安徽省阜阳一中2013届高三数学第二次模拟考试试题 文（含解析）新人教A版

1 20132013 年安徽省阜阳一中高考数学二模试卷 文科 年安徽省阜阳一中高考数学二模试卷 文科 一 单选题 每小题一 单选题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 5 分 已知集合 P x y log2 x 3 则下列选项正确的是 A P QB P Q C PQD QP 考点 集合的包含关系判断及应用 专题 函数的性质及应用 分析 根据根式函数的值域 我们可以求出集合 Q 根据对数函数的定义域 我们可以求出集合 P 进而 根据集合包含关系的判断方法得到两个集合之间的包含关系 解答 解 y 0 集合 0 若 y log2 x 3 的解析式有意义 则 x 3 0 解得 x 3 集合 P 4 故 PQ 故选 C 点评 本题考查的知识点是集合包含关系判断及应用 根式函数的图象和性质 对数函数的定义域 其中 根据根式函数和对数函数的定义域及值域 求出集合 P Q 是解答本题的关键 2 5 分 已知 f x 的图象在 a b 上连续 则 f a f b 0 是 f x 在 a b 内有零点 的 条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 函数零点的判定定理 专题 函数的性质及应用 分析 由零点的存在性定理可知 前面能推出后面 而由后不能推前面 可举反例 解答 解 f x 的图象在 a b 上连续 只要满足 f a f b 0 必有 f x 在 a b 内有 零点 而 f x 在 a b 内有零点 不能推出 f a f b 0 比如函数 f x x2 在区间 1 1 上有零点 0 但 f 1 f 1 1 0 故 f a f b 0 是 f x 在 a b 内有零点 的充分不必要条件 故选 A 点评 本题考查充要条件的判断 涉及函数零点的判断 属基础题 3 5 分 2010 重庆 下列函数中 周期为 且在上为减函数的是 2 A B C D 考点 函数 y Asin x 的图象变换 正弦函数的单调性 余弦函数的单调性 专题 分析法 分析 先根据周期排除 C D 再由 x 的范围求出 2x 的范围 再由正余弦函数的单调性可判断 A 和 B 从而得到答案 解答 解 C D 中函数周期为 2 所以错误 当时 函数为减函数 而函数为增函数 故选 A 点评 本题主要考查三角函数的基本性质 周期性 单调性 属基础题 三角函数的基础知识的熟练掌 握是解题的关键 4 5 分 2010 山东 设 f x 为定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2x 2x b b 为常数 则 f 1 A 3B 1C 1D 3 考点 奇函数 分析 首先由奇函数性质 f 0 0 求出 f x 的解析式 然后利用定义 f x f x 求 f 1 的值 解答 解 因为 f x 为定义在 R 上的奇函数 所以 f 0 20 2 0 b 0 解得 b 1 所以当 x 0 时 f x 2x 2x 1 又因为 f x 为定义在 R 上的奇函数 所以 f 1 f 1 21 2 1 1 3 故选 A 点评 本题考查奇函数的定义 f x f x 与基本性质 f 0 0 函数有意义时 5 5 分 2013 浙江模拟 若非零向量 满足 且 则向量 的夹角 为 A B C D 考点 数量积表示两个向量的夹角 专题 平面向量及应用 分析 利用向量的数量积运算性质即可求出 3 解答 解 非零向量 满足 且 故选 A 点评 熟练掌握向量的数量积运算性质是解题的关键 6 5 分 2011 湖北模拟 等差数列 an 中 a1 3a8 a15 120 则 2a9 a10的值为 A 20B 22C 24D 8 考点 等差数列的性质 专题 计算题 分析 根据等差数列的通项 写出所给的条件 a1 3a8 a15 120 的变形式 用首项和公差来表示 化简以后 得到第八项的值 把要求的式子进行整理 结果也是第八项 得到结果 解答 解 在等差数列 an 中 a1 3a8 a15 120 5a8 120 a8 24 2a9 a10 a1 7d a8 24 故选 C 点评 本题考查数列的通项 考查各项之间的关系 本题是一个基础题 主要考查数列的基本量之间的关 系 