上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第4讲应用能力型问题（6）泸科版

用心 爱心 专心 上海市封浜中学高三数学二轮专题复习 上海市封浜中学高三数学二轮专题复习 第第 4 讲讲 应用能力型问题应用能力型问题 6 10 2001 年文 年文 设计一幅宣传画 要求画面面积为 4840 cm2 画面的宽与高的比为 1 画面的上 下各留 8 cm 空白 左 右各留 5 cm 空白 怎样确定画面的高与宽 尺寸 能使宣传画所用纸张面积最小 本题主要考查建立函数关系式 求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的 能力 解 解 设画面高为 x cm 宽为 x cm 则 x2 4840 设纸张面积为 S 有 S x 16 x 10 x2 16 10 x 160 将 1022 x代入上式 得 5 8 10445000 S 当 5 8 时 即 1 8 5 8 5 时 S 取得最小值 此时 高 cm88 4840 x 宽 cm5588 8 5 x 答 画面高为 88cm 宽为 55cm 时 能使所用纸张面积最小 11 2002 年北京 年北京 在研究并行计算的基本算法时 有以下简单模型问题 用计算机 求 n 个不同的数 v1 v2 vn的和 n i i v 1 v1 v2 v3 vn 计算开始前 n 个数存贮 在 n 台由网络连接的计算机中 每台机器存一个数 计算开始后 在一个单位时间内 每 台机器至多到一台其他机器中读数据 并与自己原有数据相加得到新的数据 各台机器可 同时完成上述工作 为了用尽可能少的单位时间 使各台机器都得到这 n 个数的和 需要设计一种读和加 的方法 比如 n 2 时 一个单位时间即可完成计算 方法可用下表表示 第一单位时间第二单位时间第三单位时间机 器 号 初 始 时 被读机号结果被读机号结果被读机号结果 1v12v1 v2 v1 v2v21v2 v1 1 当 n 4 时 至少需要多少个单位时间可完成计算 把你设计的方法填入下表 第一单位时间第二单位时间第三单位时间机 器 号 初 始 时 被读机号结果被读机号结果被读机号结果 1v1 用心 爱心 专心 2v2 3v3 4v4 2 当 n 128 时 要使所有机器都得到 n i i v 1 至少需要多少个单位时间可完成计 算 结论不要求证明 本题主要考查运用数学思想方法 分析和解决科学问题的能力 1 解 当 n 4 时 只用 2 个单位时间即可完成计算 方法之一如下 第一单位时间第二单位时间第三单位时间机 器 号 初 始 时 被读机 号 结 果被读机号结 果被读机号结 果 1v12v1 v23v1 v2 v3 v4 2v21v2 v14v2 v1 v4 v3 3v34v3 v41v3 v4 v1 v2 4v43v4 v32v4 v3 v2 v1 2 解 当 n 128 27时 至少需要 7 个单位时间才能完成计算 12 2002 年 年 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆 预计此后每年报废上一年末 汽车保有量的 6 并且每年新增汽车数量相同 为保护城市环境 要求该城市汽车保有 量不超过 60 万辆 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆 本题主要考查数列 数列的极限等基础知识 考查建立数学模型 运用所学知识解决 实际问题的能力 解解 设 2001 年末汽车保有量为 b1万辆 以后各年末汽车保有量依次为 b2万辆 b3万 辆 每年新增汽车 x 万辆 则 94 0 30 121 xbbb 对于 n 1 有 94 0 1 94 0 94 0 2 11 xbxbb nnn xbxbb n nnn n 06 0 94 0 1 94 0 94 0 94 01 94 0 1 1 11 94 0 06 0 30 06 0 n xx 当 30 8 1 0 06 0 30 11 bbbx x nn 时即 当 06 0 94 0 06 0 30 06 0 limlim 8 1 0 06 0 30 1 xxx bx x n n n n 时即 用心 爱心 专心 并且数列 bn 逐项增加 可以任意靠近 06 0 x 因此 如果要求汽车保有量不超过 60 万辆 即 3 2 1 60 nbn 则6 3 60 06 0 x x 即 万辆 综上 每年新增汽车不应超过 3 6 万辆 13 2003 年北京春 年北京春 某租赁公司拥有汽车 100 辆 当每辆车的月租金为 3000 元时 可 全部租出 当每辆车的月租金每增加 50 元时 未租出的车将会增加一辆 租出的车每辆每月 需要维护费 150 元 