八年级数学上册 确定一次函数表达式的方法知识精讲试题 冀教版

1 初二数学确定一次函数表达式的方法冀教版初二数学确定一次函数表达式的方法冀教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 怎样确定一次函数的表达式 二 知识要点 1 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 1 由于正比例函数 y kx k 是常数 k 0 中只有一个待定系数 k 故只需一个条 件 如一对 x y 的值或一个点 就可以求得 k 的值 2 由于一次函数 y kx b k b 是常数 k 0 中有两个待定系数 k b 需要两 个独立的条件确定两个关于 k b 的方程 求得 k b 的值 这两个条件通常是两个点或两 对 x y 的值 2 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 1 设函数表达式为 y kx b 2 将已知点的坐标代入函数表达式 解方程 方程组 3 求出 k 与 b 的值 得函数表达式 三 重点难点 本节重点是结合实际问题求出一次函数表达式 难点是灵活运用一次函数的性质解决 实际问题 典型例题典型例题 例例 1 已知直线 y kx b 经过点 1 3 和点 1 1 求该函数的表达式 解 解 根据题意得 k b 3 k b 1 得 2k 2 所以 k 1 把 k 1 代入 得 b 2 所以函数关系式是 y x 2 评析 评析 将点的坐标代入关系式得方程组 解关于 k b 的方程组 确定 k b 的值 例例 2 已知一次函数 y x a 和 y x b 的图象都经过点 A 4 0 且与 y 轴分 3 2 1 2 别交于点 B C 求 ABC 的面积 x y O O A A B B C C 分析 分析 充分利用数形结合的方法 求出点 B C 的坐标 进而求得 BC 的长 找到求 面积的条件 即找到边长和对应的高线 解 解 y x a 与 y x b 的图象都过点 A 4 0 3 2 1 2 2 4 a 0 4 b 0 3 2 1 2 解得 a 6 b 2 两直线为 y x 6 和 y x 2 3 2 1 2 B 0 6 C 0 2 如图所示 S ABC BC AO 6 2 4 16 1 2 1 2 评析 评析 利用图象来求面积直观明了 坐标几何的实质就是 边长 坐标 解析式 以坐标为中心 数形结合 边长始终为正 而坐标有正有负 例例 3 已知一次函数图象经过点 0 2 且与两坐标轴围成的三角形面积为 3 求一 次函数的解析式 分析 分析 题中有两个条件 一个是 图象过点 0 2 另一个是 与两坐标轴围成 的三角形面积为 3 后一个条件的利用 需画出函数图象的草图 再根据面积公式列方 程 2 2 x y A A B B A A O O 解 解 根据已知条件画出此一次函数图象的草图 如图所示的直线 AB 与 A B 设一次函数解析式为 y kx b 把 x 0 y 2 代入 y kx b 得 b 2 即有 y kx 2 令 y 0 由 y kx 2 得 x 即直线与 x 轴的交点的横坐标为 2 k 2 k 所以 OA 或 OA 的长为 2 k 所以 S ABO 2 3 即 k k 1 2 2 k 2 3 2 3 故一次函数的解析式为 y x 2 或 y x 2 2 3 2 3 评析 评析 在表达直线与两坐标轴围成的三角形面积时 关键是求出直线与两坐标轴的交 点坐标 利用交点坐标转化为线段的长 注意加绝对值 例例 4 某汽车在加油后开始匀速行驶 已知汽车行驶至 20km 时 油箱剩油 58 4L 行驶 至 50km 时 油箱剩油 56L 如果油箱中剩余油量 y L 与汽车行驶的路程 x km 之间 的关系是一次函数关系 请你求出这个一次函数的表达式 并写出自变量 x 的取值范围 分析 分析 由题意得两组 x y 的对应值 20 58 4 和 50 56 且 y 是 x 的一次函 数 对于自变量的取值范围要考虑汽车的最小行程 x 0 和最大行程 使油箱中的余0 x 油量不能为负数故有 y 0 得到 x 的取值 解 解 设所求一次函数表达式为 y kx b 由题知函数过点 20 58 4 50 56 3 代入得 58 4 20k b 56 50k b 解得 k 0 08 b 60 y 0 08x 60 0 x 750 评析 评析 由 y 0 可确定 x 的最大值 例例 5 