第二轮复习(10)代数几何综合题(含答案)

1 第二轮复习十第二轮复习十 代数几何综合题代数几何综合题 综合问题精讲 综合问题精讲 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广 综合性最强的题型 近几年中考试题中 的综合题大多以代数几何综合题的形式出现 其解题关键点是借助几何直观解题 运用 方程 函数的思想解题 灵活运用数形结合 由形导数 以数促形 综合运用代数和几 何知识解题 典型例题剖析 典型例题剖析 例 1 2005 温州 12 分 如图 已知四边形 ABCD 内接于 O A 是的中点 A BDC AE AC 于 A 与 O 及 CB 的延长线分别交于点 F E 且 EM 切 O 于 M AA BFAD ADC EBA AC2 BC CE 1 2 如果 AB 2 EM 3 求 cot CAD 的值 解解 四边形 ABCD 内接于 O CDA ABE DCA BAE AA BFAD CAD AEB 过 A 作 AH BC 于 H 如图 A 是中点 HC HB BC A BDC 1 2 CAE 900 AC2 CH CE BC CE 1 2 A 是中点 AB 2 AC AB 2 A BDC EM 是 O 的切线 EB EC EM2 AC2 BC CE BC CE 8 1 2 得 EC EB BC 17 EC2 17 EC2 AC2 AE2 AE 17 22 13 CAD ABE CAD AEC cot CAD cot AEC AE AC 13 2 点拨点拨 此题的关键是树立转化思想 将未知的转化为已知的 此题表现的非常突出 如 将 CAD 转化为 AEC 就非常关键 2 例 2 2005 自贡 如图 2 5 2 所示 已知直线 y 2x 2 分别与 x 轴 y 轴交于点 A B 以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角 ABC BAC 90 过 C 作 CD x 轴 D 为垂足 1 求点 A B 的坐标和 AD 的长 2 求过 B A C 三点的抛物线的解析式 解解 1 在 y 2x 2 中 分别令 x 0 y 0 得 A l 0 B 0 2 易得 ACD BAO 所以 AD OB 2 2 因为 A 1 0 B 0 2 且由 1 得 C 3 l 设过过 B A C 三点的抛物线为 2 yaxbxc 所以 5 6 0 17 2 6 931 2 a abc cb abc c 解得 所以 2 517 2 66 yxx 点拨点拨 此题的关键是证明 ACD BAO 例 3 2005 重庆 10 分 如图 在平面直角坐标系内 已知点 A 0 6 点 B 8 0 动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动 同 时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动 设点 P Q 移动的时间为 t 秒 1 求直线 AB 的解析式 2 当 t 为何值时 APQ 与 AOB 相似 3 当 t 为何值时 APQ 的面积为个平方单位 5 24 解解 1 设直线 AB 的解析式为y kx b 由题意 得 解得 b 6 80kb 3 4 6 k b 所以 直线 AB 的解析式为y x 6 4 3 3 2 由 AO 6 BO 8 得 AB 10 所以 AP t AQ 10 2t 1 当 APQ AOB 时 APQ AOB 所以 解得 t 秒 6 t 10 210t 11 30 2 当 AQP AOB 时 AQP AOB 所以 解得 t 秒 10 t 6 210t 13 50 3 过点 Q 作 QE 垂直 AO 于点 E 在 Rt AOB 中 Sin BAO AB BO 5 4 在 Rt AEQ 中 QE AQ Sin BAO 10 2t 8 t所以 S APQ AP QE 5 4 5 8 2 1 t 8 t 2 1 5 8 4t 解得t 2 秒 或t 3 秒 2 5 4 t 5 24 注 过点 P 作 PE 垂直 AB 于点 E 也可 并相应给分 点拨点拨 此题的关键是随着动点 P 的运动 APQ 的形状也在发生着变化 所以应分情况 APQ AOB 90 APQ ABO 这样 就得到了两个时间限制 同时第 3 问 也可以过 P 作 PE AB 例 4 2005 南充 10 分 如图 2 5 7 矩形ABCD中 AB 8 BC 6 对角线AC上有一个动点P 不包括点A和点 C 设AP x 四边形PBCD的面积为y 1 写出y与x的函数关系 并确定自变量x的范围 2 有人提出一个判断 关于动点P PBC面积与 PAD面积之和为常数 请你 说明此判断是否正确 并说明理由 解解 1 过动点P作PE BC于点E 在 Rt ABC中 AC 10 PC AC AP 10 x PE BC AB BC PEC ABC 4 故 即 AC PC AB PE 5 4 8 10 10 8 xPE xPE PBC面积 5 12 24 2 1 xBCPE 又 PCD面积 PBC面积 5 12 24x 即 y x的取值范围是 0 x 10 x 5 24 48 2 这个判断是正确的 理由 由 1 可得 PAD面积 5 12 x PBC面积与 PAD面积之和 24 点拨点拨 由矩形的两边长 6 8 可得它的对角线是 10 这样 PC 10 x 