北京市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

1 北京市北京市 2001 20122001 2012 年中考数学试题分类解析年中考数学试题分类解析 专题专题 1212 押轴题押轴题 1 选择题 1 2001 年北京市 4 分 已知梯形的上底长是 3cm 它的中位线长是 4cm 则它的下底长等于 A 3cm B 3 5cm C 5cm D 5 5cm 2 2002 年北京市 4 分 如图 在平行四边形 ABCD 中 CE 是 DCB 的平分线 F 是 AB 的中点 AB 6 BC 4 则 AE EF FB 为 3 2003 年北京市 4 分 三峡工程在 6 月 1 日于 6 月 10 日下闸蓄水期间 水库水位由 106 米升至 135 米 高峡平湖初现人间 假设水库水位匀速上升 那么下列图象中 能正确反映这 10 天水位 h 米 随 时间 t 天 变化的是 A 2 4 2004 年北京市 4 分 如图 点 A D G M 在半圆 O 上 四边形 ABOC DEOF HMNO 均为矩 形 设 BC a EF b NH c 则下列各式中正确的是 5 2005 年北京市 4 分 如下图 在平行四边形 ABCD 中 DAB 60 AB 5 BC 3 点 P 从起点 D 出 发 沿 DC CB 向终点 B 匀速运动 设点 P 所走过的路程为 x 点 P 所经过的线段与线段 AD AP 所围成图 形的面积为 y y 随 x 的变化而变化 在下列图象中 能正确反映 y 与 x 的函数关系的是 3 6 2006 年北京市大纲 4 分 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD 1 AB 2 3 BC 2 P 是 BC 边上的一个动点 点 P 与点 B 不重合 DE AP 于点 E 设 AP x DE y 在下列图象中 能正确 反映 y 与 x 的函数关系的是 7 2006 年北京市课标 4 分 将如图所示的圆心角为90 的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸帽 使扇形的两 条半径 OA 与 OB 重合 接缝粘贴部分忽略不计 则围成的圆锥形纸帽是 4 8 2007 年北京市 4 分 下图所示是一个三棱柱纸盒 在下面四个图中 只有一个是这个纸盒的展开图 那么这个展开图是 9 2008 年北京市 4 分 已知 O 为圆锥的顶点 M 为圆锥底面上一点 点 P 在 OM 上 一只蜗牛从 P 点 出发 绕圆锥侧面爬行 回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示 若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展 开 所得侧面展开图是 10 2009 年北京市 4 分 如图 C 为 O 直径 AB 上一动点 过点 C 的直线交 O 于 D E 两点 且 ACD 45 DF AB 于点 F EG AB 于点 G 当点 C 在 AB 上运动时 设 AF x DE y 下列中图 象中 能表示y与x的函数关系式的图象大致是 5 11 2010 年北京市 4 分 美术课上 老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开 用裁开的纸片 和白纸上的阴影部分围成一个立体模型 然后放在桌面上 下列四个示意图中 只有一个符合上述要求 那么这个示意图是 12 2011 年北京市 4 分 如图在 Rt ABC 中 ACB 90 BAC 30 AB 2 D 是 AB 边上的一个动 点 不与点 A B 重合 过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E 设 AD CE 则下列图象中 能表 示y与 x 的函数关系图象大致是 6 13 2012 年北京市 4 分 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步 他从点 A 出发 沿箭头所示方向经过 点 B 跑到点 C 共用时 30 秒 他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程 设小翔跑步的时间为 t 单位 秒 他与教练的距离为 y 单位 米 表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示 则这个 固定位置可能是图 1 中的 A 点 MB 点 NC 点 PD 点 Q 7 二 填空题 1 2001 年北京市 4 分 已知两圆内切 