是一个送分题目 7 5 分 2013 浙江模拟 已知 m n 是两条不同的直线 为三个不同的平面 则下列命题 正确的是 A 若 m n m 则 n B 若 m n m n 则 C 若 则 D 若 m n m n 则 考点 命题的真假判断与应用 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 若 m n m 则 n 或 n 若 m n m n 则 或 与 相交 若 则 与 平行或相交 由平面平行的判定定理知 D 正确 解答 解 若 m n m 则 n 或 n 故 A 不正确 若 m n m n 则 或 与 相交 故 B 不正确 若 则 与 平行或相交 故 C 不正确 若 m n m n 则由平面平行的判定定理知 故 D 正确 4 故选 D 点评 本题考查直线与平面 平面与平面的位置关系的判断 是基础题 解题时要注意空间想象力的培 养 8 5 分 直线的倾斜角的取值范围是 A B C D 考点 直线的一般式方程 直线的倾斜角 专题 直线与圆 分析 先求出直线斜率的取值范围 进而即可求出直线的倾斜角的取值范围 解答 解 设此直线的倾斜角为 0 由直线化为 得直线的斜率 k tan 1 cos 1 0 故选 D 点评 正确理解直线的倾斜角与斜率的关系及正切函数的单调性是解题的关键 9 5 分 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f 1 1 且 f x 的导函数 f x 在上 R 恒有 则不等式的解集为 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 考点 利用导数研究函数的单调性 函数单调性的性质 专题 导数的概念及应用 分析 f x 可为 f x 0 令 g x f x 利用导数可判断 g x 的单调 性 依据单调性即可解出不等式 解答 解 可化为 f x 0 令 g x f x 则 g x f x 因为 所以 g x 0 所以 g x 在 R 上单调递减 当 x 1 时 g x g 1 f 1 0 即 f x 所以不等式的解集为 1 故选 A 5 点评 本题考查利用导数研究函数的单调性问题 解决本题的关键是恰当构造函数 利用函数单调性解不 等式 10 5 分 若直角坐标平面内的两个点 P 和 Q 满足条件 P 和 Q 都在函数 y f x 的图象上 P 和 Q 关于原点对称 则称点对 P Q 是函数 y f x 的一对 友好点对 P Q 与 Q P 看作同一对 友好 点对 已知函数 则此函数的 友好点对 有 A 0 对 B 1 对 C 2 对 D 3 对 考点 对数函数图象与性质的综合应用 专题 压轴题 新定义 函数的性质及应用 分析 根据题意 友好点对 可知 欲求 f x 的 友好点对 只须作出函数 y x2 4x x 0 的图象关于原点对称的图象 看它与函数 f x log2x x 0 交点个数即可 解答 解 根据题意 当 x 0 时 x 0 则 f x x 2 4 x x2 4x 可知 若函数为奇函数 可有 f x x2 4x 则函数 y x2 4x x 0 的图象关于原点对称的函数是 y x2 4x 由题意知 作出函数 y x2 4x x 0 的图象 看它与函数 f x log2x x 0 交点个数即可得到友好点对的个数 如图 观察图象可得 它们的交点个数是 2 即 f x 的 友好点对 有 2 个 故答案选 C 点评 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性 以及数形结合的思想 解答的关键在于对 友好点对 的 正确理解 合理地利用图象法解决 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 6 11 5 分 已知 i 是虚数单位 a 为实数 且复数在复平面内对应的点在虚轴上 则 a 2 考点 复数代数形式的乘除运算 复数的代数表示法及其几何意义 专题 计算题 分析 分子分母同乘以分母的共轭复数 1 i 化简可得 进而可得 0 解之即可 解答 解 因为复数 z 在复平面内对应的点在虚轴上 所以 0 解得 a 2 故答案为 2 点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算 