而面积 y 是 一个不规则的四边形 所以可以把它看成规则的两个三角形 PBC PCD 这样问 题就非常容易解决了 综合巩固练习 综合巩固练习 100100 分分 9090 分钟 分钟 1 如图 2 5 8 所示 在直角坐标系中 ABC 各顶点坐标分别为 A 0 B 1 0 C 0 1 中 若 DEF 各顶点坐 3 标分别为 D 0 E 0 1 F 0 1 则下列判断 3 正确的是 A DEF 由 ABC 绕 O 点顺时针旋转 90 得到 B DEF 由 ABC 绕 O 点逆时针旋转 90 得到 C DEF 由 ABC 绕 O 点顺时针旋转 60 得到 D DEF 由 ABC 绕 O 点顺时针旋转 120 得到 2 如图 2 5 9 已知直线 y 2x 1 与 x 轴交于 A 点 与 y 轴交 于 B 点 直线 y 2x 1 与 x 轴交于 C 点 与 y 轴交于 D 点 试判断四边形 ABCD 的形状 5 3 如图 2 5 10 所示 在矩形 ABCD 中 BD 20 AD AB 设 ABD 已知 sin 是 方程 25z2 35z 12 0 的一个实根 点 E F 分别是 BC DC 上的点 EC CF 8 设 BE x AEF 面积等于 y 求出 y 与 x 之间的函数关系式 当 E F 两点在什么位置时 y 有最小值 并求出这个最小值 4 10 分 如图 2 5 11 所示 直线 y x 4 与 x 轴 y 轴分别交于点 M N 4 3 1 求 M N 两点的坐标 2 如果点 P 在坐标轴上 以点 P 为圆心 为半径的圆与直线 y x 4 相切 求 12 5 4 3 点 P 的坐标 5 10 分 如图 2 5 12 所示 已知等边三角形 ABC 中 AB 2 点 P 是 AB 边上的任意 一点 点 P 可以与点 A 重合 但不与点 B 重合 过点 P 作 PE BC 垂足为 E 过点 E 作 EF AC 垂足为 F 过点 F 作 FQ AB 垂足为 Q 设 BP x AQ y 写出 y 与 x 之间的函数关系式 当 BP 的长等于多少时 点 P 与点 Q 重合 当线段 PE FQ 相交时 写出线段 PE EF FQ 所围成三角形的周长的取值范围 不必写出解题过程 6 6 12 分 如图 2 5 13 所示 已知 A 由两点坐标分另为 28 0 和 0 28 动 点 P 从 A 点开始在线段 AO 上以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O 运动 动直线 EF 从 x 轴开始以每秒 1 个长度单位的速度向上平行移动 即 EF x 轴 并且分别交 y 轴 线段 AB 交于 E F 点 连接 FP 设动点 P 与动直线 EF 同时出发 运动时间为 t 秒 当 t 1 秒时 求梯形 OPFE 的面积 t 为何值时 梯形 OPFE 的面积最大 最大面 积是多少 当梯形 OPFE 的面积等于 APF 的面积时 求线段 PF 的长 设 t 的值分别取 t1 t2时 t1 t2 所对应的三角形分别为 AF1P1和 AF2P2 试判断这两个三角形是否相似 请证明你的判断 7 12 分 如图 2 5 14 所示 在直角坐标系中 矩形 ABCD 的顶点 A 的坐标为 1 0 对角线的交点 P 的坐标为 1 5 2 写出 B C D 三点的坐标 若在 AB 上有一点 E 作 入过 E 点的直线 将矩形 ABCD 的面积分为相等的两部分 求直线 l 的解析式 若过 C 点的直线 将矩形 ABCD 的面积分为 4 3 两部分 并与 y 轴交于点 M 求过点l C D M 三点的抛物线的解析式 7 8 10 分 已知矩形 ABCD 在平面直角坐标系中 顶点 A B D 的坐标分别为 A 0 0 B m 0 D 0 4 其中 m 0 写出顶点 C 的坐标和矩形 ABCD 的中心 P 点的坐标 用含 m 的代数式表示 若一次函数 y kx 1 的图象 把矩形 ABCD 分成面积相等的两部分 求此一次函数的解l 析式 用含 m 的代数式表示 在 的前提下 又与半径为 1 的 M 相切 且点 M 0 1 求此矩形 ABCD 的中l 心 P 点的坐标 9 10 分 如图 2 5 15 所示 等边三角形 ABC 的边长为 6 点 D E 分别在边 AB AC 上 且 AD AE 2 若点 F 从点 B 开始以每秒二个单位长度的速度沿射线 BC 方向运动 设 点 F 运动的时间为 t 秒 当 t 0 时 直线 FD 与过点 A 且平行于 BC 的直线相交于点 G GE 的延长线与 BC 的延长线相交于点 H AB 与 GH 相交于点 O 设 EGA 的面积为 S 写出 S 与 t 的函数解析式 当 t 为何值时 AB GH 请你证明 GFH 的面积为定值 8 10 10 分 如图 2 5 16 在矩形 ABCD 中 AB 10 cm BC 8cm 点 P 从 A 出发 沿 A B C D 路线运动 到 D 停止 点 Q 从 D 出发 沿 D C B A 路线运动 到 A 停止 若点 P 点 Q 同时出发 点 P 的速度为 1cm s 点 Q 的速度为 2cm s a s 时 点 P 点 Q 同时改变速度 点 P 的速度变为 bcm s 点 Q 的速度变为 d cm s 图 2 5 17 是点 P 出发 x 秒后 APD 的面积 S1 cm2 与 x s 的函数关系图象 图 2 5 18 是点 Q 出发 xs 后面