【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 8.2双 曲 线课时提能训练 文 新人教版

1 全程复习方略全程复习方略 广西专用 广西专用 20132013 版高中数学版高中数学 8 28 2 双双 曲曲 线课时提能训练线课时提能训练 文文 新人教版新人教版 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 双曲线方程为 x2 2y2 1 则它的右焦点坐标为 A 0 B 0 C 0 D 0 2 2 5 2 6 23 2 2012 玉林模拟 ab0 b 0 的一条渐近线方程是 y x 它的一个焦点在抛物线 y2 24x 的准 x2 a2 y2 b23 线上 则双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 36 y2 108 x2 9 y2 27 C 1 D 1 x2 108 y2 36 x2 27 y2 9 5 易错题 设双曲线 1 b a 0 的半焦距为 c 直线l在横纵坐标轴上的截距分别为实半轴 x2 a2 y2 b2 虚半轴的长 已知原点到直线l的距离为c 则双曲线的离心率为 3 4 A 2 B 23 3 C D 2 或 2 23 3 6 设 F1 F2分别为双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 若在双曲线右支上存在点 P 满足 x2 a2 y2 b2 PF2 F1F2 且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长 则该双曲线的渐近线方程为 A 3x 4y 0 B 3x 5y 0 C 4x 3y 0 D 5x 4y 0 2 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 7 2012 防城港模拟 已知双曲线 1 的一个焦点与抛物线 y2 4x 的焦点重合 且该双曲线的离 x2 a2 y2 b2 心率为 则该双曲线的渐近线方程为 5 8 P 为双曲线 x2 1 右支上一点 M N 分别是圆 x 4 2 y2 4 和 x 4 2 y2 1 上的点 则 y2 15 PM PN 的最大值为 9 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 c 0 F2 c 0 若双曲线上存在一点 P 使 x2 a2 y2 b2 则该双曲线的离心率的取值范围是 sinPF1F2 sinPF2F1 a c 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 已知动圆 M 与圆 C1 x 4 2 y2 2 外切 与圆 C2 x 4 2 y2 2 内切 求动圆圆心 M 的轨迹方程 11 点 P 是以 F1 F2为焦点的双曲线 E 1 a 0 b 0 上的一点 已知 x2 a2 y2 b2 PF1 PF2 PF1 2 PF2 O 为坐标原点 1 求双曲线的离心率 e 2 过点 P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于 P1 P2两点 且 2 0 0 1 OP 2 OP 27 4 1 PP 2 PP 求双曲线 E 的方程 探究创新 16 分 某飞船返回仓顺利返回地球后 为了及时救出航天员 地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内 安排了三个救援中心 如图 1 分别记为 A B C B 地在 A 地正东方向上 两地相距 6 km C 地在 B 地 北偏东 30 方向上 两地相距 4 km 假设 P 为航天员着陆点 某一时刻 A 救援中心接到从 P 点发出的求 救信号 经过 4 s 后 B C 两个救援中心也同时接收到这一信号 已知该信号的传播速度为 1 km s 1 求 A C 两地救援中心的距离 2 求 P 相对 A 的方向角 3 试分析信号分别从 P 点处和 P 点的正上方 Q 点 如图 2 返回仓经 Q 点垂直落至 P 点 处发出时 A B 两个救援中心收到信号的时间差的变化情况 变大还是变小 并证明你的结论 3 答案解析答案解析 1 解析 选 C 双曲线方程为 x2 1 y2 1 2 a 1 b c 2 2a2 b212 f r 2 2 2 6 2 它的右焦点坐标为 0 故 C 正确 6 2 2 解析 选 A 若 ax2 by2 c 表示双曲线 即 1 表示双曲线 则 0 即 ab 0 是必要条件 x2 c a y2 c b c2 ab 然而若 ab 0 c 可以等于 0 即 ab0 b 0 则双曲线的渐近线的斜率 k 一个焦点坐标为 F c 0 一个虚轴的端点为 x2 a2 y2 b2 b a B 0 b 所以 kFB 又因为直线 FB 与双曲线的一条渐近线垂直 所以 k kFB 1 显 b c b a b c b a 然不符合 即 b2 ac c2 a2 ac 所以 c2 a2 ac 0 即 e2 e 1 0 解得 e 负值舍去 1 5 2 变式备选 双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 2 则的最小值 x2 a2 y2 b2 b2 1 3a 为 A B C 2 D 1 2 3 3 3 3 