以及复数的几何意义 属基础题 12 5 分 空间直角坐标系中 已知点 P 2 3 1 P 点关于 xoy 平面的对称点为 P 则 PP 2 考点 空间中的点的坐标 专题 空间向量及应用 分析 先求出点 P 关于坐标平面的对称点 进而即可求出向量的坐标及模 解答 解 点 P 2 3 1 关于 xoy 平面的对称点 P0 2 3 1 0 0 2 2 故答案为 2 点评 熟练掌握向量的模的求法是解题的关键 13 5 分 设 x y 满足 则 z x y 的最小值为 2 考点 简单线性规划的应用 专题 计算题 数形结合 分析 本题考查的知识点是简单线性规划的应用 我们要先画出满足约束条件的平面区域 然后分析平面区域里各个角点 然后将其代入 z x y 中 求出 z x y 的最小值 解答 解 满足约束条件的平面区域如图示 7 由图得当过点 B 2 0 时 z x y 有最小值 2 故答案为 2 点评 在解决线性规划的小题时 我们常用 角点法 其步骤为 由约束条件画出可行域 求出可 行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证 求出最优解 14 5 分 已知数列 an 满足 a1 31 an 1 an 2n n N 则的最小值是 考点 数列的求和 数列的函数特性 专题 函数的性质及应用 等差数列与等比数列 分析 先求出其解析式 进而利用相应函数的导数求其最值即可 解答 解 数列 an 满足 a1 31 an 1 an 2n n N an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2 n 1 2 n 2 2 1 31 n n 1 31 设函数 f x x 1 x 1 则 令 f x 0 则 当时 f x 0 即函数 f x 单调递减 当时 f x 0 即函数 f x 单调递增 当 x 时 函数 f x 取得最小值 根据以上函数 f x 的性质可知 对于来说 当 n 6 时 此式取得最小值 故答案为 点评 正确求出解析式和转化利用函数的单调性求最值是解题的关键 15 5 分 下列命题中正确命题的序号是 两条直线 a b 和两条异面直线 m n 相交 则直线 a b 一定异面 R 使 cos cos cos x 0 都有 ln6x ln3x 1 0 m R 使是幂函数 且在 0 上递减 8 R 函数 y sin 2x 都不是偶函数 考点 命题的真假判断与应用 专题 压轴题 函数的性质及应用 分析 利用异面直线的意义即可判断出 取 即可 通过配方即可判断出 取 m 2 即可 取 即可否定 解答 解 两条直线 a b 和两条异面直线 m n 相交 则直线 a b 可能相交或异面 但是一定不平行 故不正确 取 则满足 cos cos cos 故正确 x 0 都有 ln6x ln3x 1 0 因此成立 当 m 2 时 f x 是幂函数 且在 0 上递减 因此正确 取 时 函数 y sin 2x cos2x 是偶函数 故 不正确 综上可知 正确答案为 故答案为 点评 熟练掌握异面直线的定义 三角函数的奇偶性与单调性 配方法及幂函数的定义及性质是解题的关 键 三 解答题 共三 解答题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 12 分 已知函数 f x x2 a 1 x b 1 若 f x 0 的解集是 5 2 求 a b 的值 2 若 a b 解关于 x 的不等式 f x 0 考点 二次函数的性质 专题 函数的性质及应用 分析 1 由 f x 0 的解集是 5 2 知 5 2 是方程 f x 0 的两根 由根与系数的关系可 求 a b 值 2 把 b 替换下 a 然后按照 f x 0 的两根大小关系分类讨论即可 解答 解 1 由题意得 5 2 是方程 x2 a 1 x b 0 的两根 所以 5 2 a 1 5 2 b 解得 a 4 b 10 2 当 a b 时 f x 0 即 x2 a 1 x a 0 也即 x a x 1 0 当 a 1 时 由 f x 0 可得 x 1 或 x a 当 a 1 时 由 f x 0 可得 x 1 当 a 1 时 由 f x 0 可得 x a 或 x 1 综上 当 a 1 时 f x 0 的解集为 x x 1 或 x a 当 a 1 时 