 15 所以 x1 x2 24 解得 m 4 故选 B 6m 9 2m 3 解析 选 C 设 P x0 y0 则 1 2 0 x 4 2 0 y 3 即 y02 3 又 F 1 0 2 0 3x 4 OP FP x0 x0 1 y02 x02 x0 3 1 4 x0 2 2 2 又 x0 2 2 1 4 OP FP 2 6 所以 OP FP max 6 4 解题指南 转化为过 A B 两点且与 x y 0 垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题求解 解析 选 C 设直线 AB 的方程为 y x b A x1 y1 B x2 y2 由Error Error x2 x b 3 0 x1 x2 1 得 AB 的中点 M b 1 2 1 2 又 M b 在直线 x y 0 上 1 2 1 2 可求出 b 1 x2 x 2 0 则 AB 3 1 12 1 2 4 2 2 方法技巧 对称问题求解技巧 若 A B 两点关于直线l对称 则直线 AB 与直线l垂直 且线段 AB 的中点在直线l上 即直线l是线段 AB 的垂直平分线 求解这类圆锥曲线上的两点关于直线l的对称问题 常转化为过两对称点的直线与圆 锥曲线的相交问题求解 4 5 解题指南 运用椭圆的第二定义和数形结合方法解决 解析 选 B 如图 过 A B 分别作椭圆准线的垂线 AM BN 过 B 作 BP AM 则 AF AM 3 2 BF BN 3 2 又 AF 3 BF 所以 3 AP 2 BN AB 4 BF 4 BN 2 BN AM BN 3 23 cos BAP 斜率 k tan BAP AP AB 3 32 6 解析 选 D 设 P1 x1 y1 P2 x2 y2 则 P x1 x2 2 y1 y2 2 k2 k1 k1k2 y1 y2 x1 x2 y2 y1 x2 x1 22 21 22 21 yy xx 由Error Error 相减得 y y x x 2 22 1 1 22 22 1 故 k1k2 1 2 7 解析 2a 2 而 AB 4 A B 分别在双曲线两支上的直线有 2 条 又 通径长等于 4 A B 在双曲线同一支上的直线恰有 1 条 满足条件的直线共有 3 条 答案 3 8 解析 当直线 AB 斜率存在时 设 A x1 y1 B x2 y2 直线 AB 的方程为 y k x 1 2 由Error Error 得 y2 y 1 0 y1y2 1 2 k OA OB x1x2 y1y2 y12y22 y1y2 1 4 3 4 当直线 AB 斜率不存在时 A 1 B 1 1 2 1 2 OA OB 3 4 答案 3 4 9 解题指南 先求出弦长 AB 进而求出点 P 到直线 AB 的距离 再求出与l平行且与椭圆相切的直线 方程 最后数形结合求解 5 解析 由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点 1 0 0 2 故 AB 要使 PAB 的面积为 5 1 3 即 h 所以 h 联立 y 2x m 与椭圆方程 x2 1 得 8x2 4mx m2 4 0 令 0 1 25 1 3 2 3 5 y2 4 得 m 2 即平移直线l到 y 2x 2时与椭圆相切 它们与直线l的距离 d 都大 22 2 2 2 5 于 所以一共有 4 个点符合要求 2 3 5 答案 4 10 解析 1 由题意 x2 a2y y y x2 a2 2x a2 设切点为 x0 则Error Error Error Error x2 0 a2 又直线l x y 1 0 过椭圆的右焦点 c 1 故椭圆 C 1 x2 4 y2 3 2 抛物线 x2 4y 设 A x1 B x2 x1 x2 x2 1 4 x2 2 4 抛物线在 A x1 处的切线为 y x x1 y x x2 1 4 x2 1 4 x1 2 x1 2 x2 1 4 同理 抛物线在 B x2 处的切线为 y x x2 2 4 x2 2 x2 2 4 得 x x x x1 2 x2 1 4 x2 2 x2 2 4 x1 x2 2 即 xP x1 x2 2 D 为 AB 的中点 则 xD x1 x2 2 故 xP xD 从而 PD 与 x 轴垂直 11 解析 1 由题意可得Error Error 解得 a 2 b 1 所以椭圆 C1的方程为 x2 1 y2 4 2 设 P t t2 h 由 y 2x 抛物线 C2在点 P 处的切线的斜率为 k y x t 2t 所以 MN 的方程为 y 2tx t2 h 代入椭圆方程得 4x2 2tx t2 h 2 4 0 化简得 4 1 t2 x2 4t t2 h x t2 h 2 4 0 6 又 MN 与椭圆 C1有两个交点 故 16 t4 2 h 2 t2 h2 4 0 设 M x1 y1 N x2 y2 MN 中点横坐标为 x0 则 x0 x1 x2 2 t t2 h 2 1 t2 设线段 PA 的中点横坐标为 x3 1 t 2 由已知得 x0 x3即 t t2 h 2 1 t2 1 t 2 显然 t 0 h t 1 1 t 当 t 0 时 t 2 当且仅当 t 1 时取得等号 此时 h 3 不符合 式 故舍去 1 t 当 t 0 时 t 2 当且仅当 t 1 时取得等号 此时 h 1 满足 式 1 t 综上 h 的最小值为 1 变式备选 已知椭圆 C 1 a b 0 的左焦点为 F 1 0 离心率为 过点 F 的直线l与 x2 a2 y2 b2 2 2 椭圆 C 交于 A B 两点 1 求椭圆 C 的方程 2 设过点 F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G 求点 G 横坐标的取值范围 解析 1 由题意可知 c 1 a2 b2 c2 e 解得 a b 1 故椭圆的方程为 c a 2 22 y2 1 x2 2 2 设直线 AB 的方程为 y k x 1 k 0 联立 得Error Error 整理得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 直线 AB 过椭圆的左焦点 F 方程有两个不等实根 记 A x1 y1 B x2 y2 AB 的中点 N x0 y0 则 x1 x2 x0 y0 4k2 1 2k2 x1 x2 2 y1 y2 2 垂直平分线 NG 的方程为 y y0 x x0 令 y 0 得 xG x0 ky0 1 k 2k2 2k2 1 k2 2k2 1 7 k2 2k2 1 1 2 1 4k2 2 k 0 xG 0 1 2 点 G 横坐标的取值范围为 0 1 2 探究创新 解析 1 如图 设 M x y B x0 2 显然直线l的斜率存在 故不妨设直线l的方程为 y kx b 即 E 0 b 则 kBB k 2 x0 1 k x0 2 而 BB 的中点 1 在直线l上 故 b 1 x0 2 x0 2 x0 2 b 1 2 0 x 4 由于 x y b EM EB EB 0 b x0 2 b Error Error 代入 即得 y 1 x2 4 又 0 x0 2 点 M 的轨迹方程为 y 1 0 x 2 x2 4 2 易知曲线 S 的方程为 y 1 2 x 2 x2 4 设梯形 A1B1C1D1的面积为 s 如图 点 P 的坐标为 t t2 1 0 t 2 由题意得 点 Q 的坐标为 0 1