2012届高考数学一轮复习 4.10 三角函数的应用教案

1 4 104 10 三角函数的应用三角函数的应用 知识梳理 1 三角函数的性质和图象变换 2 三角函数的恒等变形 三角函数的化简 求值 证明多为综合题 突出对数学思想方法的考查 3 三角函数与其他数学知识的联系 特别要注意三角与几何 三角与平面向量的联系 点击双基 1 已知 sinx cosx 0 x 则 tanx等于 5 1 A 或 B 3 4 4 3 3 4 C D 或 4 3 3 4 4 3 解析 原式两边平方得 2sinxcosx 25 24 2sinxcosx 1 2sinxcosx sinx cosx 25 24 25 49 5 7 可得 sinx cosx tanx 5 4 5 3 3 4 答案 B 2 2001 年春季北京 若A B是锐角 ABC的两个内角 则点 P cosB sinA sinB cosA 在 A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 解析 ABC为锐角三角形 A B A B B A 2 2 2 sinA cosB sinB cosA P在第二象限 答案 B 3 2004 年北京西城区一模题 设 0 则下列不等式中一定成立的是 4 A sin2 sin B cos2 cos C tan2 tan D cot2 cot 解析 由 0 知 0 2 且 2 4 2 cos2 cos cos2 cos 答案 B 4 2003 年上海 若x 是方程 2cos x 1 的解 其中 0 2 则 3 解析 x 是方程 2cos x 1 的解 2cos 1 即 cos 3 3 3 2 1 2 又 0 2 3 3 3 7 3 3 5 3 4 答案 3 4 5 2004 年北京西城区二模题 理 函数y sinx sinx cosx x R R 的最大值3 是 解析 原式 sin2x sinxcosx sin2x sin2x cos2x sin 2x 其3 2 2cos1x 2 3 2 3 2 1 2 1 6 2 1 最大值为 1 2 1 2 3 答案 2 3 典例剖析 例 1 化简 cos cos k Z Z 3 13 k 3 13 k 剖析 原式 cos k cos k cos k 3 3 3 cos k 3 解 原式 cos k cos k 2cosk cos 3 3 3 2 1 k coscos sinsin 1 k cos sin k Z Z 3 3 3 例 2 已知 sin sin 求的值 3 2 5 1 tan tan 解 由已知得 5 1 sincoscossin 3 2 sincoscossin 所以 sin cos cos sin 从而 30 13 30 7 tan tan sincos cossin 7 13 思考讨论 由 不解 sin cos cos sin 能求吗 tan tan 提示 弦化切即可 读者不妨一试 例 3 求函数y x 0 的值域 xx xx sin42cos3 sin1sin2 2 剖析 将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数 再换元将其转化为一元函数求解 解 y xx xx sin4sin213 sin1sin2 2 1sin2sin sinsin 2 2 xx xx 3 设t sinx 则由x 0 t 0 1 2 对于y 1 12 2 2 tt tt 2 2 1 2131 t tt 1 3 t 2 1 2 t 令 m m 1 则y 2m2 3m 1 2 m 2 1 1 t2 1 4 3 8 1 当m 1 时 ymax 4 3 2 1 8 1 当m 或m 1 时 y 0 2 1 0 y 即y 0 8 1 8 1 评述 本题的解法较多 但此方法主要体现了换元转化的思想 在换元时要注意变量的 范围 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 2002 年春季北京 若角 满足条件 sin2 0 cos sin 0 则 在 A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 解析 sin2 0 2 在第三 四象限 在第二 四象限 又 cos sin 0 在第二象限 答案 B 2 2002 年春季上海 在 ABC中 若 2cosB sinA sinC 则 ABC的形状一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 解析 2cosB sinA sinC sin A B sin A B 0 又A B C为三角形的内角 A B 答案 C 3 2005 年启东市高三年级第二次调研考试题 在斜 ABC中 sinA cosBcosC且 tanBtanC 1 则 A的值为 3 A B C D 6 3 3 2 6 5 解析 由A B C sinA cosBcosC得 sin B C cosBcosC 即 sinBcosC cosBsinC cosBcosC tanB tanC 1 又 tan B C CB CB tantan1 tantan 3 tantanCB 3 1 3 3 tanA tanA 又 0 A A 3 3 3 3 6 答案 A 4 函数y sinx cosx的图象可由y