【步步高】2013-2014学年高中数学 章末检测三同步训练 新人教B版选修2-1

1 章末检测章末检测 一 选择题 1 对于向量a a b b c c和实数 下列命题中真命题是 A 若a ba b 0 则a a 0 或b b 0 B 若 a a 0 则 0 或a a 0 C 若a a2 b b2 则a a b b或a a b b D 若a ba b a ca c 则b b c c 2 已知平面 和平面 的法向量分别为m m 3 1 5 n n 6 2 10 则 A B C 与 相交但不垂直 D 以上都不对 3 已知向量a a 0 2 1 b b 1 1 2 则a a与b b的夹角为 A 0 B 45 C 90 D 180 4 如图 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 已知 a a b b AB AD c c 则用向量a a b b c c可表示向量等于 AA1 BD1 A a a b b c c B a a b b c c C a a b b c c D a a b b c c 5 若平面 的法向量为n n 直线l的方向向量为a a 直线l与平面 的夹角为 则下 列关系 式成立的是 A cos B cos n n a a n n a a n n a a n n a a C sin D sin n n a a n n a a n n a a n n a a 6 设A B C D是空间不共面的四点 且满足 0 0 0 则 AB AC AC AD AB AD BCD 是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 不确定 7 在以下命题中 不正确的个数为 a a b b a a b b 是a a b b共线的充要条件 对a a b b 则存在唯一的实数 使a a b b 对空间任意一点O和不共线的三点A B C 若 2 2 则P A B C OP OA OB OC 2 四点共面 a ba b c c a b ca b c A 2 B 3 C 4 D 1 8 已知四边形ABCD为矩形 PA 平面ABCD 连接AC BD PB PC PD 则下列各组向量中 数量积不一定为零的是 A 与 B 与 PC BD DA PB C 与 D 与 PD AB PA CD 9 设E F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点 在正方体的 12 条面对角线中 与截面 A1ECF 成 60 角的对角线的数目是 A 0 B 2 C 4 D 6 10 如图 AB AC BD 1 AB 面M AC 面M BD AB BD与 面M成 30 角 则C D间的距离为 A 1 B 2 C D 23 11 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a 点E F分别是BC AD的中 点 则 的值为 AE AF A a2 B a2 C a2 D a2 1 2 1 4 3 4 12 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 点E F分别是棱AB BB1的中点 则直线EF和BC1的夹 角是 A 45 B 60 C 90 D 120 二 填空题 13 已知P和不共线三点A B C四点共面且对于空间任一点O 都有 2 OP OA OB OC 则 14 已知A 2 1 0 点B在平面xOz内 若直线AB的方向向量是 3 1 2 则点B的 坐标是 15 平面 的法向量为m m 1 0 1 平面 的法向量为n n 0 1 1 则平面 3 与平面 所成二面角的大小为 16 如图所示 已知二面角 l 的平面角为 0 2 AB BC BC CD AB在平面N内 BC在l上 CD在平面M内 若 AB BC CD 1 则AD的长为 4 三 解答题 17 已知四棱锥P ABCD的底面是平行四边形 如图 M是PC的中点 问向量 是否可以组成一个基底 并说明理由 PA MB MD 18 如图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1D1 AB的中点 E在AA1上且AE 2EA1 F在CC1上且CF FC1 试证 1 2 明ME NF 19 如图 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 P是侧棱CC1上一 点 CP m 试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为 60 20 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD AP AB 2 BC 2 E F分别是AD PC的中点 证明 PC 平 2 面BEF 21 如图 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为 2的菱形 BAD 3 120 且PA 平面ABCD PA 2 M N分别为PB PD的中点 6 1 证明 MN 平面ABCD 2 过点A作AQ PC 垂足为点Q 求二面角A MN Q的平面角的 余弦值 22 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是棱DD1的中点 1 求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值 2 在棱C1D1上是否存在一点F 使B1F 平面A1BE 证明你的结论 5 答案答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A 