解析 选 A 因为双曲线的离心率为 2 所以 2 c a 4 即 c 2a c2 4a2 又因为 c2 a2 b2 所以 a2 b2 4a2 即 b a 3 因此 a 2 当且仅当 a 时等号成立 b2 1 3a 3a2 1 3a 1 3a 1 3 2 3 3 1 3a 即的最小值为 b2 1 3a 2 3 3 4 解析 选 B 因为抛物线 y2 24x 的准线方程为 x 6 则由题意知 点 F 6 0 是双曲线的左焦点 所以 a2 b2 c2 36 又双曲线的一条渐近线方程是 y x 3 所以 解得 a2 9 b2 27 b a3 所以双曲线的方程为 1 故选 B x2 9 y2 27 5 解析 选 A 由题意得直线l的方程为 1 x a y b 原点到l的距离 d c ab a2 b2 3 4 又 c2 a2 b2 ab c2 3 4 4b a 3c2 a2 4 e2 e2 13 3e4 16e2 16 0 解得 e 2 或 e 2 3 3 0 a b e 1 f b a 22 e 2 误区警示 本题易出现选 D 的情况 原因是求出离心率后 就认为已结束 而忽略了 0 a b 这一条 件 6 解析 选 C 设 PF1的中点为 M 因为 PF2 F1F2 所以 F2M PF1 因为 F2M 2a 在直角三角形 F1F2M 中 F1M 2b 2c 2 2a 2 5 故 PF1 4b 根据双曲线的定义得 4b 2c 2a 即 2b c a 因为 c2 a2 b2 所以 2b a 2 a2 b2 即 3b2 4ab 0 即 3b 4a 故双曲线的渐近线方程是 y x 4 3 即 4x 3y 0 变式备选 F1 F2是双曲线 C 1 a 0 b 0 的两个焦点 P 是 C 上一点 且 F1PF2是等腰直 x2 a2 y2 b2 角三角形 则双曲线 C 的离心率为 A 1 B 2 C 3 D 3 2222 解析 选 A 设双曲线 C 的焦距为 2c 依题设不妨令 F1F2 PF2 即 2c 2c b2 a c2 a2 a 即 2ac c2 a2 e2 2e 1 0 e 1 2 4 4 22 又 e 1 e 1 2 7 解析 y2 4x 的焦点为 F 1 0 c 1 又 c a5 a 又 c2 a2 b2 5 5 b2 双曲线方程为 5x2 y2 1 4 5 5 4 渐近线方程为 y 2x 答案 y 2x 8 解析 双曲线的两个焦点 F1 4 0 F2 4 0 分别为两个圆的圆心 两圆的半径分别为 r1 2 r2 1 由题意得 PM max PF1 2 PN min PF2 1 故 PM PN 的最大值为 PF1 2 PF2 1 PF1 PF2 3 5 6 答案 5 方法技巧 圆锥曲线上的点到定点距离的和 差的最值的求法 一般不用选变量建立目标函数的方法求解 而是利用该点适合圆锥曲线的定义 将所求转化为与焦点的 距离有关的最值问题 再利用数形结合法求解 9 解析 方法一 因为在 PF1F2中 由正弦定理得 则由已知得 PF2 sinPF1F2 PF1 sinPF2F1 a PF2 c PF1 即 a PF1 c PF2 且知点 P 在双曲线的右支上 不包含顶点 设点 P x0 y0 y0 0 则由焦半径 公式 得 PF1 a ex0 PF2 ex0 a 则 a a ex0 c ex0 a 解得 x0 a c a e c a a e 1 e e 1 由双曲线的几何性质知 x0 a 即 a 整理得 e2 2e 1 0 a e 1 e e 1 解得 1 ec a 则 c a 即 c2 2ac a2 0 2a2 c a 所以 e2 2e 1 0 以下同方法一 答案 1 1 2 10 解析 设动圆 M 的半径为 r 则由已知 MC1 r MC2 r 22 MC1 MC2 2 2 又 C1 4 0 C2 4 0 C1C2 8 2 C1C2 2 根据双曲线定义知 点 M 的轨迹是以 C1 4 0 C2 4 0 为焦点的双曲线的右支 a c 4 b2 c2 a2 14 2 点 M 的轨迹方程是 1 x x2 2 y2 142 7 11 解析 1 PF1 2 PF2 PF1 PF2 2a PF1 4a PF2 2a PF1 PF2 4a 2 2a 2 2c 2 即 5a2 c2 e 5 2 由 1 知双曲线的方程可设为 1 渐近线方程为 y 2x x2 a2 y2 4a2 设 P1 x1 2x1 P2 x2 2x2 P x y 3x1x2 x1x2 1 OP 2 OP 27 4 9 4 2 0 0 Error Error 1 PP 2 PP 点 P 在双曲线上 1 2x1 x2 2 9a2 2x1 x2 2 9a2 化简得 x1x2 9a2 8 a2 2 9a2 8 9 4 双曲线方程为 1 x2 2 y2 8 探究创新 解析 1 以 AB 的中点为坐标原点 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 则 A 3 0 B 3 0 C 5 2 3 则 AC 2 km 5 3 2 2 r 3 219 即 A C 两个救援中心的距离为 2 km 19 2 PC PB 所以 P 在 BC 线段的垂直平分线上 又 PB PA 4 所以 P 在以 A B 为焦点的双曲线的左支上 且 AB 6 8 双曲线方程为 1 x 2 x2 4 y2 5 BC 的垂直平分线的方程为 x y 7 0 联立两方程解得 x 8 3 P 8 5 kPA tan PAB