第四章四边形性质探索

第四章第四章 四边形性质探索四边形性质探索 平行四边形的性质 一 平行四边形的性质 一 教学目标 教学目标 1 经历探索平行四边形有关概念和性质的过程 在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习 惯 2 索并掌握平行四边形的性质 并能简单应用 3 在探索活动过程中发展学生的探究意识 教学重点 教学重点 平行四边形性质的探索 教学难点 教学难点 平行四边形性质的理解 教学方法 教学方法 探索归纳法 教学过程 教学过程 第一环节 实践探索 直观感知第一环节 实践探索 直观感知 1 1 问题 同学们拿出准备好的剪刀 彩纸或白纸一张 将一张纸对折 剪下两张叠放的三角形纸 片 将它们相等的一边重合 得到一个四边形 1 你拼出了怎样的四边形 与同桌交流一下 2 给出小明拼出的四边形 它们的对边有怎样的位置关系 说说你的理由 请用简捷的语言刻 画这个图形的特征 通过学生动手实践 引出平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线 进一步强调 平行四边形定义中的两个条件 四边形 两边分别分别平行即 AD BC 且 AB BC 平行四边形的表示 2 2 生活中常见到平行四边形的实例有什么呢 你能举例说明吗 进一步探索了平行四边形的概念 明确了平行四边形的本质特征 第二环节第二环节 探索归纳 合作交流探索归纳 合作交流 用一张半透明的纸复制你刚才画的平行四边形 并将复制后的四边形绕一个顶点旋转 180 你能 平移该纸片 使它与你画的平行四边形重合吗 由此你能得到哪些结论 四边形的对边 对角分别有 什么关系 能用别的方法验证你的结论吗 1 让学生动手操作 复制 旋转 观察 分析 2 学生交流 议论 通过这个活动 让学生从整体的角度研究平行四边形对边 对角的特征 感受平行四边形的性质 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等等 第三环节第三环节 推理论证 感悟升华推理论证 感悟升华 实践探索内容实践探索内容 1 通过剪纸 拼纸片 及旋转 可以观察到平行四边行的对角线把它分成的两个三角形全等 2 可以通过推理来证明这个结论 如图连结 AC 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AB CD 1 2 3 4 ABC 和 CDA 中 2 1 AC CA 3 4 ABC CDA ASA AB DC AD CB D B 又 1 2 3 4 1 3 2 4 即 BAD DCB 第四环节第四环节 应用巩固应用巩固 深化提高深化提高 1 议一议 如果已知平行四边形的一个内角度数 能确定其它三个内角的度数吗 A 学生思考 议论 B 总结归纳 可以确定其它三个内角的度数 由平行四边形对边分边平行得到邻角互补 又由于平行四边形对角相等 由此已知平行四边形 的一个内角的度数 可以确定其它三个角度数 2 练一练 P99 随堂练习 第五环节第五环节 评价反思评价反思 概括总结概括总结 师生相互交流 反思 总结 1 经历了对平行四边形的特征探索 你有什么感受和收获 给自己一个评价 2 本节学习到了什么 知识上 方法上 第六环节 作业第六环节 作业 平行四边形的性质 二 平行四边形的性质 二 一 教学目标 一 教学目标 1 学会应用平行四边形的性质 2 在应用中进一步发展学会合情推理能力 增强学生逻辑推理能力 使学生掌握说理的基本方法 3 通过解决问题 探究并归纳 平行线间的距离处处相等 这一性质 教学重点 教学重点 平行四边形性质的应用 教学难点 教学难点 发展合情推理及逻辑推理能力 教学方法 教学方法 启发诱导法 探索分析法 二 教学过程设计二 教学过程设计 第一环节第一环节 回顾思考 引入新课回顾思考 引入新课 以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四这形的性质 1 什么是平行四边形 平行四边形都有哪些性质 2 回顾思考 选择题 1 平行四边形 ABCD 中 A 比 B 大 20 则 C 的度数为 A 60 B 80 C 100 D 120 2 平行四边形 ABCD 的周长为 40cm 三角形 ABC 的周长为 25cm 则对角线 AC 长为 A 5cm B 15cm C 6cm D 16cm 3 平行四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于 O 则全等三角形的对数有 4 在笔直的铁轨上 夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长 参考答案 1 C 2 A 3 4 对 4 一样长 第二环节第二环节 探索发现 应用深化探索发现 应用深化 一 探索问题 1 想一想 已知 直线 a b 过直线 a 上任两点 A B 分别向直线 b 作垂线 交直线 b 于点 C 点 D 如图 1 线段 AC BD 所在直线有什么样的位置关系 