圆心距为 2cm 其中一个圆的半径为 3cm 那么另一个圆的半 径为 cm 2 2002 年北京市 4 分 一种圆筒状包装的保鲜膜 如图所示 其规格为 20cm 60m 经测量这筒保鲜 8 膜的内径 1 外径 的长分别为 3 2cm 4 0cm 则该种保鲜膜的厚度约为 cm 取 3 14 结果保留两位有效数字 3 2003 年北京市 4 分 观察下列顺序排列的等式 9 0 1 1 9 1 2 11 9 2 3 21 9 3 4 31 9 4 5 41 猜想 第 n 个等式 n 为正整数 应为 4 2004 年北京市 4 分 我们学习过反比例函数 例如 当矩形面积 S 一定时 长 a 是宽 b 的反比 例函 数 其函数关系式可以写为a S b S 为常数 S 0 9 请你仿照上例另举一个在日常生活 生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例 并写出它的函 数 关系式 实例 函数关系式 5 2005 年北京市 4 分 在 ABC 中 B 25 AD 是 BC 边上的高 并且 AD2 BD DC 则 BCA 的度数 为 6 2006 年北京市大纲 4 分 如果a2 b3 那么 2 a b的值等于 7 2006 年北京市课标 4 分 如图 在 ABC 中 AB AC M N 分别是 AB AC 的中点 D E 为 BC 上的点 连接 DN EM 若 AB 13cm BC 10cm DE 5cm 则图中阴影部分的面积为 2 cm 10 8 2007 年北京市 4 分 下图是对称中心为点 O 的正六边形 如果用一个含 30 角的直角三角板的角 借助点 O 使角的顶点落在点 O 处 把这个正六边形的面积 n 等分 那么 n 的所有可能的值是 11 9 2008 年北京市 4 分 一组按规律排列的式子 2 b a 5 2 b a 8 3 b a 11 4 b a ab0 其中第 7 个式子是 第n个式子是 n为正整数 10 2009 年北京市 4 分 如图 正方形纸片 ABCD 的边长为 1 M N 分别是 AD BC 边上的点 将纸 片的一角沿过点 B 的直线折叠 使 A 落在 MN 上 落点记为 A 折痕交 AD 于点 E 若 M N 分别是 AD BC 边的中点 则 A N 若 M N 分别是 AD BC 边的上距 DC 最近的 n 等分点 n2 且 n 为整数 则 A N 用含有 n 的式子表示 12 11 2010 年北京市 4 分 下图为手的示意图 在各个手指间标记字母 A B C D 请你按图中箭头所 指方向 即 A B C D C B A B C 的方式 从 A 开始数连续的正整数 1 2 3 4 当数 到 12 时 对应的字母是 当字母 C 第 201 次出现时 恰好数到的数是 当字母 C 第2n1 次出现时 n为正整数 恰好数到的数是 用含n的代数式表示 12 2011 年北京市 4 分 在下表中 我们把第 i 行第 j 列的数记为ai j 其中 i j 都是不大于 5 的 正整数 对于表中的每个数ai j 规定如下 当 i j 时 ai j 1 当 i j 时 ai j 0 例如 当 i 2 j 1 时 ai j a2 1 1 按此规定 a1 3 表中的 25 个数中 共有 个 1 计算 a1 1 ai 1 a1 2 ai 2 a1 3 ai 3 a1 4 ai 4 a1 5 ai 5的值为 13 答案 0 15 1 考点 探索规律题 数字的变化类 分析 由题意 从 i 与 j 之间大小分析 很容易求出 表中各数 从而得出a1 3 0 表中的 25 个数中 共有 15 个 1 并计算 a1 1 ai 1 a1 2 ai 2 a1 3 ai 3 a1 4 ai 4 a1 5 ai 5 1 1 0 ai 2 0 ai 3 0 ai 4 0 ai 5 1 13 2012 年北京市 4 分 在平面直角坐标系xOy中 我们把横 纵坐标都是整数的点叫做整点 已 知 点 A 0 4 点 B 是x轴正半轴上的整点 记 AOB 内部 不包括边界 的整点个数为 m 当 m 3 时 点 B 的横坐标的所有可能值是 当点 B 的横坐标为 4n n 为正整数 时 m 用含 n 的代数式表示 a1 1a1 2a1 3a1 4a1 5 a2 1a2 2a2 3a2 4a2 5 a3 1a3 2a3 3a3 4a3 5 a4 1a4 2a4 3a4 4a4 5 a5 1a5 2a5 3a5 4a5 5 a1 1 1a1 2 0a1 3 0a1 4 0a1 5 0 a2 1 1a2 2 1a2 3 0a2 4 0a2 5 0 a3 1 1a3 2 1a3 3 1a3 4 0a3 5 0 a4 1 1a4 2 