sinx cosx的图象向右平移 个单位得到 4 解析 由y1 sinx cosx sin x 得x1 周期起点 2 4 4 由y2 sinx cosx sin x 得x2 周期起点 2 4 4 答案 2 5 函数y sin 的单调递减区间及单调递增区间分别是 2 1 4 3 2x 解析 y sin sin 2 1 4 3 2x 2 1 3 2x 4 故由 2k 2k 2 3 2x 4 2 3k x 3k k Z Z 为单调减区间 8 3 8 9 由 2k 2k 3k x 3k k Z Z 为单调增区间 2 3 2x 4 2 3 8 9 8 21 答案 3k 3k k Z Z 3k 3k k Z Z 8 3 8 9 8 9 8 21 6 已知 0 x 则函数y 4sinxcosx cos2x的值域是 2 2 解析 可化为y 3sin 2x 其中 cos sin 且有 2x 3 22 3 1 ymax 3sin 3 ymin 3sin 3sin 1 2 值域是 1 3 答案 1 3 培养能力培养能力 7 设a a sinx 1 cosx 1 b b 2 2 2 2 1 若a a为单位向量 求x的值 2 设f x a a b b 则函数y f x 的图象是由y sinx的图象按c c平移而得 求c c 解 1 a a 1 sinx 1 2 cosx 1 2 1 即 sinx cosx 1 sin x 1 2 4 sin x x 2k 或x 2k k Z Z 4 2 2 2 2 a a b b sin x f x sin x 4 2 4 2 由题意得c c 4 2 8 求半径为R的圆的内接矩形周长的最大值 5 A B C D O 2R q 解 设 BAC 周长为P 则P 2AB 2BC 2 2Rcos 2Rsin 4Rsin 4R 2 4 2 当且仅当 时 取等号 周长的最大值为 4R 4 2 探究创新探究创新 9 2004 年北京东城区高三第一次模拟考试 在 ABC中 若 sinC cosA cosB sinA sinB 1 求 C的度数 2 在 ABC中 若角C所对的边c 1 试求内切圆半径r的取值范围 解 1 sinC cosA cosB sinA sinB 2sinCcos cos 2sin cos 2 BA 2 BA 2 BA 2 BA 在 ABC中 2 2 BA 2 cos 0 2sin2cos cos 1 2sin2 cos 0 2 BA 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 1 2sin2 0 或 cos 0 舍 2 C 2 C 0 C C 2 2 设 Rt ABC中 角A和角B的对边分别是a b 则有a sinA b cosA ABC的内切圆半径r a b c sinA cosA 1 2 1 2 1 sin A 2 2 4 2 1 2 12 ABC内切圆半径r的取值范围是 0 r 2 12 思悟小结 三角函数是中学教材中一种重要的函数 它的定义和性质有许多独特的表现 是高考中 对基础知识和基本技能考查的重要内容之一 同时 由于三角函数和代数 几何知识联系密 切 它又是研究其他各类知识的重要工具 因此应重视对知识理解的准确性 加强对三角知 识工具性的认识 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 因本节是三角函数的应用 建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用 使知识能条理化并形成一个网络 2 总结本章涉及的数学思想方法 以及与三角相关联的一些知识点 拓展题例拓展题例 6 例 1 已知 cosB cos sinA cosC sin sinA 求证 sin2A sin2B sin2C 2 分析 本题为条件恒等式的证明 要从条件与要证的结论之间的联系入手 将结论中的 sin2B sin2C都统一成角A的三角函数 证法一 sin2A sin2B sin2C sin2A 1 cos sinA 2 1 sin sinA 2 sin2A 1 cos2 sin2A 1 sin2 sin2A sin2A 1 sin2 1 cos2 sin2A 1 sin2Acos2 sin2Acos2 2 2 原式成立 证法二 由已知式可得 cos sin A B sin cos A C sin cos 平方相加得 cos2B cos2C sin2A sin2A 2 2cos1B 2 2cos1C cos2B cos2C 2sin2A 2 1 2sin2B 1 2sin2C 2sin2A 2 sin2A sin2B sin2C 2 例 2 函数f x 1 2a 2acosx 2sin2x的最小值为g a a R R 1 求g a 2 若g a 求a及此时f x 的最大值 2 1 解 1 f x 1 2a 2acosx 2 1 cos2x 2cos2x 2acosx 1 2a 2 cosx 2 2a 1 2 a 2 2 a 若 1 即a 2 则当 cosx 1 时 2 a f x 有最小值g a 2 1 2 2a 1 1 2 a 2 2 a 若 1 1 即 2 a 2 则当 cosx 时 f x 有最小值g a 2 a 2 a 2a 1 2 2 a 若 1 即a 2 则当 cosx 1 时 f x 有最小值g a 2 1