2 比较线段 AC BD 的长 A 学生思考 交流 B 师生归纳 解 1 由 AC b BD b 得 AC BD 2 a b AC BD 四边形 ACDB 是平行四边形 AC BD 归纳 若两条直线平行 则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等 这个距离称为平行线间的距 离 即平行线间的距离相等 议一议 举你能举出反映 平行线之间的垂直段处处相等实例吗 二 练一练 探索问题 2 课本例 1 探索问题 3 在平行四边形 ABCD 中 点 O 是对角线 AC 的中点 连 OB OD 求证 DOB 的度数 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD AB DC BAC ACD O 是对角线 AC 的中点 OA OC 在 AOB 和 COD 中 AB CD BAC ACD OA OC AOB DOC AOB COD AOD COD AOC 180 即 BOD 180 第三环节第三环节 观察分析 理性升华观察分析 理性升华 例 1 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 平行于对角线 AC 的直线 MN 分别交 DA DC 的延长线于 M N 交 BA BC 于点 P 点 B 你能说明 MQ NP 吗 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AB CD 即 AM CQ 又 AC MN 即 AC MQ 由平行四边形定义得四边形 MQCA 是平行四边形 MQ AC 同理 NP AC MQ NP 小结 利用平行四边形可以证明两线段相等 第四环节第四环节 巩固反馈 总结提高巩固反馈 总结提高 一 通过练习 进一步应用平行四边形性质 达到掌握的程度 1 在平行四边形 ABCD 中 A 150 AB 8cm BC 10cm 求平行四边形 ABCD 的面积 解 过 A 作 AE BC 交 BC 于 E 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC BAD B 180 BAD 150 B 30 在 Rt ABE 中 B 30 AE 1 2AB 4 平行四边形 ABCD 的面积 4 10 40cm2 小结 平行四边形的问题 可以转化为三角形 问题解决 二 计算题 1 课本随堂练习 2 平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于 O OA OB AB 的长度分别为 3cm 4cm 5cm 求其它各边以 及两条对角线的长度 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD AD BC OA OC OB OD 又 OA 3cm OB 4cm AB 5cm AC 6cm BD 8cm CD 5cm AOB 中 32 42 52 即 AO2 BO2 AB2 AOB 90 AC BD Rt AOD 中 OA2 OD2 AD2 AD 5cm BC 5cm 答 这个平行四边形的其它各边都是 5cm 两条对角线长分别为 6cm 和 8cm 第五环节第五环节 评价反思 目标回顾评价反思 目标回顾 1 本节课你有哪些收获 你能将平行四边形的性质进行归纳吗 2 本节通过实例 你如何理解 两条平行线间距离 3 利用平行四边形可以解决哪些问题 第六环节 布置作业 第六环节 布置作业 习题 1 2 3 探究题 已知如下图 在ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O 点 E F 在 AC 上 且 BE DF 求证 BE DF A B C DEA BC O D E F 平行四边形的判别 一 平行四边形的判别 一 教学目标 教学目标 1 运用类比的方法 通过学生的合作探究 得出平行四边形的判定方法 2 理解平行四边形的这两种判定方法 并学会简单运用 3 在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中 进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论 证的表达能力 教学重点 教学重点 平行四边形判定方法的探究 运用 教学难点 教学难点 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用 教学过程 教学过程 第一环节第一环节 复习引入 复习引入 问题 1 1 平行四边形的定义是什么 它有什么作用 2 平行四边形还有哪些性质 问题 2 有一块平行四边形的玻璃块 假如不小心碰碎了一部分 聪明的技师拿着细绳很快将原来的平行四边 形画了出来 你知道他用的是什么方法吗 第二环节第二环节 探索活动探索活动 活动 1 工具 两根长度相等的笔 两条平行线 可利用横格线 动手 请利用两根长度相等的笔和两条平行线 摆出以笔顶端为顶 