1a4 3 1a4 4 1a4 5 0 a5 1 1a5 2 1a5 3 1a5 4 1a5 5 1 14 AOB 内部 不包括边界 的整点个数 m 12 n 3 3 2 6n 3 三 解答题 1 2001 年北京市 10 分 如图 ABC 内接于 O AB 是 O 的直径 PA 是过 A 点的直线 PAC B 1 求证 PA 是 O 的切线 2 如果弦 CD 交 AB 于 E CD 的延长线交 PA 于 F AC 8 CE ED 6 5 AE EB 2 3 求 AB 的长和 ECB 的正切值 15 设 BC m 同理可求得 AD 5 3 m AB 是直径 ACB ADB 是直角三角形 由勾股定理 得 22222 ABACBCADBD 即 2 2 22 5 8mm4 5 3 解得 m 6 BC 6 AD 25 22 BD ABACBC10tan ECBtan DAB2 AD 考点 圆周角定理 切线的判定 相交弦定理 相似三角形的判定和性质 勾股定理 锐角三角函数 定义 分析 1 要证 PA 是 O 的切线 只要证 PAO 90 即可 AB 为直径 CAB CBA 90 又 16 PAC B 所以 CAB PAC 90 即 PA 是 O 的切线 2 连接 AD BD 可设 CE 6x AE 2y 进而根据已知条件 用 x y 表示出 DE BE 的长 由相 交弦定理 即可求得 x y 的比例关系 易证得 AEC BED 根据所得成比例线段 即可求得 BD 的长 同理可设 BC m 由 BEC DEA 求得 AD 的表达式 在 Rt ADB 和 Rt ACB 中 可由勾股定理分别表示 出 AB2 即可得到关于 m 的方程 从而求出 m 的值 即 BC 的长 即可由勾股定理求得 AB 的长 根据圆周 角定理知 ECB DAB 因此只需在 Rt ABD 中 求出 DAB 的正切值即可 2 2001 年北京市 12 分 已知抛物线 2 1 yxn1 x2n 2 n 0 经过点以点 A x1 0 B x2 0 D 0 y1 其中 x1 x2 ABD 的面积等于 12 1 求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标 2 如果点以 C 2 y2 在这条抛物线上 点 P 在 y 轴的正半轴上 且 BCP 为等腰三角形 求直线 PB 的解析式 P1 0 1 2 符合题意 直线 P1B 的解析式为 11 yx 82 17 如图 2 设 P2 0 m2 满足 P2B BC 其中 m2 0 由勾股定理得 2222 2 OBOP42 即 2222 2 4m42 解得 m2 2 舍去 m2 2 P2 0 2 符合题意 直线 P2B 的解析式为yx2 设 P3 0 m3 满足 P3C BC 其中 m3 0 由勾股定理得 2222 3 DPCD42 即 2 222 3 4m242 解得 m3 0 舍去 m3 8 P3 0 8 直线 P3B 的解析式为y2x8 C 2 4 在 P3B 上 P3不符合题意 舍去 综上所述 直线 PB 的解析式为 11 yx 82 yx2 考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 等腰三角形的判定 分类思想的应用 分析 1 根据抛物线的解析式表示出 A B 的横坐标 可得出 AB 的长 然后根据 ABD 的面积为 12 可求出 n 的值 即可求出抛物线的解析式 进而可求出顶点坐标 2 分 PB PC PB BC PC BC 三种情况讨论即可 3 2002 年北京市 9 分 如图 AB 是 O 的直径 AE 平分 BAF 交 O 于点 E 过点 E 作直线与 AF 垂直 交 AF 延长线于 D 点 且交 AB 延长线于 C 点 1 求证 CD 与 O 相切于点 E 2 若 CE DE 15 4 AD 3 求 O 的直径及 AED 的正切值 18 54xx 58x3 解得 x 1 舍去 或 x 15 8 O 直径为 15 4 CA CB BA 5 由切割线定理知 CE2 CB CA 25 4 CE 5 2 1513 DE 4CE2 tan AED AD 2 DE 考点 角平分线定义 平行的判定和性质 切线的判定 相似三角形的判定和性质 锐角三角函数定 义 19 分析 1 由题可知 E 已经是圆上一点 欲证 CD 为切线 只需证明 OED 90 即可 2 欲求圆的直径 必须求出半径 OA 或 OB 或 OE 可以把题中所求部分抽象到相似三角形中来 考虑 借助于比例线段来求解 AED 的正切值则可求出 AD 以及 ED 的值 4 2002 年北京市 12 分 已知 二次函数 2 yxkxk4 的图象与 y 轴交于点 C 且与 x 轴的正半 