f x 0 的解集为 x x 1 9 当 a 1 时 f x 0 的解集为 x x a 或 x a 点评 本题考查二次函数 二次方程 二次不等式间的关系 深刻理解 三个二次 间的关系是解决该类 问题的关键 17 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD 底面四边形 ABCD 为矩形 E 为 PC 中点 1 求证 AD PC 2 在线段 AC 上是否存在一点 M 使得 PA 平面 EDM 若存在 指出 M 的位置 若不存在 说明理由 考点 直线与平面垂直的性质 直线与平面平行的判定 专题 空间位置关系与距离 分析 1 利用线面垂直的性质定理即可证明 2 利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明 解答 解 1 证明 PD 平面 ABCD PD AD 由已知矩形 ABCD 可得 AD DC PD DC D AD 平面 PDC AD PC 2 连接 BD 交 AC 于点 M 连接 ME 则 M 点满足 PA 平面 EDM 由矩形 ABCD 可得 AM MC 又已知 PE EC 根据三角形的中位线定理得 EM PA PA 平面 EDM EM 平面 EDM PA 平面 EDM 点评 熟练掌握线面垂直 平行的判定定理和性质定理是解题的关键 18 12 分 如图 一艘轮船在 A 处正沿直线返回港口 B 接到气象台的台风预报 台风中心 O 位于轮船 正西 40km 处 受影响的范围是半径为 20km 的圆形区域 已知港口 B 位于台风中心正北 30km 处 1 建立适当的坐标系 写出直线 AB 的方程 10 2 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 不考虑台风中心的移动 考点 直线与圆的位置关系 专题 应用题 直线与圆 分析 1 以台风中心为原点 O 东西方向为 x 轴 建立直角坐标系 进而可推断出受台风影响的圆形 区域所对应的圆的方程 及轮船航线所在直线 l 的方程 2 求得圆心到直线的距离 根据圆心到直线的距离与半径的关系推断出轮船是否受台风影响 解答 1 解 以台风中心为原点 O 东西方向为 x 轴 建立如图所示的直角坐标系 A 40 0 B 0 30 直线 AB 的方程为即 3x 4y 120 0 2 受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 x2 y2 202 则圆心到直线 AB 的距离 d 24 20 O 与直线 l 无公共点 则轮船不受影响 无需改变航向 由于圆心 O 0 0 到直线 l 的距离 d 所以直线 l 与圆 O 无公共点 这说明轮船将不受台风影响 不用改变航向 点评 本题主要考查了根据实际问题选择函数类型 解题的关键是看圆与直线是否有交点 19 13 分 A B C 是 ABC 的内角 a b c 分别是其对边 已知 且 B 为锐角 1 求 B 的大小 2 如果 b 3 求 ABC 的面积的最大值 考点 三角函数中的恒等变换应用 平面向量的综合题 专题 解三角形 分析 1 利用倍角公式和两角和的正弦公式及正弦函数的单调性即可求出 2 利用余弦定理和三角形的面积计算公式及基本不等式的性质即可求出 解答 解 1 0 化为 2 即 解得 11 2 由余弦定理可得 9 a2 b2 ac 2ac ac ac 即 ac 9 即 ABC 的面积的最大值为 点评 熟练掌握正余弦定理 倍角公式 两角和的正余弦公式 三角形的面积计算公式及基本不等式的性 质是解题的关键 20 13 分 已知函数 数列 an 的前 n 项和为 Sn 点 n Sn n N 都在函数 y f x 的图象上 1 求 an 的通项公式 2 令 求 bn 的前 n 项和 Tn 3 令 证明 n N 考点 数列与不等式的综合 数列与函数的综合 专题 等差数列与等比数列 分析 1 利用点 n Sn n N 都在函数 y f x 的图象上 可得 Sn 再写一式 两 式相减 即可求 an 的通项公式 2 求出数列 bn 的通项 利用错位相减法 即可求得 bn 的前 n 项和 Tn 3 确定数列的通项 利用裂项法求和 即可证明结论 解答 1 解 点 n Sn n N 都在函数 y f x 的图象上 Sn n 2 时 an