某地举办乒乓球比赛的费用 y 元 包括两部分 一部分租用比赛场地等固定不变 的费用 b 元 另一部分与参加比赛的人数 x 人 成正比例 当 x 20 时 y 1600 当 x 30 时 y 2000 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 如果有 50 名运动员参加比赛 且全部费用由运动员分摊 那么每名运动员要支 付多少元 分析 分析 设举办乒乓球比赛的费用 y 元 与租用比赛场地等固定不变的费用 b 元 和 参加比赛的人数的函数关系式为 y kx b k 0 把 x 20 y 1600 x 30 y 2000 分别代入函数关系式 求出 k b 的值 进而求出 y 与 x 之间的函数关系式 当 x 50 时 求出 y 的值 再求得 y 50 的值即可 解 解 1 设 y1 b y2 kx k 0 x 0 令 y y1 y2 所以 y kx b 因为当 x 20 时 y 1600 当 x 30 时 y 2000 所以 所以 1600 20k b 2000 30k b k 40 b 800 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y 40 x 800 x 0 2 当 x 50 时 y 40 50 800 2800 元 所以每名运动员需支付 2800 50 56 元 答 每名运动员需支付 56 元 方法总结方法总结 本节主要学习了正比例函数和一次函数的表达式的求法 就是将已知的两个点 即两 对 x y 的值 分别代入一次函数的解析式 通过解方程求出 k 和 b 从而确定一次函数的 解析式 而对于正比例函数 只需一个点或一对 x y 的值即可 这就是利用待定系数法求 函数解析式 模拟试题模拟试题 答题时间 50 分钟 1 如果正比例函数的图像经过点 2 4 那么这个函数的表达式为 2 经过点 1 7 和 1 1 两点的一次函数的解析式为 3 某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示 那么这种汽油的单价是每升 元 O O 5 50 09 9 1 10 00 0 金金额额 元元 数数量量 升升 4 一次函数的图象过点 1 0 且函数值随着自变量的增大而减小 写出一个符合 这个条件的一次函数解析式 4 5 一次函数 y kx b 的图像如图所示 则 x y 3 3 1 1 A B C D k 1 3 b 1 k 1 3 b 1 k 3 b 1 k 1 3 b 1 6 如图 直线 AB 对应的函数表达式是 A y x 3B y x 3C y x 3D y x 3 3 2 3 2 2 3 2 3 x y O O 2 2 3 3 A A B B 7 如果一次函数 y kx b 的图象经过第一象限 且与 y 轴负半轴相交 那么 A k 0 b 0B k 0 b 0C k 0 b 0D k 0 b 0 8 下列函数中 其图象同时满足两个条件 y 随着 x 的增大而增大 与 y 轴的正半 轴相交 则它的解析式为 A 2x 1B 2x 1C 2x 1D 2x 1 9 已知 y 与 2x 1 成正比例 且当 x 3 时 y 7 写出 y 与 x 的函数关系式 10 已知 y m 3 与 x m 是常数 成正比例 且 x 6 时 y 1 x 4 时 y 4 求 y 与 x 之间的函数关系式 11 直线与 x 轴交于点 A 4 0 与 y 轴交于点 B 若点 B 到 x 轴的距离为 2 求 直线的表达式 12 小明受 乌鸦喝水 故事的启发 利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作 请根据图中给出的信息 解答下列问题 1 放入一个小球 量桶中水面升高 cm 2 求放入小球后量桶中水面的高度 y cm 与小球个数 x 个 之间的一次函数关 系式 不要求写出自变量的取值范围 3 量桶中至少放入几个小球时有水溢出 5 试题答案试题答案 1 y 2x 2 y 3x 4 3 5 09 提示 这条直线可看作正比例函数的图象 解析式为 y 5 09x 当 x 1 时 y 5 09 4 y 3x 3 等 答案不唯一 5 D 6 A 7 B 8 D 9 根据题意可设 y k 2x 1 把 x 3 y 7 代入得 k 1 所以 y 2x 1 10 根据题意 可设 y m 3 kx 当 x 6 时 y 1 当 x 4 时 y 4 有 解得 所以