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 左侧 若 A B 两点的横坐标为整数 1 确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标 2 若点 D 的坐标是 0 6 点 P t 0 是线段 AB 上的一个动点 它可与点 A 重合 但不与点 B 重 合 设四边形 PBCD 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 3 若点 P 与点 A 重合 得到四边形 ABCD 以四边形 ABCD 的一边为边 画一个三角形 使它的面积等 于四边形 ABCD 的面积 并注明三角形高线的长 再利用 等底等高的三角形面积相等 的知识 画一个 三角形 使它的面积等于四边形 ABCD 的面积 画示意图 不写计算和证明过程 20 S 11 1266t 22 S 与 t 的函数关系式S363t 2t6 3 作图如下 5 2003 年北京市 8 分 已知 在 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 以 C 为圆心 CD 为半径的半圆交 BC 的延长线于点 E 交 AD 于点 F 交 AE 于点 M 且 B CAE FE FD 4 3 1 求证 AF DF 21 2 求 AED 的余弦值 3 如果 BD 10 求 ABC 的面积 考点 等腰三角形的判定和性质 圆周角定理 勾股定理 切割线定理 锐角三角函数定义 相似三 角形的判定和性质 待定系数法的应用 分析 1 欲证 AF DF 可以证明 EA ED 根据等腰三角形三线合一的性质得到 由已知通过角的等量 22 代换可以得到 2 求 AED 的余弦值 即求 ME DM 由已知条件 勾股定理 切割线定理的推论可以求出 3 根据 ABC 的面积公式求出 BC AN 的长是关键 根据题意由三角函数及相似比即可求出 6 2003 年北京市 8 分 已知 抛物线 2 yax4axt 与 x 轴的一个交点为 A 1 0 1 求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标 2 D 是抛物线与 y 轴的交点 C 是抛物线上的一点 且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9 求此抛 物线的解析式 3 E 是第二象限内到 x 轴 y 轴的距离 的比为 5 2 的 点 如果点 E 在 2 中的抛物线上 且它 与点 A 在此抛物线对称轴的同侧 问 在抛物线的对称轴上是否存在点 P 使 APE 的周长最小 若存 在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 23 2 3 4 1 30 2 此方程无实数根 此时不存在点 E 24 7 2004 年北京市 8 分 已知 如图 1 ACG 900 AC 2 点 B 为 CG 边上的一个动点 连结 AB 将 ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到 ADB 过点 D 作 DF CG 于点 F 当 BC 2 3 3 时 判断直线 FD 与以 AB 为直径的 O 的位置关系 并加以证明 如图 2 点 B 在 CG 上向点 C 运动 直线 FD 与以 AB 为直径的 O 交于 D H 两点 连结 AH 当 CAB BAD DAH 时 求 BC 的长 25 BC3 tan CAB AC3 CAB BAD 300 又 EDB 900 EB 2x EB BC EC 2x x 2 解得 x 22 2 BC 22 2 考点 动点问题 翻折问题 翻折对称的性质 直角三角形斜边上中线的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 等边三角形的判定和性质 平行的判定和性质 切线的判定 圆内接四边形的判 定和性质 勾股定理 分析 1 根据已知及切线的判定证明得 直线 FD 与以 AB 为直径的 O 相切 2 根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析 从而求得 BC 的长 8 2004 年北京市 8 分 已知 在平面直角坐标系 xOy 中 过点 P 0 2 任作一条与抛物线 y ax2 a 0 交于两点的直线 设交点分别为 A B 若 AOB 90 判断 A B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值 并说明理由 确定抛物线 y ax2 