9 C 10 C 11 C 12 B 13 2 14 5 0 2 15 60 或 120 16 3 2cos 17 解 不可以组成一个基底 理由如下 PA MB MD 连接AC BD相交于点O ABCD是平行四边形 O是AC BD的中点 在 BDM中 MO 1 2 MD MB 在 PAC中 M是PC的中点 O是AC的中点 则 即 即与 共面 MO 1 2PA PA MD MB DA MD MB 不可以组成一个基底 PA MB MD 18 证明 由平行六面体的性质 ME MD1 D1A1 A1E 1 2C1D1 AD 1 3A1A 1 2AB AD 1 3AA1 NF NB BC CF 1 2AB AD 1 3CC1 1 2AB AD 1 3AA1 又M E N F不共线 ME NF ME NF 19 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 1 0 0 B 1 1 0 P 0 1 m C 0 1 0 D 0 0 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 则 1 1 0 0 0 1 1 1 m BD BB1 AP 1 1 0 AC 6 又由 0 0 知 AC BD AC BB1 为平面BB1D1D的一个法向量 AC 设AP与平面BB1D1D所成的角为 则 sin cos AP AC AP AC AP AC 2 2 m2 2 依题意得 sin 60 解得m 2 2 2m2 2 3 2 3 3 故当m 时 直线AP与平面BDD1B1所成的角为 60 3 3 20 证明 如图 以A为坐标原点 AB AD AP所在直线分别为 x y z轴建立空间直角坐标系 AP AB 2 BC AD 2 四边形ABCD是矩形 A B C D P的坐标分别为 2 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 22 又E F分别是AD PC的中点 E 0 0 F 1 1 22 2 2 2 1 1 1 0 1 PC 2 BF 2 EF 2 4 2 0 2 0 2 0 PC BF PC EF PC BF PC EF PC BF PC EF 又BF EF F PC 平面BEF 21 1 证明 连接BD 因为M N分别是PB PD的中点 所以MN是 PBD的中位线 所以MN BD 又因为MN 平面ABCD BD 平面ABCD 所以MN 平面ABCD 2 解 方法一 连接AC交BD于O 以O为原点 OC OD所在直线为x y轴 建 立空间直角坐标系Oxyz 如图所示 在菱形ABCD中 BAD 120 得AC AB 2 BD AB 6 33 7 又因为PA 平面ABCD 所以PA AC 在直角 PAC中 AC 2 PA 2 AQ PC 得QC 2 PQ 4 36 由此知各点坐标如下 A 0 0 B 0 3 0 C 0 0 D 0 3 0 33 P 0 2 M N 36 3 2 3 2 6 3 2 3 2 6 Q 3 3 0 2 6 3 设m m x y z 为平面AMN的法向量 由 知 AM 3 2 3 2 6 AN 3 2 3 2 6 Error 取z 1 得m m 2 0 1 2 设n n x y z 为平面QMN的法向量 由 知 QM 5 3 6 3 2 6 3 QN 5 3 6 3 2 6 3 Error 取z 5 得n n 2 0 5 2 于是 cos m m n n m m n n m m n n 33 33 所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为 33 33 方法二 如图所示 在菱形ABCD中 BAD 120 得AC AB BC CD DA BD AB 3 又因为PA 平面ABCD 所以PA AB PA AC PA AD 所以PB PC PD 所以 PBC PDC 而M N分别是PB PD的中点 所以MQ NQ 且AM PB PD AN 1 2 1 2 8 取线段MN的中点E 连接AE EQ 则AE MN QE MN 所以 AEQ为二面角A MN Q的平面角 由AB 2 PA 2 36 故在 AMN中 AM AN 3 MN BD 3 1 2 得AE 3 3 2 在 Rt PAC中 AQ PC 得AQ 2 QC 2 PQ 4 2 在 PBC中 cos BPC PB2 PC2 BC2 2PB PC 5 6 得MQ PM2 PQ2 2PM PQcos BPC5 在等腰 MQN中 MQ NQ MN 3 5 得QE MQ2 ME2 11 2 在 AEQ中 AE QE AQ 2 3 3 2 11 22 得 cos AEQ AE2 QE2 AQ2 2AE QE 33 33 所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为 33 33 22 解 设正方体的棱长为 1 如图所示 以 为单位正交 AB AD AA1 基底建立空间直角坐标系Oxyz 1 依题意 得B 1 0 0 E A 0 0 0 0 1 1 2 D 0 1 0 所以 0 1 0 BE 1 1 1 2 AD 在正方体ABCD A1B1C1D1中 因为AD 平面ABB1A1 所以是平面ABB1A1的一个法向量 AD 设直线BE和平面ABB1A1所成的角为 则 sin BE AD BE AD 1 3 2 1 2 3 9 故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 2 3 2 在棱C1D1上存在点F 使B1F 平面A1BE 证明如下 依题意 得A1 0 0 1 1 0 1 BA1 BE 1 1 1 2 设n n x y z 是平面A1BE的