点的平行四边形吗 思考 1 1 你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗 思考 1 2 以上活动事实 能用文字语言表达吗 活动 2 工具 两根不同长度的细纸条 动手 能否用这两根细纸条在平面上摆出平行四边形 思考 2 1 你能说明你们摆出的四边形是平行四边形吗 思考 2 2 以上活动事实 能用文字语言表达吗 通过活动 得出 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 第三环节第三环节 巩固练习巩固练习 例 1 如图 AC ED 点 B 在 AC 上且 AB ED BC 找出图中的平行四边形 随堂练习 1 已知 在平行四边形 ABCD 中 点 E F 在对角线 AC 上 并且 E F OA 与 OC OB 与 OD 相等吗 四边形 BFDE 是平行四边形吗 若点 F 在 的中点上 你能解决上述问题吗 E BF D A C O A BC D E F O 2 再回到课前问题 同学们想想看 有没有办法把原来的平行四边形重新画出来 学生想到的画法有 1 分别过 A C 作 BC BA 的平行线 两平行线相交于 D 2 分别以 A C 为圆心 以 BC BA 的长为半径画弧 两弧相交于 D 连接 AD CD 3 这一种方法学生不易想到 即为平行四边形对角线的特性 引导学生得出连线 AC 取 AC 的中点 O 再连接 BO 并延长 BO 到 D 使 BO DO 连接 AD CD 第四环节第四环节 小结 小结 师生共同小结 主要围绕下列几个问题 1 判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种 这些方法是从什么角度去考虑的 2 我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的 这样的探索过程对你有什么启发 第五环节第五环节 作业作业 1 必做题 课本 104 页习题 4 3 第 1 题 第 2 题 2 思考题 对于随堂练习题 若将 G H 分别在 OB OD 上移动至与 B D 重合 E F 分别在 OA OC 上移动 使 AE CF 如图 则结论还成立吗 对于随堂练习题 若 E F 继续移动至 OA OC 的延长线上 仍使 AE CF 如图 则结论还成立吗 B C A D 1 3 2 4 A B D C A B C D E F 平行四边形的判别 二 平行四边形的判别 二 教学目标 教学目标 1 运用类比的方法 通过学生的合作探究 得出平行四边形的判定方法 2 理解平行四边形的另一种判定方法 并学会简单运用 3 在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中 进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推 理论证的表达能力 教学重点 教学重点 平行四边形判定方法的探究 运用 教学难点 教学难点 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用 教学过程教学过程 第一环节第一环节 复习引入 复习引入 问题 1 平行四边形的定义是什么 它有什么作用 2 判定四边形是平行四边形的方法有哪些 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 第二环节第二环节 探索活动探索活动 活动 工具 两对长度分别相等的笔 动手 能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形 思考 1 1 你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗 已知 四边形 ABCD 中 AD BC AB CD 试说明四边形 ABCD 是平行四边形 思考 1 2 以上活动事实 能用文字语言表达吗 通过活动 得出 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 第三环节第三环节 巩固练习巩固练习 例 1 如图 在四边形 ABCD 中 1 2 3 4 四边形 ABCD 是平行四边形吗 为什么 例 2 如图所示 AC BD 16 AB CD EF 15 CE DF 9 图中有哪些互相平行的线段 随堂练习 1 判断下列说法是否正确 1 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 2 两组对角都相等的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 4 一组对边平行 一组邻角互补的四边形是平行四边形 A1 A2 A4 A3 A6 A5 A BCD E 2 有两条边相等 并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗 为什么 3 如图所示 