a 0 的解析式 当 AOB 的面积为4 2时 求直线 AB 的解析式 26 答案 解 1 A B 两点纵坐标的乘积是一个确定的值 理由如下 直线 AB 过点 P 0 2 设直线 AB 的解析式为 y kx 2 2 21 xx 2 k4 27 9 2005 年北京市 8 分 已知 在 Rt ABC 中 ABC 90 D 是 AC 的中点 O 经过 A D B 三点 CB 的延长线交 O 于点 E 如图 1 在满足上述条件的情况下 当 CAB 的大小变化时 图形也随着改变 如图 2 在这个变化过程中 有 些线段总保持着相等的关系 1 观察上述图形 连接图 2 中已标明字母的某两点 得到一条新线段与线段 CE 相等 请说明理由 2 在图 2 中 过点 E 作 O 的切线 交 AC 的延长线于点 F 若 CF CD 求 sin CAB 的值 若 CF n CD n 0 试用含 n 的代数式表示 sin CAB 直接写出结果 28 答案 解 1 连接 AE 则 AE CE 理由如下 如图 连接 OD 29 设 AD CD k k 0 则 DF n 1 k kDE DEn 1 k DE n 1 k 在 Rt CDE 中 CE2 CD2 DE2 k2 n 1 k 2 3k2 CE n2k 30 CAB DEC sin CAB sin DEC CDkn2 CEn2n2k 10 2005 年北京市 9 分 已知 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数 y kx 4k 的图象与 x 轴交于点 A 抛物线 y ax2 bx c 经过 O A 两点 1 试用含 a 的代数式表示 b 2 设抛物线的顶点为 D 以 D 为圆心 DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分 若将劣弧沿 x 轴 翻折 翻折后的劣弧落在 D 内 它所在的圆恰与 OD 相切 求 D 半径的长及抛物线的解析式 3 设点 B 是满足 2 中条件的优弧上的一个动点 抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P 使得 POA 4 3 OBA 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 31 4a 2 a 1 2 b 4a 2 抛物线的解析式为 y 1 2 x2 2x 当 a 0 时 同理可得 OD 22 抛物线的解析式为 y 1 2 x2 2x 综上 D 半径的长为 22 抛物线的解析式为 y 1 2 x2 2x 或 y 1 2 x2 2x 3 抛物线在 x 轴上方的部分上存在点 P 使得 POA 4 3 OBA 设点 P 的坐标为 x y 且 y 0 当点 P 在抛物线 y 1 2 x2 2x 上时 如图 点 B 是 D 的优弧上的一点 OBA 1 2 ADO 45 POA 4 3 OBA 60 32 11 2006 年北京市大纲 8 分 已知 AB 是半圆 O 的直径 点 C 在 BA 的延长线上运动 点 C 与点 A 不 重合 以 OC 为直径的半圆 M 与半圆 O 交于点 D DCB 的平分线与半圆 M 交于点 E 1 求证 CD 是半圆 O 的切线 图 2 作 EF AB 于点 F 图 猜想 EF 与已有的哪条线段的一半相等 并加以证明 3 在上述条件下 过点 E 作 CB 的平行线 CD 于点 N 当 NA 与半圆 O 相切时 图 求 EOC 的正 切值 33 分析 1 连接 OD 由直径对的圆周角是直角知 CDO 90 再切线的判定方法即可判定 CD 是半圆 O 的切线 2 连接 OD OE 延长 OE 交 CD 于点 K 作 EG CD 于点 G 则根据垂直于同一直线的两条 34 12 2006 年北京市大纲 9 分 已知 抛物线 y x2 mx 2m2 m 0 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左边 C 是抛物线上一个动点 点 C 与点 A B 不重合 D 是 OC 的中点 连结 BD 并延长 交 AC 于点 E 1 用含 m 的代数式表示点 A B 的坐标 2 求 CE AE 的值 3 当 C A 两点到 y 轴的距离相等 且 CED S 8 5 时 求抛物线和直线 BE 的解析式 35 OCE AOC SCE2 SCA5 CED AOC S1 S5 S AOC 5S CED 8 23 AOCC 11 SOA ym 2mm 22 m3 8 解得 m 2 抛物线的解析式为 y x2 2x 8 点 C 的坐标为 2 8 点 B 的坐标为 4 0 分别过点 D C 