圆锥曲线知识点总结

1 圆锥曲线圆锥曲线 一 椭圆一 椭圆 1 定义 平面内与两个定点 的距离之和等于常数 大于 的点 1 F 2 F 12 F F 的轨迹称为椭圆 即 2 2 2121 FFaaMFMF 这两个定点称为椭圆的焦点 两焦点的距离称为椭圆的焦距 2 椭圆的几何性质 焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围且axa byb 且bxb aya 顶点 1 0aA 2 0aA 1 0 b 2 0 b 1 0 aA 2 0 aA 1 0b 2 0b 轴长短轴的长 长轴的长2b 2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于轴 轴 原点对称xy 离心率 e越小 椭圆越圆 e越大 椭圆越扁 2 2 101 cb ee aa 2 二 双曲线 1 定义 平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 小于 1 F 2 F 的点的轨迹称为双曲线 即 12 F F 2 2 2121 FFaaMFMF 这两个定点称为双曲线的焦点 两焦点的距离称为双曲线的焦距 2 双曲线的几何性质 焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y 图形 标准方程 22 22 10 0 xy ab ab 22 22 10 0 yx ab ab 范围或 xa xa yR 或 ya ya xR 顶点 1 0aA 2 0aA 1 0 aA 2 0 aA 轴长虚轴的长 实轴的长2b 2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于轴 轴对称 关于原点中心对称xy 离心率 越大 双曲线的开口越阔 2 2 11 cb ee aa e 渐近线方程 b yx a a yx b 5 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 三 抛物线 3 1 定义 平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛Fl 物线 定点称为抛物线的焦点 定直线 称为抛物线的准线 Fl 2 抛物线的几何性质 标准方程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 范围0 x 0 x 0y 0y 顶点 0 0 对称轴轴x轴y 焦点 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率 越大 抛物线的开口越大 1e p 焦半径 0 0 M x y 0 2 p MFx 0 2 p MFx 0 2 p MFy 0 2 p MFy 通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径 2HHp 焦点弦长 公式 12 ABxxp 12 AByyp 3 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 两点的线段 称为A A 抛物线的 通径 即 2pA 4 关于抛物线焦点弦的几个结论 设为过抛物线焦点的弦 直线AB 2 2 0 ypx p 1122 A x yB xy AB 的倾斜角为 则 4 2 2 1212 4 p x xy yp 2 2 sin p AB 以为直径的圆与准线相切 AB 4 112 FAFBP 四 直线与圆锥曲线的位置关系四 直线与圆锥曲线的位置关系 繁琐 利用两点间距离公式 易 利用一般弦长公式 容 弦长问题直线与圆锥曲线相交的 系 直线与圆锥曲线位置关代数角度 适用于所有 位置关系主要适用于直线与圆的 几何角度 关系直线与圆锥曲线的位置 直线与圆锥曲线 1 2 直线与圆锥曲线的位置关系 从几何角度看 特别注意 要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时 直线与 双曲线只有一个交点 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时 直线与抛物线也只有 一个交点 从代数角度看 设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到 0 2 cbxax 若 0 当圆锥曲线是双曲线时 直线L与双曲线的渐进线平行或重合 a 当圆锥曲线是抛物线时 直线L与抛物线的对称轴平行或重合 若 设 时 直线和圆锥曲线相交于不同两点 相交0 aacb4 2 a0 b 时 直线和圆锥曲线相切于一点 相切 c 时 直线和圆锥曲线没有公0 0 共点 相离 五 弦长问题 五 弦长问题 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点 化解这个难点的方法是 设而不求 根据根与系数的关系 进行整体代入 即当直线与圆锥曲线交于