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 1 当每辆车的月租金定为 3600 元时 能租出多少辆车 2 当每辆车的月租金定为多少元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少 本题主要考查二次函数的性质等基本知识 考查分析和解决问题的能力 解 1 当每辆车的月租金定为 3600 元时 未租出的车辆数为12 50 30003600 所以这时租出了 88 辆车 2 设每辆车的月租金定为 x 元 则租赁公司的收益为 50 50 3000 150 50 3000 100 x x x xf 整理得 21000162 50 2 x x xf307050 4050 50 1 2 x 所以 当 x 4050 时 f x 最大 最大值为 f 4050 307050 即当每辆车的月租金定为 4050 时 租赁公司的月收益最大 最大月收益为 307050 元 14 2003 年理 年理 在某海滨城市附近 海面有一台风 据监测 当前台风中心位 于城市 O 如图 的东偏南 10 2 arccos 方向 300km 的海面 P 处 并以 20km h 的速度向西偏北 45方向移 动 台风侵袭的范围为圆形区域 当前半 径为 60km 并以 10km h 的速度不断增大 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭 本题主要考查利用余弦定理解斜三角 形的方法 根据所给条件选择适当坐标系 O 北 东 O y 线 岸 O x P O r t P 45 海 45 P 用心 爱心 专心 和圆的方程等基础知识 考查运用所学知识解决实际问题能力 解法一 设在时刻 t h 台风中心为 Q 此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t 60 km 若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭 则 OQ 10t 60 由余弦定理知 cosOPQPOPQPOPQOQ 2 222 由于 PO 300 PQ 20t cos OPQ cos 45 cos cos45 sin sin45 2 2 10 2 1 2 2 10 2 2 5 4 故 5 4 30020230020 222 ttOQ 222 300960020 tt 因此 202t2 9600t 3002 10t 60 2 即 t2 36t 288 0 解得 12 t 24 答 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭 解法二 如图建立坐标系 以 O 为原点 正东方向为 x 轴正向 在时刻 t h 台风中心 yxP的坐标为 ty tx 2 2 20 10 27 300 2 2 20 10 2 300 此时台风侵袭的区城是 222 tryyxx 其中 r t 10t 60 若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭 则有 222 601000 tyx 即 22 2 2 20 10 27 300 2 2 20 10 2 300 tt 10t 60 2 即 028836 2 tt 解得 2412 t 答 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭 P 45 tr y O P 用心 爱心 专心 15 2003 年北京 年北京 有三个新兴城镇 分别位于 A B C 三点处 且 AB AC a BC 2b 今计划合建一个中心医院 为同时方便三镇 准备建在 BC 的垂直平分 线上的 P 点处 建立坐标系如图 1 若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小 点 P 应位于何处 2 若希望点 P 到三镇的最远距离为最小 点 P 应位于何处 本题主要考查函数 不等式等基本知识 考查运用 数学知识分析问题和解决问题的能力 解 解 1 由题设可知 0 ba记 22 bah 设 P 的坐标为 0 y 则 P 至三 镇距离的平方和为 2 3 2 3 3 2 222222 bh h yyhybyf 所以 当 3 h y 时 函数 yf取得最小值 答 点 P 的坐标是 3 1 0 22 ba 2 解法一 P 至三镇的最远距离为 22 2222 yhybyh yhybyb xg 当 当 由 22 yhyb 解得 2 22 h bh y 记 2 22 h bh y 于是 22 yyyh yyyb yg 当 当 当 0 2 22 h bh yn 