作 x 轴的垂线 交 x 轴于点 M N DM CN D 是 OC 的中点 OM 1 2 ON 1 DM 1 2 CN 4 点 D 的坐标为 1 4 设直线 BE 的解析式为 y kx b 则有 4kb0 kb4 解得 4 k 3 16 b 3 直线 BE 的解析式为 416 yx 33 考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 相似三角形的判定和性质 分析 1 由 y 0 得出的一元二次方程的解就是 A B 两点的横坐标 由此可求出 A B 的坐标 36 13 2006 年北京市课标 8 分 已知抛物线 2 yaxbxc 与 y 轴交于点 A 0 3 与 x 轴分别交于 B 1 0 C 5 0 两点 1 求此抛物线的解析式 2 若点 D 为线段 OA 的一个三等分点 求直线 DC 的解析式 3 若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发 先到达 x 轴上的某点 设为点 E 再到达抛物线的对称轴上某 点 设为点 F 最后运动到点 A 求使点 P 运动的总路径最短的点 E 点 F 的坐标 并求出这个最短总 路径的长 37 点 A 关于抛物线对称轴 x 3 的对称点为A 6 3 连接AM 3 根据轴对称的性质 得点 M 关于 x 轴的对称点和点 A 关于抛物线对称轴 x 3 的对称点的连线 AM 的长就是所求点 P 运动的最短总路径的长 AM 与 x 轴的交点为所求 E 点 与直线 x 3 的交点为 所求 F 点 求出AM 的解析式即可求得点 E F 的坐标 由勾股定理即可求得AM 的长即点 P 运动的 最短总路径的长 14 2006 年北京市课标 8 分 我们给出如下定义 若一个四边形的两条对角线相等 则称这个四边形 为等对角线四边形 请解答下列问题 1 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称 2 探究 当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为 600时 这对 600角所对的两边之和与其中一条 对角线的大小关系 并证明你的结论 38 39 15 2007 年北京市 7 分 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 2 ymx2 3mxn 经过 P 3 5 A 0 2 两点 1 求此抛物线的解析式 2 设抛物线的顶点为 B 将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线 l 直线 l 与抛物线的对称轴交 于 C 点 求直线 l 的解析式 3 在 2 的条件下 求到直线 OB OC BC 距离相等的点的坐标 答案 解 1 根据题意得 3m6mn5 n2 解得 1 m 3 n2 抛物线的解析式为 2 12 3 yxx2 33 40 M1 2 3 3 0 M2 0 2 M3 0 2 M4 2 3 0 考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 平移的性质 等边三角形的判定和性质 41 16 2007 年北京市 8 分 我们知道 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 类似地 我们定义 至 少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形 1 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称 2 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在 AB AC 上 设 CD BE 相交于点 O 若 A 60 DCB EBC 1 2 A 请你写出图中一个与 A 相等的角 并猜想图中哪个四边形是等对边四边形 3 在 ABC 中 如果 A 是不等于 60 的锐角 点 D E 分别在 AB AC 上 且 DCB EBC 1 2 A 探 究 满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形 并证明你的结论 42 考点 新定义 等腰梯形的性质 全等三角形的判定和性质 分析 1 理解等对边四边形的图形的定义 平行四边形 等腰梯形就是 2 与 A 相等的角是 BOD 或 COE 四边形 DBCE 是等对边四边形 3 作 CG BE 于 G 点 作 BF CD 交 CD 延长线于 F 点 易证 BCF CBG 从而证明 