四个全等的三角形拼成一个大的三角形 找出图中所有的平行四边形 并说明理由 4 如图 AD 是 ABC 的边 BC 边上的中线 1 画图 延长 AD 到点 E 使 DE AD 连接 BE CE 2 判断四边形 ABEC 的形状 并说明理由 第四环节第四环节 小结 小结 师生共同小结 主要围绕下列几个问题 1 判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种 2 我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的 这样的探索过程对你有什么启发 3 平行四边形判定的应用 第五环节第五环节 作业 作业 课本习题 4 4 第 1 题 第 2 题 3 3 菱形 菱形 教学目标 教学目标 1 理解菱形的定义 2 经历探索菱形的性质和判别条件的过程 进一步了解和体会说理的基本方法 3 了解菱形的现实应用和常用判别条件 探索并掌握菱形的判定 教学重点 教学重点 菱形的定义 性质及判定方法 教学难点 教学难点 菱形性质和直角三角形的知识的综合应用 教学过程教学过程 第一环节第一环节 设情境问题 引入课题设情境问题 引入课题 观察一组图片 越王勾践剑 一个衣帽架以及其他学生熟悉的实物图片 这些图片中有你熟悉的图形吗 我们把这样的平行四边形叫做菱形 这节课我们就来探讨一下菱形 第二环节第二环节 新课新课 1 根据图片中所反映出的图形的特点 请学生尝试给菱形下定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2 通过问题的形式 让学生归纳出菱形的性质 3 从对称的角度对菱形进行再认识 包含菱形的画法和判定 画一个菱形 然后回答下列问题 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 1 图中有哪些线段是相等的 哪些角是相等的 2 图中有哪些等腰三角形 直角三角形 3 两条对角线 AC BD 有什么特定的位置关系 同学们讨论分析回答 因为菱形是特殊的平行四边形 所以它除具有平行四边形的所有性质外 还有平行四边形所没有的特 殊性质 1 菱形的四条边都相等 2 菱形的两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 从对称性上对菱形进行考察 提问 菱形是轴对称图形吗 如果是 那么它有几条对称轴 对称轴之间有什么位置关系 菱形是轴对称图形 它有两条对称轴 这两条对称轴是菱形的对角线 所以两条对称轴互相垂直 请学生利用对称性画菱形 或者教师呈现以下几种得到图形的方法 请学生判断得到的是什么图形 方法一 将一张长方形的纸横对折 再竖对折 然后沿图中的虚线剪下 打开即可 方法二 如图 两张等宽的纸条交叉重叠在一起 重叠的部分 ABCD 就是菱形 如图 1 图 1 图 2 方法三 将一张长方形纸对折 再在折痕上取任意长为底边 剪一个等腰三角形 然后打开即是菱形 如图 2 能说一说按这三种方法做的理由吗 大家讨论 刚才通过折纸 剪切 得到了菱形 你能归纳一下菱形的判别方法吗 分组讨论 然后总结 菱形的判别方法 1 一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3 四条边都相等的四边形是菱形 第三环节第三环节 应用应用 例 1 如下图 ABCD 的两条对角线 AC BD 相交于 O 点 AB 5 AO 2 OB 1 1 AC BD 有怎样的位置关系 2 四边形 ABCD 是菱形吗 为什么 师生共析 从图中知道 AC 与 BD 是相交 从已知条件 AB 5 OA 2 OB 1 结合图形知道 这三条线段正好构成三角 形 又由于 AB2 OA2 OB2 所以可以知道 AOB 是直角三角形 因此 可以得出 AC 与 BD 互相垂直 由于四边形 ABCD 是平行四边形 它的对角线互相垂直 所以由此可知 平行四边形 ABCD 是菱形 第四环节第四环节 小结小结 本节课我们探讨了菱形的定义 性质和判别方法 我们来共同总结一下 菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形是菱形 菱形的性质 边 四条边都相等 对边分别平行 角 对角相等 对角线 互相垂直 平分 每一条对角线平分一组对角 菱形的判别可以从以下两条线梳理 在已知图形是四边形的基础上 可以利用四边相等或对角线互相垂直平分 在已知图形是平行四边形的基础上 可以从边或对角线上加强条件得到菱形 具体可用下图来表示 第五环节第五环节 布置作业布置作业 课本习题 4 5 1 2 矩形 正方形 一 矩形 正方形 一 一 教学目标 一 教学目标 知识目标 1 掌握矩形的概念 性质和判别条件 2 提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力 3 经历探索矩形的性质和判别条件的过程 在直观操作活动和简单的说理过程中发展合情推理能力 主观探索习惯 逐步掌握说理的基本方法 教学重点 教学重点 