即bh 时 22 yb 在 y上是 增函数 而 y 在yh上是减函数 由此可知 当 n yy 时 函数 yg取得最小值 当 0 2 22 h bh y 即bh 时 函数 22 yb 在 y上 当0 y时 取得最小值b 而 y 在yh上为减函数 且b yh 可见 当0 y时 函数 yg取得最小值 答 当bh 时 点 P 的坐标为 2 2 0 22 22 ba ba 当bh 时 点 P 的坐标为 0 0 其中 22 bah 解法二 P 至三镇的最远距离为 22 2222 yhybyh yhybyb yg 当 当 由 22 yhyb 解得 2 22 h bh y 记 2 22 h bh y 于是 用心 爱心 专心 22 yyyh yyyb yg 当 当 当g y z bh 0 时即y的图象如图 a 因此 当 yy 时 函数 yg取得 最小值 当 yy 即g y z 时bh的图象如图 b 因此 当 0 y 时 函数 yg取得最小 值 答 当bh 时 点 P 的坐标为 2 2 0 22 22 ba ba 当bh 点 P 的坐标为 0 0 其中 22 bah 解法三 因为在 ABC 中 AB AC a所以 ABC 的外心 M 在射线 AO 上 其坐标为 2 2 0 22 22 ba ba 且 AM BM CM 当 P 在射线 MA 上 记 P 为 P1 当 P 在射线 MA 的反向延长线上 记 P 为 P2 若bbah 22 如图 1 则点 M 在线段 AO 上 这时 P 到 A B C 三点的最远距离为 P1C 和 P2A 且 P1C MC P2A MA 所以点 P 与外心 M 重合时 P 到三镇的最远距离最小 若bbah 22 如图 2 则点 M 在线段 AO 外 这时 P 到 A B C 三点的最远距离为 P1C 或 P2A 且 P1C OC P2A OC 所以点 P 与 BC 边中点 O 重合时 P 到三镇的最远距离最小为b 答 当bbah 22 时 点 P 的位置在 ABC 的外心 2 2 0 22 22 ba ba 当bbah 22 时 点 P 的位置在原点 O 16 2004 年北京 年北京 某段城铁线路上依次有 A B C 三站 AB 5km BC 3km 在列 车运动时刻表上 规定列车 8 时整从 A 站发车 8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟 8 时 12 分到达 C 站 在实际运行时 假设列车从 A 站正点发车 在 B 站停留 1 分钟 并在行 驶时以同一速度 v km h 匀速行驶 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的 用心 爱心 专心 绝对值称为列车在该站的运行误差 1 分别写出列车在 B C 两站的运行误差 2 若要求列车在 B C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟 求 v 的取值范围 本题主要考查解不等式等基本知识 考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力 解 解 1 列车在 B C 两站的运行误差 单位 分钟 分别是和 2 由于列车在 B C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟 所以 当时 式变形为 解得 当时 式变形为 解得 当时 式变形为 解得 综上所述 的取值范围是 39 17 2005 年北京春 年北京春 经过长期观测得到 在交通繁忙的时段内 某公路段汽车的车 流量y 千辆 小时 与汽车的平均速度 千米 小时 之间的函数关系为 0 16003 920 2 y 1 在该时段内 当汽车的平均速度 为多少时 车流量最大 最大车流量为多少 精确到1 0千辆 小时 2 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆 小时 则汽车站的平均速度应在什么范 围内 本题主要考查函数 不等式等基本知识 考查应用数学知识分析问题和解决问题的能 力 解 解 1 依题意 920 3 920920 1600 8332 1600 y v v 当且仅当 1600 v v 即 v 40 时 等号成立 所以 max 920 11 1 83 y 千辆 小时 2 由条件得 920 3 1600 10y v v 整理得 2 8916000vv 即 25 64 0vv 解得 25 v 64 答 当v 40 千米 小时时 车流量最大 最大车流量约为 11 1 千辆 小时 如果 要求在该时段内车流量超过 10 千辆 小时 则汽车的平均速度应大于 25 千米 小时且小 于 64 千米 小时 18 20