BDF CEG 所以 BD CE 所以四边形 DBCE 是等边四边形 17 2008 年北京市 7 分 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 2 yxbxc 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 点 B 的坐标为 3 0 将直线 y kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度 后恰好经过 B C 两点 1 求直线 BC 及抛物线的解析式 2 设抛物线的顶点为 D 点 P 在抛物线的对称轴上 且 APD ACB 求点 P 的坐标 3 连接 CD 求 OCA 与 OCD 两角和的度数 43 0 OBC45 CB3 2 如图 1 设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F 1 AFAB1 2 过点 A 作 AE BC 于点 E 0 AEB90 可得BEAE2 CE2 2 在 AEC 与 AFP 中 0 AECAFP90 ACEAPF AEC AFP AECE AFPF 即 22 2 1PF 解得PF2 点 P 在抛物线的对称轴上 点 P 的坐标为 2 2 或 2 2 3 如图 2 作点 A 1 0 关于 y 轴的对称点A 则A 1 0 44 18 2008 年北京市 8 分 请阅读下列材料 问题 如图 1 在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中 点 A B E 在同一条直线上 P 是线段 DF 的中点 连接 PG PC 若 ABC BEF 60 探究 PG 与 PC 的位置关系及 PG PC 的值 小聪同学的思路是 延长 GP 交 DC 于点 H 构造全等三角形 经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同 学的思路 探究并解决下列问题 1 写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 PG PC 的值 2 将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转 使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同 一条直线上 原问题中的其他条件不变 如图 2 你在 1 中得到的两个结论是否发生变化 写出你的 猜想并加以证明 3 若图 1 中 ABC BEF 2 0 90 将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转任意角度 原问题中 45 的其他条件不变 请你直接写出 PG PC 的值 用含 的式子表示 HCG 为等腰三角形且 P 为底边中点的条件 46 CD GF PDH PFG DHP PGF DP PF 19 2009 年北京市 8 分 在平行四边形 ABCD 中 过点 C 作 CE CD 交 AD 于点 E 将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 0 90得到线段 EF 如图 1 1 在图 1 中画图探究 当 P 为射线 CD 上任意一点 P1不与 C 重合 时 连结 EP1绕点 E 逆时针旋转 0 90 得到线段 EC1 判断直线 FC1与直线 CD 的位置关系 并加以证明 当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时 连结 EP2 将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转 0 90得到线段 EC2 判断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系 画出图形并直接写出你的结论 2 若 AD 6 tanB 4 3 AE 1 在 的条件下 设 CP1 x S 11 P FC y 求y与x之间的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 答案 解 1 直线 FG1与直线 CD 的位置关系为互相垂直 证明如下 47 如图 1 设直线 FG1与直线 CD 的交点为 H 线段 EC EP1分别绕点 E 逆时针旋转 900依次得到线段 EF EG1 P1EG1 CEF 900 EG1 EP1 EF EC 48 考点 旋转问题 旋转的性质 全等三角形的判定和性质 垂直的判定 平行四边形的性质 