本节课的重点是矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握 教学难点 教学难点 本节课的难点是矩形的性质和常用判别方法的综合应用 二 教学过程二 教学过程 课前准备 教具准备 像框 用四根木条制作一个平行四边形教具 学生用具 皮筋 活动的平行四边形框架 教学过程设计分成四分环节 教学过程设计分成四分环节 第一环节第一环节 巧设情境问题 引入课题巧设情境问题 引入课题 给出活动的平行四边形教具 请学生观察当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中 会形成怎样 的特殊图形情况 进行演示 进而引入本节课的主题 矩形 第二环节第二环节 讲授新课讲授新课 拿出准备好的平行四边形活动框架 来做一做 在一个平行四边形活动框架上 用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上 拉动一对不相邻的顶点 改变平行四边形的形状 1 随着 的变化 两条对角线的长度分别是怎样变化的 2 当 是锐角时 两条对角线的长度有什么关系 当 是钝角时呢 3 当 是直角时 平行四边形变成矩形 此时两条对角线的长度有什么关系 学生进行活动 探索矩形的性质 当 是锐角或钝角时 两条对角线是不相等的 当 是直角时 平行四边形变为矩形 这时两条对角线的长度相等 归纳矩形的性质 引导学生归纳 并体会矩形的 对称美 矩形的对边平行且相等 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等且互相平分 矩形是轴对称图形 例 1 如图在矩形 ABCD 中 两条对角线 AC BD 相交于点 O AOB 60 AB 4 cm 1 判定 AOB 的形状 2 求对角线的长 分析 要判定 AOB 的形状 由于 AOB 60 所以可考虑这个三角形是等边三角形 由矩形的性质知 OA OB 即 AOB 是全等三角形 由 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 得出结论 要求对角线的长可直接应用矩形的性质 解 1 在矩形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 互相平分且相等 于是 OA OB 又 AOB 60 可知 AOB 是等边三角形 2 OA AB 4cm DB CA 2OA 8cm 因此 对角线的长为 8cm 提问 对角线相等的平行四边形是怎样的四边形 为什么 与同伴交流 对角线相等的平行四边形是矩形 如图 在ABCD 中 AB CD BD AC BC BC ABC DCB SSS ABC DCB 在ABCD 中 AB CD ABC DCB 180 2 ABC 180 即 ABC 90 ABCD 是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 议一议 展示问题 引导学生讨论 解决 矩形是轴对称图形吗 如果是 它有几条对称轴 如果不是 简述你的 理由 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 你能用矩形的有关性质解 释这结论吗 进一步得到一个关于直角三角形的性质 第三环节第三环节 练习练习 课后随堂练习 第四环节第四环节 新课小结新课小结 通过本节课的学习 你有什么收获 师生共同从知识与思想方法两方面小结 第五环节第五环节 课后作业课后作业 一 看课本 二 课本习题 4 6 矩形 正方形 二 矩形 正方形 二 教学目标 教学目标 1 掌握正方形的定义 弄清正方形与平行四边形 菱形 矩形的关系 2 掌握正方形的性质定理 1 和性质定理 2 3 正确运用正方形的性质解题 4 通过四边形的从属关系渗透集合思想 教学重点 教学重点 正方形的性质的应用 教学难点 教学难点 正方形的性质的应用 二 教学过程设计二 教学过程设计 课前准备 教具准备 一个活动的平行四边形木框 白纸 剪刀 学生用具 白纸 剪刀 教学过程设计分成四分环节 教学过程设计分成四分环节 第一环节第一环节 巧设情境问题 引入课题巧设情境问题 引入课题 进入正题 提出本节课的研究主题 正方形 第二环节第二环节 讲授新课讲授新课 1 呈现两种通过不同途径得到正方形的过程 给正方形下定义 2 讨论正方形的性质 3 通过练习加强对正方形性质的理解 4 寻找平行四边形 矩形 菱形 正方形之间的相互关系 5 寻找正方形的判定方法 呈现一个平行四边形变成正方形的全过程 演示 由于平行四边形具有不稳定性 所以先把平行四边形木框的一个角变为直角 再移动一条短边 截成 有一组邻边相等 此时平行四边形变成了一个正方形 这个变化过程 可用如下图表示 由此可知 正方形是一组邻边相等的矩形 即 一组邻边相等的矩形叫做正方形 这个平行四边形木框还可以这样变化 先移动一条短边 截成有一组邻边相等的平行四边形 再把一 个角变成直角 此时的平行四边形也变成了正方形 这个变化过程 也可用图表