锐角三 角函数定义 分类思想的应用 分析 1 直线 FG1 与直线 CD 的位置关系为互相垂直 理由为 P1EC 按要求旋转后得到的 G1EF 全等 再结合 P1CE G1FE 900去说明 按题目要求所画图形见图 1 直线 G1G2与直线 CD 的位置关系为互相垂直 49 2 分 点 P1在线段 CH 的延长线上 点 P1在线段 CH 上和点 P1与点 H 重合三种情况讨论即可 20 2009 年北京市 7 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 ABC 三个顶点的坐标分别为 A 6 0 B 6 0 C 0 4 3 延长 AC 到点 D 使 CD 1 2 AC 过点 D 作 DE AB 交 BC 的延长线于点 E 1 求 D 点的坐标 2 作 C 点关于直线 DE 的对称点 F 分别连接 DF EF 若过 B 点的直线 y kx b 将四边形 CDFE 分成周 长相等的两个四边形 确定此直线的解析式 3 设 G 为 y 轴上一点 点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发 先沿 y 轴到达 G 点 再沿 GA 到达 A 点 若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍 试确定 G 点的位置 使 P 点按照上述要求 到达 A 点所用的时间最短 要求 简述确定 G 点位置的方法 但不要求证明 50 可证 FTM CSM FT CS FE CD TE SD EC DF TE EC CS ST SD DF FT TS 直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形 由点 B 6 0 点 M 0 6 3 在直线 y kx b 上 可得直线 BM 的解析式为y3x6 3 3 确定 G 点位置的方法 过 A 点作 AH BM 于点 H 则 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点 51 21 2010 年北京市 8 分 在平面直角坐标系xOy中 抛物线 22 m15m yxxm3m2 44 与x轴 的交点分别为原点 O 和点 A 点 B 2 n 在这条抛物线上 1 求 B 点的坐标 2 点 P 在线段 OA 上 从 O 点出发向 A 点运动 过 P 点作x轴的垂线 与直线 OB 交于点 E 延长 PE 到 点 D 使得 ED PE 以 PD 为斜边 在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD 当 P 点运动时 C 点 D 点也随之运 动 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时 求 OP 的长 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动 速度为每秒 1 个单位 同时线段 OA 上另一点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动 速度为每秒 2 个单位 当 Q 点到达 O 点时停止运动 P 点也同时停止运动 过 Q 点作 x轴的垂线 与直线 AB 交于点 F 延长 QF 到点 M 使得 FM QF 以 QM 为斜边 在 QM 的左侧作等腰直角 三角形 QMN 当 Q 点运动时 M 点 N 点也随之运动 若 P 点运动到t秒时 两个等腰直角三角形分别有 一条边恰好落在同一条直线上 求此刻t的值 52 第二种情况 PC 与 MN 在同一条直线上 如图 3 所示 可证 PQM 为等腰直角三角形 此时 OP AQ 的长可依次表示为 t 2t 个 单位 OQ 10 2t 53 22 2010 年北京市 7 分 问题 已知 ABC 中 BAC 2 ACB 点 D 是 ABC 内一点 且 AD CD BD BA 探究 DBC 与 ABC 度数的比值 请你完成下列探究过程 先将图形特殊化 得出猜想 再对一般情况进行分析并加以证明 1 当 BAC 900时 依问题中的条件补全下图 观察图形 AB 与 AC 的数量关系为 当推出 DAC 150时 可进一步推出 DBC 的度数为 可得到 DBC 与 ABC 度数的比值为 54 2 当 BAC 900时 请你画出图形 研究 DBC 与 ABC 度数的比值是否与 1 中的结论相同 写出你的猜想并加以证明 当 BAC 900时 BAC 2 ACB ACB 450 在 ABC 中 ABC 1800 ACB BAC 450 ACB ABC 55 23 2011